Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

ν

1941 и 1944

1. Роль предложений, в которых речь идет о мерах и которые не являются «эмпирическими предложениями». — Кто-то говорит мне: «Этот отрезок длиной 240 дюймов». Я говорю: «Это 20 футов, то есть примерно 7 шагов», — и таким образом я получаю понятие о длине. — Преобразование основывается на арифметических предложениях и на предложении о том, что 12 дюймов = 1 фугу.

Это последнее предложение никто обычно не высказывает как эмпирическое предложение. Говорят, что оно выражает соглашение. Но процесс измерения полностью утратил бы свой привычный характер, если бы, например, выстраивание в ряд 12 отрезков длиной в дюйм каждый не давало, как обычно, некой длины, которая в свою очередь может особым образом сохраняться.

Должен ли я поэтому сказать, что предложение „12 дюймов = 1 футу" повествует обо всех этих вещах, придающих процессу измерения его теперешний смысл?

Нет. Данное предложение основывается на некой технике. И если угодно, на физических и психологических фактах, делающих возможной эту технику. Но отсюда не следует, что его смысл сводится к выражению этих условий. Противоположностью такому предложению («12 дюймов = 1 футу») вовсе не является утверждение, что линейки недостаточно жестки или что не все мы считаем и вычисляем одинаковым образом.

2. Это предложение играет типичную (что не означает простую) роль правила.

С помощью предложения „12 дюймов = 1 футу" я могу сделать предсказание, в частности, о том, что двенадцатидюймовые куски дерева, выложенные в ряд, окажутся равными по длине куску, измеренному другим способом. Стало быть, смысл такого правила заключается, например, в том, что с его помощью можно сделать

167

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

определенные предсказания. Утрачивает ли оно из-за этого характер правила? —

Почему можно сделать такие предсказания? Что же, все линейки сработаны одинаково; они не разнятся много в длине; куски дерева, распиленные по футу или дюйму, — тоже; наша память достаточно надежна для того, чтобы, считая до 12, мы не повторили цифру дважды и ничего не пропустили; и т. д.

А нельзя ли заменить правило каким-либо эмпирическим предложением, гласящим, что линейки сработаны определенным образом, что люди пользуются ими так? Было бы дано нечто вроде этнологического описания этой человеческой институции.

Итак, очевидно, что это описание могло бы взять на себя функцию правила.

Тот, кто знает некое математическое предложение, еще ничего не знает. Если в наших операциях возникает путаница, если каждый вычисляет по-разному, один раз — так, а другой раз — эдак, то здесь еще нет никакого вычисления; придя к некоему соглашению, мы только завели наши часы, а вовсе еще не измерили время. Тот, кто знает некое математическое предложение, еще ничего не знает.

То есть это математическое предложение должно быть только строительными лесами для описания.

3. Как простое преобразование выражения может иметь практические последствия?

То, что у меня есть 25 χ 25 орехов, можно верифицировать, насчитав 625 орехов, но можно выяснить это и другим способом, более близким к форме выражения „25 χ 25". И конечно, именно во взаимосвязи обоих этих способов определения числа состоит цель умножения.

Правило в большинстве случаев обособлено, оно, так сказать, горделиво покоится; хотя то, что делает его значимым, — это факты повседневного опыта.

То, что мне надо сделать, — это что-то вроде описания королевской канцелярии; — при этом я не имею права совершить промах и объяснить королевское достоинство полезностью короля; и все же я не могу оставить без внимания ни полезность, ни достоинство.

В практической деятельности я сообразуюсь с результатом преобразования выражения.

А в таком случае как можно утверждать, что высказывания: «Здесь

168

V, 1941 и 1944

625 орехов» и «Здесь 25 χ 25 орехов», — означают одно ито же? Тот, кто верифицирует предложение «Здесь 625...», верифицирует тем самым и «здесь 25 χ 25...», и т. д. И все же одна форма ближе к одному типу верификации, а другая — к другому.

Как ты можешь утверждать, что «...625...» и «...25 χ 25...» говорят об одном и том же? — Они становятся одним и тем же лишь благодаря нашей арифметике.

Я могу получать то один, то другой тип описания, например, путем счета. То есть получать каждую из обеих форм то тем, то другим образом; но ту и другую различным путем.

Тут можно спросить: если предложение «...625...» было верифицировано один раз так, а другой раз иначе, то выражало ли оно рба раза одно и то же?

Или: что происходит, если один метод верифицирования дает „625", а другой — не дает „25 х 25"? — Тогда «...625...» истинно, а «...25 х 25...» ложно? Вовсе нет! — Сомневаться в одном — значит сомневаться и в другом: определенная грамматика, привносимая в эти знаки нашей арифметикой.

Если оба способа счета позволяют обосновать указанное число, то достигается указание лишь на одно число, пусть и в различных формах. Напротив, можно, не впадая в противоречие, сказать: «При одном способе счета у меня получается „25 х 25" (и таким образом, 625), а при другом — не 625 (и таким образом, не 25 х 25)». Арифметика не имеет против этого никаких возражений.

То, что арифметика приравнивает друг к другу оба выражения, — это, можно сказать, грамматический трюк.

Она тем самым перекрывает определенный тип описания и отводит его в другие каналы. (И необязательно сразу же отмечать, что это связано с фактами опыта.)

4. Предположим, что я научил кого-то умножать, но не с помощью сформулированного общего правила, а только благодаря тому, что он видит, как я решаю для него примеры. Я могу затем написать ему новое задание и сказать: «Сделай с этими двумя числами то же самое, что делал я с прежними». Но я могу также сказать: «Если ты с этими двумя сделаешь то же, что я сделал с другими, то ты придешь к числу...» Что это за предложение?

«Ты напишешь то-то» — предсказание. «Если ты напишешь тото, — значит, выполнишь действие так, как я тебе показывал» — это определение того, что называется «следовать чьему-то правилу».

169

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

„Решением этой задачи является..." — Что это за предложение, если я прочитываю это, прежде чем вычислил ответ задачи? «Если ты сделаешь с этими числами то, что я тебе показывал с другими, то получишь...» — это означает: «Результатом этого вычисления является...» — и это не предсказание, а математическое предложение. Но в то же время это все-таки предсказание! — Предсказание особого рода. Так, может неподдельно удивиться человек, обнаружив, что при сложении столбцов на самом деле получается то-то; он может, например, воскликнуть: а ведь, ейбогу, получается это!

Представь себе тогда этот процесс предсказывания и подтверждения как особую языковую игру — я имею в виду изолированно от всего прочего в арифметике и ее применении.

Что же так необычно в этой игре в предсказания? То, что мне кажется странным, исчезло бы, если бы предсказание звучало так: «Будучи уверен в том, что последовал моему примеру, ты получишь это» или «Если тебе все будет казаться правильным, то результатом будет это». Такая игра могла бы быть, скажем, связана с введением определенного яда, и предсказание тогда было бы, например, таково, что инъекция повлияет определенным образом на наши способности, на нашу память. — Но если мы можем представить себе игру с введением яда, то почему же мы не можем представить себе такую же игру с введением лекарства? Но и тогда весомость предсказания все еще может опираться на то, что здоровый человек рассматривает это как результат. Или, может быть, что здорового человека это удовлетворяет.

«Следуй за мной, тогда ты это выяснишь» не значит, конечно: «Следуй за мной, тогда ты будешь за мной следовать» — и не значит: «Вычисляй так, тогда ты будешь так вычислять». — Но что значит: «Следуй за мной»? В языковой игре это может быть просто приказом: «Следуй сейчас за мной!»

Какова разница между предсказаниями: «Если ты правильно вычисляешь, то получишь это» и «Будучи уверен в том, что ты правильно вычисляешь, ты получишь это»!

Ну, а кто говорит, что в моей вышеописанной языковой игре предсказание не означает последнего? Кажется, что оно этого не означает, но как это проявляется! Спроси себя, при каких условиях данное предсказание казалось бы предсказывающим одно, а при каких — другое. Ибо ясно, что это зависит здесь от остальных условий.

170

V, 1941 и 1944

Тот, кто мне предсказывает, что я получу это, не предсказывает ли как раз того, что я буду считать правильным этот результат? — «Но так произойдет, — пожалуй, скажешь ты, — именно потому, что это действительно правильно]» — А что означает это: «Я считаю вычисление правильным, потому что оно правильно»?

И все же можно сказать: в моей языковой игре производящий вычисление не думает о том, что факт получения этого является особенностью его существа; факт не кажется ему психологическим.

Представляя себе этого человека, я нахожусь под впечатлением, что он лишь как бы следовал уже имеющейся нити. А способ этого следования принимал как нечто само собой разумеющееся, зная только одно объяснение своего действия — а именно движение нити.

Правда, следуя правилу или примерам, он следует им по-своему, но не рассматривает такие действия как некую особенность своего прохождения; он не говорит: «Итак, я проследовал таким образом», — а говорит: «Стало быть, прохождение таково».

Но если бы кто-то в конце вычисления в нашей языковой игре все же сказал: «Итак, я отклонился в сторону таким образом]» или «Итак, я доволен этим отклонением!» — то могу ли я тогда сказать, что он неправильно понял всю языковую игру? Конечно же, нет! Если, помимо этого, он не использует ее каким-либо нежелательным образом.

Не получается ли, что такое применение данного вычисления рождает точку зрения, будто это оно, вычисление, а не мы сами совершаем прохождение?

Почему ты всегда стремишься рассматривать математику в аспекте изыскания, а не в аспекте действия?

Большое влияние должно здесь иметь то, что при вычислении мы употребляем слова «правильно», «истинно», «ложно» и форму утверждений. (Покачивания головой и кивки.)

Почему я должен утверждать, что знание того, что все люди, выучившиеся вычислять, считают именно так, не есть математическое знание? Потому что оно, кажется, указывает на другой контекст.

Является ли, таким образом, подсчет результатов вычисления уже

прикладной	математикой?	А значит, и подсчет	моих со-
бственных	результатов?
5. Нет никакого сомнения в том, что в определенных			языковых

171

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

играх математические предложения играют роль правил описания — в противоположность предложениям-описаниям.

Но это не означает, что такая противоположность не скрадывается во всех направлениях. А это в свою очередь не означает, что эта противоположность не обладает исключительной важностью.

То, что показывает математическое доказательство, представляется внутренним отношением и не подлежит сомнению.

6. Что общего у математического предложения и математического доказательства, из-за чего они оба называются «математическими»? Не то, что математическое предложение должно быть математически доказано; не то, что математическое доказательство должно доказывать некое математическое предложение.

Что математического есть в недоказанном предложении (аксиоме) ? Что общего между ним и математическим доказательством? Должен ли я ответить: «Правила вывода математического доказательства всегда являются математическими предложениями»? Или: «Математические предложения и доказательства служат получению вывода»? Это было бы уже ближе к истине.

Мы говорим: доказательство — это образ. Но такой образ нуждается в апробации, которую мы ему устраиваем при пересчете. — Вероятно, это так. Но если бы апробация· у одного человека получалась, а у другого нет и они не могли прийти к взаимопониманию, было ли это тогда вычислением?

Стало быть, вычислением это делает не одна апробация сама по себе, но прежде всего совпадение апробаций.

Ибо вполне можно представить себе и игру, в которой люди, побуждаемые выражениями, несколько сходными с общими правилами, придумывают себе для определенных практических задач, то есть ad hoc, последовательности знаков, и вполне допустимо, что это даже оправдывало бы себя. И здесь «вычислениям», пожелай мы их так назвать, не было бы необходимости совпадать друг с другом. (Здесь можно было бы говорить об «интуиции».)

Совпадение апробаций — это предварительное условие нашей языковой игры, оно в ней не утверждается.

Если какое-то вычисление — служит экспериментом и его условия выполнены, то мы должны признать в качестве результата то, что получается; и если вычисление — эксперимент, то предложение: в результате оно дает то-то, в конечном счете представляет

172

V, 1941 и 1944

собой предложение о том, что при данных условиях появляется данный тип знаков. Если же при этих условиях получают то один, то другой результат, то нельзя сказать: «Что-то тут не так» или «Оба вычисления не могут быть верными», — а следует сказать: это вычисление не во всех случаях дает один и тот же результат (почему — необязательно должно быть известно). И хотя процесс теперь стал особенно интересным, даже, возможно, еще интереснее, чем прежде, но то, с чем мы имеем дело, уже не вычисление. А это опять-таки некое грамматическое замечание об употреблении слова «вычисление». И в этой грамматике, бесспорно, есть своя изюминка.

Что значит прийти к взаимопониманию относительно разницы

в результатах вычисления? Это ведь значит прийти к одинаковому процессу вычислений. Если же достичь понимания не удается, то один из вычисляющих не может сказать о другом, что тот тоже вычисляет, просто с другими результатами.

7. Ну, а должен ли я тогда сказать: один и тот же смысл может иметь лишь одно доказательство? Или: коли найдено доказательство изменяется смысл?

Конечно, кое-кто возразил бы: «В таком случае никогда нельзя найти доказательство предложения, ибо если оно уже найдено, оно перестает быть доказательством этого предложения». Но это еще ни о чем не говорит. — Все зависит от того, что устанавливает смысл предложения. То о

чем мы хотим сказать — устанавливает смысл предложения. Его должно устанавливать употребление знаков; но что мы считаем употреблением? — То, что оба доказательства доказывают одно и то же предложе-

ние, означает примерно следующее: оба характеризуют его как подходящий инструмент для достижения одной и той же цели.

Ацелью является намек на вне-математическое.

Лоднажды сказал: «Если хочешь знать, о чем говорит математическое предложение, посмотри, что доказывает его доказательство». Не заключены ли в этом одновременно как истинное, так и ложное? Действительно ли смысл, суть математического предложения становятся ясными, как только мы можем следовать за доказательством?

Если два доказательства доказывают одно и то же предложение, то можно, в общем-то, представить себе условия, в которых исключается все связанное с этими доказательствами окружение,

173

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

так что они предстают одинокими и голыми, и тогда нет никакого основания утверждать, что у них было что-то общее, что они доказывали одно и то же предложение.

Стоит лишь вообразить себе такие доказательства вне включающего и связывающего их организма применения, как они предстают, так сказать, нагими и босыми. (Как две кости скелета, освобожденные от окружающих их разнообразных связей организма, в системе которого мы только и привыкли мыслить себе их.)

Когда мы говорим о различных образных рядах, что они продемонстрировали, например, что 25 χ 25 = 625, то довольно просто узнать, что фиксирует то место данного предложения, к которому ведут оба пути.

То или иное новое доказательство встраивает предложение в некий новый порядок; при этом часто происходит перевод одного типа операций в совершенно другой. Словно мы переводим уравнения в кривые. И тогда мы узнаем что-то о кривых, а тем самым и об уравнениях. Но по какому праву мы позволяем убедить себя с помощью хода мысли, который, как кажется, совершенно далек от объекта наших мыслей?

Так ведь наши операции не более далеки от нашего объекта, чем, например, деление в десятичной системе от распределения орехов! Особенно если представить себе (а это легко сделать), что такая операция первоначально была придумана для другой цели, чем разделение, и т. п.

Если ты спросишь: «По какому праву?», — то ответом будет: может быть, и без всякого права. — По какому праву ты говоришь, что продолжение этой системы будет идти параллельно той? (Словно бы ты признал единицами измерения одновременно и дюйм и фут и утверждал бы, что 12п дюймов будут всегда иметь ту же длину, что и η футов.)

8. В РАССЕЛОВСКОМ „~f(f)" отсутствует прежде всего применение, а поэтому и смысл.

Если же эту форму все-таки применяют, то тем самым не говорится, что ,$/)" должно быть предложением в каком-то привычном смысле или что ,$(ζ)" должно быть пропозициональной функцией. Ибо понятие предложения, кроме понятия предложения логики, объясняется РАССЕЛОМ ТОЛЬКО В общих, традиционных чертах.

Здесь смотрят на язык, не глядя на языковую игру.

174

V, 1941 и 1944

Предположим, что мы производим вычисление с помощью чисел и иногда используем также деление с помощью выражений формы (п — п) и таким способом получаем тут и там результаты умножения, отличающиеся от обычных, и т. д. Но это никому бы не мешало. — Сравни с этим: мы составляем списки, перечни лиц, но не так, как это обычно делаем, не в алфавитном порядке; и тогда получается, что одно и то же имя в некоторых списках встречается чаще одного раза. Но ведь можно предположить, что этого никто не замечает или же что люди это видят, но принимают совершенно спокойно. Так, можно представить себе людей некоего племени, которые, если у них монеты падают на землю, полагают, что не стоит труда их поднимать. (У них, допустим, есть для таких случаев поговорка: «Это принадлежит другим» — или что-то в этом роде.)

Но вот времена меняются, и люди (вначале лишь немногие) начинают требовать точности. Имея на это право? Без всякого права? — И что же, прежние перечни не были тогда собственно перечнями? —

Скажем, мы получили некоторые результаты наших вычислений путем скрытого противоречия. Становятся ли они из-за этого незаконными? — А если теперь мы решительно не желаем признать такие результаты и все же опасаемся, что некоторые из них могут вкрасться в наши подсчеты. — Что ж, тогда у нас будет идея, способная дослужить образцом для некоего нового исчисления. Подобно тому как может возникнуть идея какой-то новой игры.

РлссЕловское противоречие беспокоит нас не потому, что оно — противоречие, а потому, что весь нарост, кульминацией которого

оно	является, представляет собой раковую опухоль, возникшую,
как	кажется, без цели и смысла из нормального тела.

Можно ли тогда сказать: «Мы стремимся к такому исчислению, которое будет с большей надежностью говорить нам истину»?

Но ведь ты же не можешь признать противоречие! — Ну почему же не могу? Мы ведь иногда употребляем эту форму в нашей речи, правда, довольно редко, — но можно в общем представить себе языковую технику, в которой оно было бы постоянным инструментом.

Можно, например, сказать о некоем объекте в движении, что он существует и вместе с тем что он не существует в данном месте; изменение могло бы быть выражено через противоречие.

Возьми какую-нибудь музыкальную тему, например глйдновскую (хорал св. Антония), возьми часть одной из БРАМСОВСКИХ вариа-

175

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ций, которая соответствует первой части данной темы, и поставь себе задачу создать вторую часть вариации в стиле ее первой части. Эта проблема — того же типа, что и математические проблемы. Если решение найдено, например такое, какое предлагает БРАМС, ТОсомнений нет — это является решением.

С этим способом решения мы согласны. И все же здесь ясно, что вполне могут существовать разные пути, с каждым из которых мы можем согласиться, каждый из которых мы могли бы назвать последовательным .

«Мы совершаем только законные — то есть разрешенные правилами — шаги и вдруг приходим к противоречию. Тогда перечень правил, как он есть, оказывается бесполезным, ибо противоречие опрокидывает всю игру». Почему же ты позволяешь ему опрокидывать ее?

Но я хочу, чтобы можно было механически, по правилам, делать дальнейшие заключения, не получая противоречивых результатов. Так вот, к какому типу предвидения ты стремишься? К такому, которого не допускает твое нынешнее исчисление? Что ж, из-за этого оно не становится плохим разделом математики или же не в полном смысле математикой. Тебя вводит в заблуждение смысл слова «механически».

9. Если ты ради практической цели хочешь механически избежать противоречия, на что не способно пока твое исчисление, то это похоже примерно на то, как если бы ты искал конструкцию ...- угольника, который до сих пор мог начертить лишь методом проб и ошибок, или же как если бы ты искал решение уравнения третьей степени, к которому ты до сих пор лишь приближался.

Здесь не улучшается плохая математика, а изобретается новый раздел математики.

Предположим, что я хочу так определить некое иррациональное число, чтобы в его разложении не появлялось сочетание „777". Я мог бы взять π и предписать: если эта фигура возникает, мы будем вместо нее ставить 000. И вот мне говорят: этого недостаточно, ибо тот, кто рассчитывает позиции, не имеет возможности оглядываться на прежние. Тогда мне нужно другое исчисление; такое, чтобы я мог быть заранее уверен в том, что оно никак не даст „777". Математическая проблема.

«Пока непротиворечивость не доказана, я никогда не смогу быть совершенно уверен в том, что кто-то, выполняющий счет машинально, но по правилам, не вычислит что-нибудь не то».

176