§ 9. Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть точка C лежит на отрезке AB. Говорим, что C делит отрезок AB в отношении ₁:₂ , если

₌  ₂AC= ₁CB.

Учитывая, что AC;\s\up10( –(CB;\s\up10( –( , последнее равенство можно переписать так:

₂AC;\s\up10( –( = ₁CB;\s\up10( –(. (6)

Теперь мы введем обобщение нашего определения, и будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении ₁:₂ , если выполнено (6). Такое определение означает, что C может лежать на прямой AB за пределами отрезка AB, если ₁:₂ отрицательно. Число  = ₁/₂ (AC;\s\up10( –( = CB;\s\up10( –() называется простым отношением точек A, B, C и обозначается (AB, C) или (ABC).

Пусть нам известны координаты концов отрезка: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂). Требуется найти координаты точки C(x, y, z), которая делит этот отрезок в отношении ₁:₂. Самостоятельно выведите из равенства (6), что

^{x =} , ^{y =} , ^{z =} .

Эти формулы также будут доказаны на практических занятиях. В частности, если C делит отрезок AB пополам, то

x = , y = , z = .

§ 10. Векторное произведение.

Определение. Векторным произведением двух векторов a;\s\up8(( и b;\s\up9(( называется такой вектор c;\s\up8((, что

1. c;\s\up8((  a;\s\up8((, c;\s\up8((  b;\s\up9((;

2. тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) – правая;

3. c;\s\up8((= a;\s\up8(( b;\s\up9((sin( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ).

Пишем c;\s\up8(( = a;\s\up8((  b;\s\up9(( (используется также обозначение c;\s\up8(( = [a;\s\up8((,b;\s\up9(( ] ).

Ч резвычайно распространена на экзамене следующая ошибка. В ответ на вопрос: «Дайте определение векторного произведения» студенты пишут только п^о3 определения, к тому же, зачастую, опуская модуль у c;\s\up8(–(. Такой ответ классифицируется как полное отсутствие ответа. Невозможно определить вектор, задав только его длину. Необходимо задать еще его направление. П^о1 указывает, что вектор a;\s\up8((  b;\s\up9(( направлен по общему перпендикуляру к a;\s\up8(( и b;\s\up9((. Но таких векторов заданной длины можно найти два. Поэтому необходим еще и п^о2.

Теорема 4. Модуль векторного произведения двух векторов a;\s\up8(( и a;\s\up8(( численно равен площади параллелограмма, построенного на направленных отрезках OA;\s\up10( –( и OB;\s\up10( –(, представляющих

э ти векторы, отложенные из одной точки.

Доказательство. S =OA;\s\up10( –(OB;\s\up10( –( sinAOB =

= a;\s\up8((b;\s\up9((sin(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) = a;\s\up8((  b;\s\up9((.

Следствие. a;\s\up8((  b;\s\up9(( = o;\s\up8((  a;\s\up8(( b;\s\up9(( .

В частности, для любого вектора a;\s\up8(–( выполнено a;\s\up8((a;\s\up8(( = o;\s\up8((.

Действительно, a;\s\up8((  b;\s\up9(( = o;\s\up8((  S = 0  стороны параллелограмма параллельны, либо длина одной из них равна нулю. Поскольку нулевой вектор считается коллинеарным любому, то это равносильно a;\s\up8(( b;\s\up9((.

Свойства векторного произведения.

1. a;\s\up8(–(  b;\s\up9(( = – b;\s\up9((  a;\s\up8(( ,

2. (a;\s\up8(( ) b;\s\up9(( = ( a;\s\up8((  b;\s\up9((),

3. a;\s\up8(( ( b;\s\up9((+c;\s\up8(–( ) = a;\s\up8((  b;\s\up9(( + a;\s\up8(( c;\s\up8(–(.

Геометрическое доказательство этих свойств можно найти в учебнике. Мы же докажем их после того, как получим формулу для вычисления векторного произведения в декартовых координатах.