§2. Правило Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений, в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Мы ограничимся случаем, когда это число равно 3:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (1)

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃ .

Числа a_ij называются коэффициентами системы, а числа b₁, b₂, b₃ – свободными членами. Коэффициенты системы образуют матрицу A, а свободные члены – столбец B:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁

A= a₂₁ a₂₂ a₂₃ B = b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₃ .

Обозначим  = detA, а _i – определитель матрицы, которая получается из A заменой i-го столбца на столбец B. Например,

b₁ a₁₂ a₁₃

₁= b₂ a₂₂ a₂₃

b₃ a₃₂ a₃₃ .

Теорема. (Правило Крамера). Если 0, то система линейных уравнений (1) имеет единственное решение. Его можно найти по формулам

x₁ = , x₂ = , x₃ = .

Эта теорема верна и для систем, состоящих произвольного числа n уравнений и неизвестных.

Пример. Найти решение системы уравнений

5x + 9y = 3,

3x + 5y = 1.

Решение.

5 9 3 9 5 3

3 5 1 5 3 1

x₁ = = = –3, x₂ = = = 2.

Ответ: (–3, 2).

Используемые сокращения

СК – система координат КС – коническое сечение

Алфавитный указатель

Асимптоты гиперболы 90

аффинная система координат

на плоскости 17

в пространстве 20

аффинный репер 16, 19

Базисные орты 18, 20

базис 16, 19

базисные векторы 15, 19

Вектор 6

вектор, отложенный из точки 7

нормали 48

нулевой 7

противоположный 8

векторная проекция 12

векторное произведение 22

вершины гиперболы 90

гиперболоида 123

конической поверхности 118

параболы 94

эллипса 87

эллипсоида 121

взаимное расположение

плоскостей в пространстве 62

прямых на плоскости 51

прямых в пространстве 62

Гипербола 89

равнобокая 91

сопряженная 92

гиперболический цилиндр 117, 132

гиперболоид однополостной 125, 132

двуполостной 125, 132

Двойное векторное произведение 28

декартова СК на плоскости 17

в пространстве 20

деление отрезка в заданном

отношении 21

диаметры КС 97

большой и малый эллипса 87

директриса 92

Инварианты кривой 2 порядка 101

поверхности 2 порядка 132

Каноническое уравнение

гиперболы 90

параболы 92

прямой 48, 64

эллипса 87

касательные к КС 94

квадратичная часть

уравнения 100, 130

коллинеарные векторы 7

компланарные векторы 7

коническая поверхность 118

коническое сечение 92

координаты вектора 16, 17, 19

точки 16, 17, 19

кривая второго порядка 100

Левая тройка векторов 12

линейная часть уравнения 100, 130

линейчатая поверхность 116

Матрица 140

матрица квадратичной части 102

метод параллельных сечений 123,

125, 128

мнимый эллипс 104

Направленный отрезок 6

направляющие косинусы 18, 21

направляющий вектор прямой 48, 63

направляющая кривая 116, 118

начало координат 17

нормальное уравнение прямой 56

Образующая 116, 118

общее уравнение кривой 2 порядка 97

поверхности 127

плоскости 60

прямой 50

оптические свойства КС 953

определитель 140

ориентируемый угол

между векторами 11

между прямыми 54

ортонормированный базис 17, 20

репер 17, 20

ось 12

Пара плоскостей 117, 121, 132

параллельных прямых 105

пересекающихся прямых 105

пара векторов левая 11

правая 11

парабола 94

параболический цилиндр 117, 132

параболоид гиперболический 128

эллиптический 128

параллель 121

параметрическое уравнение 45, 47

гиперболы 92

прямой 48, 64

эллипса 88

перенос начала координат 31

поверхность вращения 121

второго порядка 130

поворот координатных осей 32

полуоси гиперболы 90

эллипса 87

полюс 29

полярная ось 29

СК на плоскости 29

правило треугольника 7

параллелограмма 8

правая тройка векторов 12

правило Крамера 138

преобразование координат 31

общее 34

признак коллинеарности

векторов 10, 21

проекция вектора на ось

векторная 12

скалярная 12

произведение вектора на число 9

противоположно направленные

векторы 7

отрезки 6

пучок прямых 57

собственный (центральный) 58

несобственный (нецентральный) 58

Равнобокая гипербола 89

радиус-вектор 17, 19

разложение вектора по базису 17, 19

разность векторов 9

расстояние между точками 11

прямыми 68

от точки до прямой 54

репер на плоскости 16, 17

в пространстве 19, 20

Свободный член уравнения 100, 130

сигнатура квадратичной формы 131

скалярная проекция вектора 12

скалярное произведение векторов 14

скалярный квадрат вектора 14

смешанное произведение векторов 26

сонаправленные векторы 7

отрезки 6

сопряженные диаметры 98

сопряженная гипербола 90

сопряжённое направление 98

сумма векторов 7

сферическая СК 30

сферические координаты точки 30

Тор 122

тройка векторов левая 12

правая 11

Угловой коэффициент 51

угол между векторами 11

плоскостями 62

прямыми 52, 53, 67

уравнение в неявном виде 44, 46

в явном виде 45, 46

плоскости в отрезках 59

плоскости в нормальной

форме 61

прямой в нормальной

форме 54

прямой в отрезках 48

прямой в полярных

координатах 54

прямой с угловым

коэффициентом 51

Фокус 86, 89, 92

фундаментальный прямоугольник 91

Характеристическое уравнение 104

хорда КС 97

Центр кривой второго порядка 101

цилиндрическая поверхность 116

цилиндрическая СК 30

цилиндрические координаты точки 30

Эквивалентные направленные отрезки 6

эксцентриситет 93

эллипс 86

эллипсоид 123, 132

эллиптический цилиндр 117, 132