Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

Ι, 1937-1938

дение особым употреблением глагола «умозаключать», мы готовы вообразить, будого умозаключение являет собой какую-то необычную деятельность, особый процесс в сфере разумения, как бы невнятные наплывы, из которых возникает логический вывод. Но приглядимся все же к тому, что происходит! — Здесь имеет место переход от одного высказывания к другому через ряд предложений — то есть с помощью цепи выводов; но о последней нам нет нужды говорить, так как сама эта цепь предполагает переход иного рода — от одного звена к следующему за ним. Процесс перехода в этом случае совершается между звеньями. В этом процессе нет ничего таинственного; это — выведение знаков одного предложения из знаков другого по некоему правилу; сравнение обоих предложений с каким-нибудь образцом, представляющим нам схему перехода, и т. п. Такие процессы могут совершаться на бумаге, устно или же «в голове». — Но умозаключение может происходить и так, что одно предложение будет высказываться за другим в отсутствие такого перехода; или же переход может сводиться к тому, что говорится «следовательно» или «из этого следует» и т. п. «Выводом» это называют в том случае, если предложение действительно можно вывести из предпосылок.

7. Что же тогда означает: одно предложение можно вывести из другого согласно правилу? Разве нельзя вывести все из всего с гомощью какого-нибудь правила — даже с помощью любого правила, истолкованного соответствующим образом? Что будет означать, если я, например, скажу: «Это число можно получить умножением таких-то двух чисел?» Это и будет правило, говорящее о том, что при верном умножении должно получиться такое число; обрести же данное правило можно, перемножая два числа или же иным способом (хотя любую процедуру, приводящую к данному результату, можно было бы назвать «умножением»). Обо мне говорят, что я перемножил в том случае, когда я провел умножение: 265 х 363 — но и, когда я говорю: «4 раза по 2 дают 8», — хотя здесь произведение не есть результат счета (но я бы мог его и вычислить). Так что, мы говорим, что получен результат и в том случае, когда он не вычислен.

8.Так ведь выводить можно лишь то, что действительно выводит-

ся ! — Должно ли это означать: лишь то, что следует из правил вывода; или же это должно означать: только то, что следует из таких правил вывода, которые каким-то образом согласуются с реальностью? При этом нам смутно представляется, будто эта ре-

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

альность — нечто весьма абстрактное, очень общее и очень жесткое. Логика — своего рода ультрафизика, описание «логического строения» мира, воспринимаемого путем своеобразного ультраопыта (вкупе, скажем, с пониманием). Тут, вероятно, приходят на ум умозаключения вроде вот этого: «Печь дымит, следовательно, труба опять не в порядке». (Вот так и осуществляется подобное умозаключение! А не так: «Печь дымит, а всегда, когда дымит печь, труба не в порядке; следовательно ...»)

9. То, что мы называем «логическим выводом», есть некое преобразование выражения. Например, пересчетом одной системы мер в единицы другой. На одном конце линейки масштаб дан в дюймах, на другом — в сантиметрах. И конечно, переход от одной меры к другой может быть как правильным, так и неверным; но с какой реальностью здесь согласуется правильность? Вероят-

но, с неким соглашением или с неким употреблением		или, мо-
жет быть, с практическими потребностями.
10. «Но не должно ли	тогда, например, из „(х) · fx"	следовать
,j(a)", если „(х) · fx"	мыслится так, как мы его мыслим?» — А

как проявляет себя то,		как мы его мыслим? Разве		не	путем
постоянной практики	его употребления? Или, скажем, не				через
определенные жесты	и	нечто им подобное?	Но	когда мы

произносим слово «все», к нему как бы прибавляется что-то — определенное значение, с которым было бы несовместимо иное его употребление. «„Все" — это и означает: все!» — говорим мы. Если бы требовалось объяснить это значение, мы бы сказали: «„Все" — это и есть все», сопроводив эти слова особым жестом и

миной.			t
Сруби все эти деревья!		Ты	не понимаешь, что означает
«все»? (Он оставил одно дерево.)			Как он усвоил, что означает
все!	Вероятно, на практике. — И, получив указание, он делает
это,	конечно, благодаря такой практике, но ею же порождается
вокруг данного слова масса образов			(визуальных и иных), возни-
кающих — то один, то		другой —	в нашем сознании, когда мы

слышим или произносим слово. (И если нужно дать себе отчет в том, каково «значение» слова, мы сначала схватываем в этой массе образов какой-то один, а затем отвергаем его как несущественный, убедившись, что в разное время сознанию предстает то один, то другой образ, а то и вовсе никакого.)

Значению слова «все» учатся в процессе усвоения того, что из „(x)'ßc" следует ,jh". — Упражнения, с помощью которых тре-

Ι, 1937-1938

нируются как употреблять данное слово, понимать его значение, всегда направлены на то, чтобы не допускать исключений.

11.Как мы учимся умозаключать? Или же мы этому не учимся? Знает ли ребенок, что из двойного отрицания следует утверждение? И как его убеждают в этом? Вероятно, ему показывают какой-либо процесс (двойное обращение, двукратный поворот на 180° и т. п.), который он воспринимает теперь как образ отрицания.

Исмысл высказывания „(х) · fx" проясняют, подчеркивая, что из него следует высказывание ,Juv .

12.«Ведь из „все", если оно осмысливается так, должно следовать это>>. — Если осмысливается как? Подумай над тем, как ты сам его мыслишь. Тут в твоем воображении, может быть еще всплывет некая картина — и этим дело ограничивается. — Да, верно, дело не в том, что это должно следовать, а в том, что это

следует: мы -совершаем этот переход.

Имы говорим, что если бы этого не следовало, то речь бы просто шла не обо всех, — а это лишь показывает, как мы словесно реагируем на такую ситуацию.—

13. Нам кажется, что если из „(х) · fx" больше не следует ,Ja", то помимо употребления слова «все» должно измениться и что-то еще, что-то связанное с самим словом.

Не похоже ли это на случай, когда говорят: «Действуй этот человек иначе, его характер наверняка был бы иным»? Ну, данное высказывание может что-то означать в одних случаях, в других же — ничего не означать. Мы говорим: «Из характера вытекает поведение» и по аналогии с этим: из значения вытекает употребление.

14. Это показывает — можно сказать, — как прочно связаны определенные жесты, образы, реакции с постоянно практикуемым их употреблением.

«Нам навязывается картина...» Очень интересно, что картина действительно нам навязывается. И будь это не так, как могло бы нам о чем-нибудь говорить предложение: «Что сделано, то сделано»?

15.Важно то, что в языке — в нашем обычном языке — «все» является фундаментальным понятием, а выражение «все, за исключением того-то» менее фундаментально; то есть для него не существует одного слова, а также характерного жеста.

16.Суть слова «все» как раз и состоит в том, что оно не допускает

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

исключений. — Да, именно такова суть его употребления в нашем языке; но какие виды употребления мы считаем существенными, зависит от того, какую роль играет это употребление во всей нашей жизни.

17. На вопрос, в чем состоит умозаключение, нам отвечают примерно так: «Если я установил истинность предложений... то имею право записать далее...» — В каком смысле я имею право на это? А ранее я не имел права записать это? — «Те предложения убеждают меня в истинности этого предложения». Но естественно, речь идет не только об этом. «По этим законам ум осуществляет особую деятельность логического вывода». Это, конечно, интересно и важно; ну, а истинно ли это? Всегда ли люди умозаключают по этим законам? И в чем состоит особая деятельность умозаключения? Именно поэтому необходимо видеть, как мы делаем выводы в языковой практике; чем является процесс умозаключения в языковой игре.

Например, в некоем предписании говорится: «Все, у кого рост больше 1 м 80 см, поступают в подразделение...» Один чиновник зачитывает имена, добавляя данные об их росте. Другой распределяет их по подразделениям. — «N — 1 м 90 см». «Следовательно,

Nидет в подразделение...» Это и есть умозаключение.

18.В таком случае что мы называем «выводами» у РлссЕла или Евклида? Должен ли я сказать: переходы от одного высказывания к другому, ближайшему к нему в процессе доказательства? — Но где находится этот переход? — Я говорю, что у РАССЕла одно высказывание следует из другого, если при чтении его труда одно из них выводимо из другого на основе их положения в доказательстве и дополняющих их знаков. Ведь читать эту книгу — игра, требующая обучения.

19.Часто недоумевают, в чем, собственно, состоит логическое следование и вывод; какого рода факт, какого типа процесс они собой представляют? Своеобразное употребление этих слов подсказывает нам, что следование — это существование некой связи между высказываниями, — связи, которую мы прослеживаем в ходе логического вывода. Это весьма поучительно показано в РАС СЕЛОВСКОМ изложении (Principia Mathematica). То, что предложение \-q следует из предложения f—p z> q · ρ — здесь основной логический закон:

9.12. То, что предполагается истинной посылкой — истинно. Рр. Значит, оправдан вывод \~q из l·-ρ ζ> q · ρ . В чем же тогда заклю-

10

Ι, 1937-1938

чается «вывод», та процедура, которая здесь обоснована? Несомненно, в том, чтобы в некой языковой игре произносить, записывать и т. д. одно предложение за другим в качестве утверждения. А каким образом может мне дать право на это приведенный основной закон?

20. Ведь РАССЕЛ хочет сказать: <<Так я умозаключаю, и так умозаключать правильно». То есть он хочет первым делом сообщить нам, как он намерен умозаключать: эта процедура выполняется

по правилу	умозаключения. Что оно гласит? Что это предложение
влечет за	собой то?	Да, верно, — в доказательствах этой

книги такое-то предложение должно стоять после такого-то. — Но ведь то, что так умозаключать правильно, предполагается в качестве фундаментального логического закона! — В таком случае этот основополагающий закон должен был бы гласить: «Умозаключать от ... к ... — правильно»; при этом предполагается, что этот основной закон должен быть самоочевидным — а в таком случае была бы самоочевидной также верность или обоснованность и самого правила. «Но ведь в этом правиле речь идет о предложениях в какой-то книге, а это не относится к логике!» — Совершенно верно; в действительности это правило всего лишь сообщение, что в данной книге будет использоваться только этот переход от одного предложения к другому (подобно информации в указателе), правильность же перехода в соответствующем месте должна быть очевидной; выражением же «основного логического закона» является тогда сама последовательнось предложений.

21. Своим основным логическим законом РАССЕЛ, казалось бы, говорит о предложении: «Оно уже следует — мне нужно всего лишь вывести его». Так, ФРЕГЕ однажды сказал, что прямая, связывающая какие-то две точки, по сути, уже существует до того, как мы ее проводим, и так же обстоит дело, когда мы говорим, что переходы, скажем в числовом ряду 4-2, были уже выполнены до того, как мы их осуществляем устно или письменно, как бы прочерчивая их более рельефно.

22. Тому, кто это говорит, можно ответить: ты здесь используешь некий образ. Переходы, которые надлежит кому-то выполнить в некотором ряду, можно определить, предварительно осуществив их для него: например, записывая ряд, который он должен построить, другими знаками, так что ему останется только перевести данную запись в нужные знаки; либо же действительно обозначая этот ряд тонкими контурами, так что остается их только обвести.

11

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

В первом случае можно также сказать, что мы не записываем тот ряд, который должен записать он, так что мы сами не делаем переходы в том ряду; во втором же случае ряд, который должен быть записан, уже существует. Мы сказали бы это и в том случае, если бы то, что требуется записать, диктовалось, хотя при этом произносился бы ряд звуков, а записывался ряд письменных знаков. Во всяком случае, это надежный способ определить переходы, которые кто-то должен сделать, предварительно в каком-то смысле предписав их ему. — Но эти переходы можно определить и в совершенно ином смысле. Скажем, мы тренируем ученика так, как обучают детей таблице умножения и самому умножению. Овладев соответствующим навыком, все обученные производят любые действия умножения (не пройденные ими во время обучения) одинаковым образом и с совпадающими результатами. Если кто-то благодаря такому навыку выполняет определенные переходы по заданию «4-2», то можно достоверно предсказать, как он будет поступать, даже если прежде он никогда не совершал этого перехода, — в таком случае может быть естественно ирибегнуть к такому образу происходящего: все переходы уже сделаны, он же их лишь записывает.

23.«Но мы же выводим это предложение из того, потому что оно действительно следует из него. Ведь мы убеждаемся, что оно следует». — Мы убеждаемся, что написанное здесь следует из написанного там. И это предложение используется во временном смысле.

24.Отдели чувства (жесты) согласия от того, как ты действуешь с доказательством!

25.А как обстоит дело, когда я убеждаюсь в том, что черточки на следующей схеме

ι Ι Ι Ι ι	(а)
численно равны углам на такой схеме:
А	(Ь)

12

Ι, 1937-1938

(я намеренно сделал эти схемы запоминающимися), скоррелировав их:

(с)

Ну, а в чем я убеждаюсь, глядя на эту фигуру? Я вижу звезду с нитевидными продолжениями. -*— • • 26. Но я могу использовать эту фигуру и таким образом: пять че-

ловек стоят пятиугольником: у стены расставлены жезлы, как на схеме /а,); я смотрю на схему (с) и говорю: «Я могу каждому ш* этих людей дать по жезлу».

Фигуру (с) можно рассматривать в качестве схематичной картины того, что каждому из пятерых человек я даю по жезлу.

27. Ведь, нарисовав сначала произвольный многоугольник

а затем произвольный ряд линий

I I I I I I I IМ

М

М I I I I I I II I I I I I N I II

можно выяснить путем их соотнесения, соответствует ли число углов числу линий. (Не зная заранее, что из этого получится.) И можно также сказать, что, лишь проводя линии цроекции, убеждаешься в том, что в верхней части рисунка (с) столько же штрихов, сколько углов имеет звезда внизу. (Со временем!) При таком понимании рисунок (с) не похож на математическое доказательство (как не является математическим доказательством случай, когда я даю группе людей мешок яблок, считая, что каждый из них может претендовать как раз на одно яблоко).

Но рисунок (с) можно принять и за математическое доказательст-

13

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

во. Дадим формам рисунков (а) и (Ъ) названия. Пусть форма (а) называется «рука», Р, форма (Ъ) — «пентаграмма», 77. Я доказал, что Ρ имеет столько же линий, сколько 77 имеет углов. А это уже опять вневременное предложение.

28.Доказательство — я бы сказал — единая фигура, с определенными предложениями на одном ее конце и неким предложением (которое мы называем «доказанным») — на другом ее конце.

Описание такого рода фигуры могло бы гласить: «В ней предложение... следует из ...» Это своего рода описание образца, который мог бы, скажем, быть и орнаментом (узор на обоях). Следовательно, я могу сказать: «В доказательстве на той доске предложение ρ следует из q и г», и это просто описание того, что можно увидеть там на доске. Но то, что ρ следует из q и г, — не математическое предложение. Оно имеет другое применение. Оно гласит — так можно было бы это сформулировать, — что имеет смысл говорить о некоем доказательстве (образце), в котором ρ следует из q и г. Так же как можно сказать: предложение «белое светлее черного» утверждает, что имеет смысл говорить о двух предметах, более светлый из которых — белый, а другой — черный, но не о двух предметах, более светлый из которых — черный, а другой — белый.

29.Представим, что нам дан образец для «более светлого» и «более темного» в форме белого и черного пятен, и теперь с его помощью мы, так сказать, делаем вывод, что красное темнее, чем белое.

30.Предложение, доказанное с помощью рисунка (с), теперь служит новым предписанием для констатации числового равенства: располагая множеством объектов, упорядоченных в форму руки,

идругим — в форму углов пентаграммы, мы говорим, что оба множества равночисленны.

31.«Но разве этот вывод мы делаем не просто потому, что уже однажды сопоставили Ρ и 77 и увидели, что они равночисленны?» — Да, но, если Ρ и Я равночисленны в одном случае, как мне знать, будут ли они вновь равночисленны теперь? — «Потому что в самой сущности Ρ и 77 заложено, что они равночисленны». — Но как ты мог бы это выявить через их корреляцию? (Я думал, что с помощью счета или корреляции устанавливают лишь то, что обе эти, находящиеся передо мной, группы равночисленны или неравночисленны.)

«Но если кто-то имеет некое Ρ вещей и некое 77 вещей и факти-

14

	Ι, 1937-1938
чески коррелирует	их друг с другом,	то ведь невозможно, чтобы
он получил какой-то иной результат,		чем то, что они равночис-
ленны. А что это	невозможно, я вижу из данного доказательст-

ва». — Но разве это на самом деле невозможно? Допустим, например, что этот кто-то — как мог бы сказать кто-либо другой — по недосмотру упускает одну из корреляционных линий. Но я признаю, что в подавляющем большинстве случаев у него всегда будет один и тот же результат, не получив же его, он подумал бы, что в чем-то запутался. В противном случае доказательство в целом оказалось бы лишенным основания. Ведь, решившись пользоваться доказательством-картиной вместо корреляции групп, мы их не коррелируем, а вместо этого сравниваем их с группами в доказательстве (где, на деле, две группы коррелированы друг с другом).

32. Результатом доказательства я мог бы также объявить следующее: «Отныне Ρ и Π называются „равночисленными"».

Или же: доказательство не исследует сущности обеих фигур, но высказывает нечто, что отныне я буду причислять к сущности фигур. То, что принадлежит к сущности, я отношу к парадигмам языка.

Математик созидает сущность.

33. Заявлять: «Это предложение следует из того» — значит прини-

мать некое правило. Оно принимается на		основе доказательства.
То есть я нахожу	эту цепь (эту фигуру)	приемлемой в качестве
доказательства.	«Разве я мог бы поступить иначе? Разве я не

должен был принять это?» — Почему ты говоришь, что ты должен? Не потому ли, что завершаешь свой вывод словами: «Да, я должен принять это заключение»? Но ведь это только выражение твоего безусловного принятия.

То есть я полагаю, что слова «Я должен признать это» применяются в двух случаях: когда мы признали то или иное доказательство — и по отношению к отдельным шагам самого этого доказательства.

34.Как же тогда обнаруживается, что данное доказательство принуждает меня сделать этот вывод? Да в том, что я продвигаюсь таким вот образом, что я отказываюсь следовать иным путем. Конечным моим аргументом тому, кто не захотел бы идти таким путем, как я, был бы следующий: «Разве ты не видишь...!» — А это не аргумент.

35.«Но коли ты прав, как же получается, что все люди (или по крайней мере, все нормальные люди) принимают такие фигуры

15

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

за доказательство этих предложений?» — Да, здесь имеется широкое — и интересное — совпадение мнений.

36. Представь себе, что перед тобою ряд шариков; ты нумеруешь их арабскими цифрами от I до 100; затем после каждого десятка делаешь большой интервал, а в середине каждого десятка — несколько меньший интервал, разделяющий его на 5 и 5, — так что число 10 становится наглядным. Затем ты располагаешь эти наборы десятков друг под другом, а в середине столбца делаешь больший интервал; то есть интервал между пятью верхними и пятью нижними рядами; затем нумеруешь ряды от 1 до 10. — Это будет как бы упражнение с шарами. Я могу сказать, что мы раскрыли свойства ста шаров. — А теперь представь, что весь этот процесс, эксперимент со ста шарами, был заснят на кинопленку. Однако на экране не эксперимент, а изображение, картина эксперимента, ибо изображение эксперимента не есть сам эксперимент. — Но «математически существенное» в этом процессе я вижу и в проекции! Ибо сначала я вижу 100 пятен, затем они делятся на десятки и т. д. и т. д.

Значит, можно сказать: доказательство служит мне не экспериментом, но, безусловно, картиной эксперимента.

37. На пустой стол положи 2 яблока, проследи за тем, чтобы никто не подходил к столу и не сотрясал его; затем положи на столешницу еще 2 яблока; теперь сосчитай, сколько всего на ней лежит яблок. Ты провел эксперимент; в результате подсчета у тебя, вероятно, получится 4. (Мы бы представили эксперимент таким образом: если при таких-то обстоятельствах на стол положены сначала 2 яблока, а затем еще 2, то в высшей степени вероятно, что ни одно из них не исчезнет со стола и ни одно новое не добавится.) Аналогичные эксперименты с тем же результатом могут быть проведены со всеми видами твердых тел. — Таким способом мы учим ребенка считать: к трем бобам добавляем еще три боба и затем считаем, сколько их всего. Если бы при этом иногда при подсчете получалось 5 бобов, а иногда 7 (например, потому, как бы мы теперь сказали, что какой-то боб то сам собой исчезал, то добавлялся), то мы прежде всего сказали бы, что бобы непригодны для обучения счету. Случайся подобное с палками, пальцами, черточками и большинством других вещей, это означало бы конец всякого счета.

«Но разве и тогда не получалось бы 24-2=4?» — Это предложение стало бы тогда неупотребимым.

16