Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2

играх все фигуры равноправны, а в тех — нет». Но что делает такое предложение? Оно вводит новое понятие, новое основание классификации. Я учу тебя выполнять задание: «Назови мне игры первого типа!» и т. д. Однако сходным же образом можно было бы поставить задачу: «Придумай игру, в которой есть король».

15. «Мы не можем выстраивать дроби в ряд по их величине, но можем выстраивать их в бесконечный ряд».

Чему научится тот, кто этого не знал? Он научится новому роду вычисления, например: «Определи номер дроби...» Он учится этой технике — но не учится ли он и тому, что такая техника имеется?

Разумеется, в некоем важном смысле я научился тому, что такая техника есть; то есть мною освоена такая техника, которую теперь можно применять ко всевозможным другим вещам.

16. «Как бы ты назвал это!»

1 3 4 .

1 3 6 10

2 5 9

4 8 •

7 »

«

Разве не «методом беспрерывного нумерования пар чисел»? И разве нельзя было бы также сказать о «выстраивании пар чисел в ряд»?

А учит ли меня математика тому, что я могу выстраивать пары чисел в ряд? Можно сказать: она учит меня, что я могу это сделать? Разве уместно говорить, что, обучая ребенка умножению, я учу его и тому, что можно умножать? Скорее, можно было бы, конечно, сказать: я учу его, что можно умножать дроби, после того как он научился перемножать кардинальные числа. Ибо теперь можно было бы сказать, он уже знает, что значит «умножать». Но разве и это не вводило бы в заблуждение?

Если кто-то говорит, что доказал положение о возможности выстраивать в ряд пары чисел, то следовало бы ответить, что это не есть математическое положение, так как вычисления не произво-

67

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

дят с помощью слов «можно», «в», «пары», «чисел» и т. д. Предложение «Можно...» представляет собой, скорее, лишь беглое описание техники, которой обучают, что-то вроде более или менее подходящего названия, заголовка для этого раздела. Но названия, с помощью которого пока еще нельзя производить вычисления.

Но, скажешь ты, это и есть как раз то, что делает логическое исчисление ФРЕГЕ и РлссЕла: в нем каждое слово, произносимое в математике, имеет точное значение, является элементом исчисления. В этом исчислении можно, таким образом, действительно доказать: «Умножать можно». Тогда это, пожалуй, математическое предложение; но кто говорит, что это предложение можно для че- го-нибудь использовать? Кто скажет, для чего оно могло бы пригодиться? Ведь того, что оно интересно звучит, еще недостаточно.

Если в ходе занятия мы, возможйо, и употребляем предложение: «Итак, ты видишь, что дроби можно выстраивать в ряд», — то это еще не значит, что у нас есть для этого предложения какоелибо иное применение, чем сочетание с этим типом исчисления легко запоминающейся картины.

Если здесь интерес прикован к предложению, которое было доказано, то он сопряжен с картиной, имеющей в высшей степени слабое обоснование, но привлекающей нас своей необычностью, как, например, картина «направленности» времени. Она вызывает легкое опьянение мыслей.

Я могу здесь только сказать: расстанься как можно скорее с такой картиной и усматривай интерес исчисления в ее использовании. (Это похоже на то, словно бы мы присутствовали на маскараде, где каждое исчисление появлялось в причудливом наряде.)

17. «Следует ли избегать в математике слова „бесконечно"?» Да, там, где кажется, будто это слово придает исчислению значение, вместо того чтобы, наоборот, получать значение от исчисления.

Способ выражения: «Но если приглядеться, то в исчислении вовсе нет ничего бесконечного», — конечно, неуклюж, но это означает: действительно ли необходимо прибегать здесь к картине бесконечного (необычайной величины)? И как эта картина связана с исчислением? Ведь это связь иного рода, чем связь изображения 1 1 1 1 с 4. конечно, смешно делать вид, что ты обескуражен, не найдя в исчислении ничего бесконечного; однако вовсе не смешно спросить: каково же повседневное применение слова «бесконечно», придающее ему значение для нас, и в чем его связь с этими математическими исчислениями?

68

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2

18. Финитизм и бихевиоризм — весьма близкие направления. Оба утверждают: здесь ведь есть только... Оба отрицают существование чего-то, оба делают это с той целью, чтобы избежать путаницы.

Мое дело — не доказать, что исчисление ошибочно, но подвергнуть испытанию то интересное, что есть в исчислении. Например, я проверяю правомочность употребления здесь слова... Но по сути, я снова и снова* призываю к такому исследованию. Показываю, как оно устроено и что в нем надлежит уяснить. Стало быть, не следует говорить: «Так нельзя выражаться», или: «Это абсурдно», или: «Это неинтересно», — но можно сказать: «Проверь этим способом правомочность этого выражения». Нельзя узреть правомочность какого-либо выражения, не охватив взором его применений, а этого нельзя сделать, всматриваясь лишь в какую-то грань его применения, скажем, в ту или иную, связанную с ним картину.

69

II

1939 - 1940

1. «Математическое доказательство должно быть обозримым». «Доказательством» мы называем только ту структуру, которую несложно воспроизвести. Должно быть возможным четко определять, действительно ли мы дважды имеем дело с одним и тем же доказательством или нет. Доказательство должно быть конфигурацией, наверняка поддающейся точному воспроизведению. Или же: то, что существенно в доказательстве, должно наверняка поддаваться точному воспроизведению. Оно может, например, быть записано двумя разными почерками или разными цветами. К воспроизведению доказательства не следует относить то, что составляет точное воспроизведение оттенка цвета или почерка.

Должно быть легко вновь точно записать это доказательство. В этом состоит преимущество написанного доказательства перед до- казательством-изображением. Существенное в доказательствах второго типа часто бывает понято неверно. Чертеж того или иного Евклидова доказательства может быть неточен в том смысле, что прямые не прямы, сегменты окружности не точно кругообразны и т. д. и т. д., и при этом представлять собой все-таки точное доказательство. А из этого понятно, что данный рисунок, например, не демонстрирует, что такая конструкция дает многоугольник с пятью сторонами равной длины, что он доказывает положение геометрии, а не предложение о свойствах бумаги, циркуля, линейки и карандаша.

[В связи с этим: доказательство — картина эксперимента.] 2. Я хочу сказать: если неясную форму доказательства делают яс-

ной путем изменения записи, то сначала создают доказательство там, где прежде его не было.

Представь себе теперь доказательство РАССЕЛОВСКОГО положения о сложении типа а + Ъ = с, которое состояло бы из нескольких ты-

70

Π, 1939-1940

сяч знаков. Ты скажешь: усмотреть, правильно ли это доказательство или нет, — это чисто внешняя сложность, не представляющая никакого математического интереса. («Один человек легко схватывает то, что другой схватывает с трудом или вообще не схватывает» и т. д. и т. д.)

Предположение состоит в том, что определения служат только для сокращения выражения, для удобства исчисления; но вместе с тем они являются частью исчисления. С их помощью получают выражения, которые без этого не могли бы быть получены.

3. А как же быть вот с этим: «Хотя в РАССЕЛОВСКОМ исчислении нельзя — в обычном смысле — умножить 234 на 537, но есть такое РАССЕловское исчисление, которое соответствует этому умножению»? — Какого типа это соответствие? Возможно, оно таково: это умножение можно выполнить и в РАССЕЛОВСКОМ исчислении, но только в другой символике — иначе говоря, оно выполнимо в другой числовой системе. Тогда путем расчета в РАССЕЛОВСКОМ исчислении можно было бы, скажем, решать, правда, более сложным способом, и практические задачи, для решения которых используется такое умножение.

Представим себе теперь кардинальные числа в виде 1, 1 + 1, (1 +

+ 1)	+ 1, ((1	+ 1) +· 1) + 1 и т. д. Ты скажешь, что определе-
ния,	вводящие	цифры десятичной системы, служат просто для

удобства; исчисление 703 000 χ 40 000 101 можно было бы выполнить и в такой длинной записи. Но так ли это? — «Конечно же, это так! Я ведь могу записать, построить исчисление в той записи, которая соответствует исчислению в десятичной записи». — А как узнать, что она ей соответствует? — Ну хотя бы по тому, что я вывел ее из другой по определенному методу. — А если я посмотрю на нее снова через полчаса, разве она не может за это время измениться? Ведь она необозрима.

И вот я спрашиваю: можно ли убедиться в истинности предложения «7 034 174 -f 6 594 321 = 13 628 495» также с помощью доказательства, выполненного в первой записи? — Есть ли такое доказательство этого предложения? — Ответ: нет.

4. Но не учит ли нас РАССЕЛ все же одному типу сложения? Предположим, мы доказали методом РАССЕла, что (3 а ... g) (5 а

... /) D (3 α ... s) есть тавтология; можно ли было бы тогда свести наш результат к выражению g + I есть sl Это ведь предполагает, что можно принять эти три элемента алфавита за представителей доказательства. Но явлено ли это в доказательстве РАССЕла?

71

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

я мог бы со всей очевидностью выполнить РАССЕловское доказательство с помощью групп знаков в скобках, не усматривая ничего характерного в их последовательности, так что бдоо бы невозможно представить ту или иную группу знаков в скобках ее последним членом.

Предположим даже,	будто РАССЕловское доказательство проведено
в записи типа хх х2	... х1 0 х п ... х1 0 0	... как в десятичной записи
и что в первой скобке 100 членов,		во второй — 300, а	в тре-
тьей — 400; само доказательство показывало бы в этом			случае,

что 100 + 300 = 400? — Что, если это доказательство приводило бы один раз к этому результату, а другой раз к другому, например 100 + 300 = 420? Что могло бы убедить в том, что результат доказательства, если оно правильно проведено, всегда зависит только от последних цифр двух пар первых скобок?

Но небольшие числа РАССЕЛ все же учит нас складывать; ибо тут мы схватываем взглядом группы знаков в. скобках и можем взять их в качестве числовых знаков, например <<ху>>, «xyz>>, «xyzuv». Таким образом, РАССЕЛ учит нас другому исчислению для получения 5 из 2 и 3; и это верно, хоть мы и говорим, что логическое исчисление есть только бахрома, подвешенная к арифметическому исчислению.

Применение исчисления должно заботиться о себе само. И это верно именно для «формализма».

Сведение арифметики к символической логике должно показать применение арифметики; это как бы насадка, с помощью которой осуществляется ее применение. Как если бы человеку показать сначала трубу без мундштука, а потом мундштук, который учит тому, как труба используется и как приводится в контакт с человеческим телом. Однако та насадка, которую дает нам РАССЕЛ, с одной стороны, слишком узка, а с другой— слишком широка: слишком всеобща и слишком специальна. Исчисление заботится о своем собственном применении.

Мы распространяем наши идеи от исчислений с небольшими числами на исчисления с большими числами, подобно тому как представляем себе, что если дистанция отсюда до Солнца могла бы быть измерена с помощью дюймовой линейки, то получилось бы как раз то, что мы сегодня получаем совершенно иным способом. Это значит, что мы склонны брать измерение длины дюймовой линейкой в качестве модели и для измерения расстояния между двумя звездами.

72

И, 1939-1940

Говорят же, например, в школе: «Если мы представим себе дюймовые линейки, положенные отсюда до Солнца...» — и кажется, будто тем самым объяснено, что понимается под расстоянием между Солнцем и Землей. И использование такой картины вполне правомерно, поскольку нам ясно, что измерить расстояние от нас до Солнца можно, но что нельзя измерить его дюймовыми линейками.

5. Что, если бы кто-то сказал: «Собственно, доказательство того, что 1000 + 1000 = 2000, — это ведь рлссЕловское доказательство, которое показывает, что выражение ... есть тавтология»? Ибо разве нельзя доказать, что тавтология получается тогда, когда в первых и вторых скобках будет по 1000 членов, а в третьих — 2000? И если такое доказательство выполнимо, то я могу рассматривать его как доказательство приведенного арифметического предложения.

Постановка того или иного вопроса в философии всегда предпочтительнее ответа на вопрос.

Ибо ответ на философский вопрос вполне может быть неправилен; исчерпывание же одного вопроса с помощью другого неправильным быть не может.

Должен ли я, например, в данном случае поставить какой-то воп-

рос вместо ответа, гласящего,	что то	арифметическое предложе-
ние недоказуемо методом РлссЕла?
1	2	з
6. Доказательство того, что ( )	( ) з	( ) есть тавтология, состоит

в том, что один из членов третьих скобок всегда соотносят с одним членом (1) или (2). И есть ведь много способов такой сверки. Или можно даже сказать: есть много способов установить успешность корреляции 1—1. Одним из таких способов могло бы быть, например, построение звездообразных узоров, одного для левой стороны импликации и одного для правой, и образование из них — путем все новых сравнений — единого орнамента.

Таким образом, можно сформулировать правило: «Если ты хочешь знать, действительно ли числа А и В вместе дают С, запиши выражение формы ... и упорядочи относительно друг друга переменные в скобках, записав (или стремясь записать) доказательство того, что выражение есть тавтология».

Мое возражение против этого состоит не в том, что предписывать именно этот способ сверки есть произвол, а в том, что таким способом нельзя определить, что 1000 + 1000 = 2000.

7. Представь, что ты записал «формулу» длиною в милю и с помо-

73

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

щью преобразования показал, что она тавтологична («если она за это время не изменилась», следовало бы сказать). Теперь сосчитаем члены в скобках или же разграничим их и сделаем выражение обозримым, тогда выявится, что в первых скобках стоит 7566 членов, во вторых — 2434, а в третьих — 10000. Показал ли я теперь, что 2434 4- 7566 = 10000? — Это зависит — можно сказать — от того, уверен ли ты, что этот подсчет действительно дал число членов, которые во время доказательства стояли в скобках.

Можно ли сказать: «РАССЕЛ учит нас вписывать в третьи скобки столько переменных, сколько их стоит в первых и вторых скобках вместе»? Но по сути говоря: он учит всегда соотносить один из членов в третьих скобках с одним из членов в (1) или (2).

А учимся ли мы тем самым тому, какое число есть сумма двух заданных чисел? Возможно, скажут: «Конечно, ведь в скобках (3) стоит парадигма, образец нового числа». Но насколько I I I I I I I I I I I I I I I I есть парадигма некоего числа? Поразмысли о возможности ее использования как таковой.

8. Эта тавтология РлссЕла, выражаемая предложением а + Ъ = с, прежде всего не показывает, в какой системе обозначений следует записывать число с, и нет оснований не использовать для этой цели форму а + Ъ. — Ведь РАССЕЛ совсем не учит нас технике сложения, например, в десятичной системе. — А нельзя ли вывести ее самостоятельно из его техники?

Поставим вопрос так: можно ли вывести технику десятичной системы из техники системы 1, 1 + 1, (14-1) - М и т . д.?

Нельзя ли поставить тот же вопрос так: если имеется техника счета в одной системе и техника счета в другой, как показать, что обе они эквивалентны?

9. «Доказательство должно показывать не просто, что это так, но и что это должно быть так».

При каких условиях числа показывают это?

Можно ответить так: «Если цифры и считаемое передаются в запоминающейся конфигурации. Если эту картину используют те-

перь всегда вместо повторного просчитывания	этого множест-
ва». — Но здесь мы говорим, очевидно, лишь о	пространствен-

ных картинах: а если, скажем, мы знаем наизусть ряд слов и затем координируем один к одному два таких ряда, сопровождая свои действия, например, словами «первый— понедельник, второй — вторник, третий — среда» и т. д., разве мы не можем тем самым до-

74

И, 1939-1940

казать, что от понедельника до четверга проходит четыре дня? Вопрос в том: что мы называем «легко запоминающейся конфигу-

рацией»? Что является	критерием того, что мы ее запомнили?
Или служит ли ответом	на это: «То, что мы используем ее в ка-

честве парадигмы тождества!»?

10. Чтобы установить свойства теоремы, или доказательства, мы

не	проводим экспериментов.
Как	мы репродуцируем, как воспроизводим то или иное доказа-

тельство? — Не производя, например, его измерения.

А что, если бы доказательство представляло собой невероятно длинную выкладку, которую едва ли можно обозреть? Или рассмотрим другой случай. Возьмем в качестве парадигмы числа, которое назовем 1000, длинный ряд черточек, выцарапанных на скале. Этот ряд назовем пратысячей [эталоном тысячи], и, чтобы узнать, находится ли на какой-то площади тысяча человек, будем чертить палочки или натягивать веревки (соответствие 1 к 1).

Знак числа 1000 идентичен тут не образу, а физическому предмету. Подобным же способом можно представить себе прасотню и т. д., а также доказательство того, что 10 χ 100 = 1000, которое невозможно охватить одним взглядом.

Цифру 1000 в системе 1 + 1 + 1 + 1 ... нельзя узнать по ее виду.

1 1 . Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι

Является ли эта схема доказательством того, что 27 + 16 = 43, поскольку при подсчете черточек слева получается 27, а при подсчете черточек справа — 16, суммарное же исчисление всего ряда дает 43?

Что необычного в том, чтобы данную схему считать доказательством этого предложения? Необычно то, как воспроизводится и опознается это доказательство; то, что оно не имеет характерного визуального образа.

Но даже если такое доказательство не имеет визуального образа, тем не менее его можно точно скопировать (воспроизвести), — разве в этом случае схема не будет доказательством? Я мог бы, например, выгравировать ее на кусочке стали и передавать его из рук в руки. Так, я мог бы сказать кому-то: «Вот тебе доказательство того, что 27 + 16 = 43». Разве в этом случае все-таки нельзя сказать: он доказывает это математическое положение при помощи рисунка? Можно, но все же рисунок не является доказательством.

75

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Но вот что можно было бы все же назвать доказательством того, что 250 + 3220 = 3470: счет ведут от 250 и одновременно начинают другой счет с 1, координируя тот и другой счет таким образом:

251.... 1

252.... 2

253.... 3

ит. д. 3470 .... 322Ö

Это можно было бы назвать доказательством, проходящим через 3220 ступеней. Это все:таки доказательство, но можно ли его назвать наглядным?

12. Что представляло собой по существу изобретение десятичной системы? Открытие системы сокращений. Но что такое система сокращений? Является ли она просто системой новых цифр или же вместе с тем системой их применения для сокращения? И если верно последнее, то это является новым способом рассмотрения старой системы числовых знаков.

Можно ли, отталкиваясь от системы 1 + 1 + 1 ..., путем простого сокращения способа записи научиться считать в десятичной системе?

13.	Допустим, я доказал, по РАССЕЛУ, выражение формы (3 xyz...)
(3	uvw...) ζ) (3 аЪс.) — и теперь «делаю его наглядным», впи-

сывая над переменными знаки χν χ2 , х3... — следует ли из этого, что я доказал, по РАССЕЛУ, арифметическое положение в десятичной системе?

Но ведь каждому доказательству в десятичной системе соответствует какое-то доказательство в системе РлссЕла. — Откуда нам известно, что это так? Оставим в стороне интуицию. — Но это можно доказать. — Если в десятичной системе то или иное число определяют, исходя из

1,2, 3, ..., 9, 0, азнакиО, 1, ... , 9 — исходя из 1, 1 + 1 , (1 + 1) + + 1, ... , можно ли тогда путем рекурсивного объяснения десятичной системы получить из любого числа знак формы 1 + 1 + 1 ... ?

Допустим, кто-нибудь скажет: арифметика РлссЕла совпадает с обычной для чисел меньше 10Ю; дальше же они расходятся. И чтобы обосновать это, он приведет доказательство РАССЕла: Юю + + 1 = Юю. Почему бы мне не доверять этому доказательству? Как меня убедят в том, что я, должно быть, допустил ошибку в этом доказательстве РлссЕла?

Нужно ли мне в этом случае доказательство из другой системы,

76