Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

V, 1941 и 1944

Поскольку не достигнуто такое предвидение, исчисление ненадежно. — Но представь, я спросил бы: «Как ненадежно?» — Поведи мы речь о степенях ненадежности, разве это не могло бы помочь нам вырвать из нее метафизическое жало?

Разве первые правила исчисления были нехороши? Так ведь мы и задали их только потому, что они были хороши. — Если позже выявлено противоречие, значит, они не выполнили своей задачи? Да нет же, для такого применения они не предназначались.

Я могу желать придать моему исчислению определенного рода провидение. Оно не сделает его собственной частью математики, но сделает его более полезной для определенной цели.

Идея механизации математики. Мода на аксиоматические системы.

10. Но предположим, что «аксиомы» и «способы вывода» суть не просто какие-то способы конструирования, но и вполне убедительные способы! И тогда это означает, что существуют случаи, в которых конструкция, сооруженная из таких элементов, не убеждает.

И действительно, логические аксиомы совершенно неубедительны, если мы в качестве пропозициональных переменных берем структуры, которые первоначально никто не предусматривал в качестве возможных значений, тогда как истинность аксиом (изначально) получила безусловное признание.

А что, если сказать: аксиомы и способы вывода должны быть выбраны так, чтобы они не могли доказать никакого ложного предложение?

«Мы стремимся получить не какое-то достаточно надежное, но некое абсолютно надежное исчисление. Математика должна быть

абсолютной».

Предположим, что я установил правила для игры «Лиса и охотник», игра мне представляется развлекательной и забавной. — Однако затем обнаруживаю, что охотник может всегда выигрывать, стоит ему один раз узнать, как это делается.

Теперь я, скажем, недоволен своей игрой. Заданные мной правила привели к результату, которого я не предвидел и который портит мне игру.

11. <<Ν. столкнулся с тем, что при расчетах часто производилось сокращение с помощью выражений типа „(/г — п)". Он вскрыл возникающую вследствие этого разницу в результатах и показал, как из-за применения этого типа вычислений были потеряны человеческие жизни».

177

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Но предположим, что другие люди также заметили эти противоречия, только не могли дать себе отчет в том, откуда они берутся. Они, так сказать, производили вычисления с нечистой совестью. Из числа противоречивых результатов они выбирали один, но без неуверенности, в то время как открытие, сделанное JV., дало им полную уверенность. — Но сказали ли они себе: «С нашим исчислением что-то не в порядке»? Была ли их неуверенность сродни нашей, когда, проводя физический расчет, мы не были уверены в том, что эти формулы действительно дадут здесь правильный результат? Или же это было сомнением в том, что производимые ими вычисления действительно были вычислениями? В таком случае что они сделали для того, чтобы устранить затруднение?

Люди до сих пор лишь очень редко производили сокращение с помощью выражений со значением О. Но вдруг кто-то открывает, что таким образом они действительно могут вычислить любой результат. — Что они теперь делают? Здесь возможны разные варианты. Они, например, могут объявить, что этот тип вычислений потерял из-за этого свою занимательность и что в будущем не следует более вычислять таким образом.

Хочется сказать: «Он полагает, что производит вычисления, а на самом деле он не вычисляет».

12. Если вычисление потеряло для меня свою занимательность, поскольку я знаю, что мог бы теперь вычислить все, что угодно, — то разве оно не представляло для меня какого-то интереса тогда, когда я этого еще не знал?

Я, конечно, могу объявить теперь все эти вычисления аннулиро-

ванными — ведь я же как раз бросил заниматься ими,	но
означает ли это, что они и не были вычислениями?

Когда-то, сам того не понимая, я сделал заключение при наличии скрытого противоречия. Является ли теперь мой результат ложным или же неправильно полученным?

Если противоречие так хорошо скрыто, что его никто не замечает, так почему бы нам не называть то, что делаем сейчас, подлинным вычислением?

Мы говорим, что противоречие разрушило бы исчисление. Но если оно проявляется, так сказать, лишь крошечными дозами, как бы мерцая, не как постоянное вычислительное средство, то уничтожит ли оно исчисление и тогда?

Представь себе, что люди вообразили, будто (а + 5)2 должно быть равным а2 + Ы. (Является ли это заблуждением такого же

V, 1941 и 1944

типа, как и то, что должна существовать трисекция угла с помощью линейки и циркуля?) То есть можно ли вообразить, что два способа вычисления должны давать одинаковый, если не один и тот же результат?

Я складываю столбец, делаю это различным образом, беру, например, числа в разной последовательности и получаю снова и снова беспорядочно разный результат. — Я, вероятно, скажу: <<Я совсем запутался; делаю либо беспорядочные ошибки в вычислении, либо определенные ошибки в определенной связи: например, после „6 + 3 = 9" всегда говорю: „7 + 7 = 15".

Или я мог бы представить себе, что вдруг в какой-то момент вычисления вычитаю вместо того, чтобы складывать, не подозревая при этом, что делаю что-то не то.

Могло бы быть и так, что я не нахожу ошибки и считаю себя помешанным. Но такой моя реакция быть не должна. «Противоречие отменяет исчисление» — откуда взялась эта странная констатация? Ее можно, как я полагаю, поколебать с помощью некоторой доли фантазии.

Чтобы решить эту философскую проблему, надо сравнить между собой такие вещи, сравнивать которые еще никому всерьез не приходило в голову.

Вэтой области можно спросить о чем угодно, хотя и относящемся

кделу, но не касающемся его сути.

Определенный ряд вопросов, затронув сердцевину, проскакивает наружу. На другие отвечают между делом.

Найти путь через сердцевину необычайно трудно.

Он проходит через новые примеры и сравнения. Отработанные примеры и сравнения нам его не укажут.

Предположим, что РАССЕловское противоречие так и не найдено. Вполне ли здесь очевидно, что мы тогда имели бы ложное исчисление? Разве здесь нет разных возможностей?

А что, если мы хотя и нашли противоречие, но больше по его поводу не волнуемся и, например, установили, что из него не следует делать никаких выводов? (Так же как никто не делает выводов из логического парадокса «лжец».) Было ли бы это очевидной ошибкой?

«Но ведь тогда это все же не подлинное исчисление! Оно же утрачивает всякую строгость]» Нет, не всякую. И оно только тогда лишено полной строгости, когда ориентируются на определенный

179

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

идеал строгости, стремятся к особому стилю математики.

«Но ведь противоречие в математике несовместимо с применением математики».

«Если бы противоречие упорно использовалось, скажем, для получения всевозможных результатов, то это сделало бы применение математики фарсом или чем-то вроде излишней церемонии. Его действие отчасти сходно с действием нежестких линеек, которые из-за растяжения и сжатия допускают разные результаты измерения». Но разве измерение шагами не было измерением? И если бы люди применяли линейки из теста, разве следовало бы это само по себе назвать ложным?

Разве так уж трудно придумать причины, почему известная растяжимость линеек была бы желательной?

«но не правильнее ли изготовлять линейки из постоянно твердого, более устойчивого материала?» Конечно, правильно; если этого хотят! «Значит, ты берешь под защиту противоречие?!» Да вовсе нет; столь же мало, как и мягкие линейки.

Следует избегать одной ошибки: полагают, что противоречие должно быть бессмысленным; то есть если, например, последовательно использовать знаки „р", „~", „·", то „р · ~р" не сможет нам ничего сказать. — Но подумай: что значит «последовательно» продолжать то или иное употребление? («Последовательно продолжать этот отрезок кривой».)

13. Зачем математике нужно обоснование?! Я полагаю, оно нужно ей не более, чем предложениям, повествующим о физических предметах или же о чувственных впечатлениях, — нужен их анализ. Однако математические предложения, равно как и все другие, нуждаются в выяснении их грамматики.

Математические проблемы так называемых оснований в столь же малой степени лежат для нас в основе математики, в какой нарисованная скала несет на себе нарисованную крепость.

«Но разве ФРЕГЕВСКЗЯ логика не становится из-за противоречия непригодной для обоснования арифметики?» Становится! Но кто же утверждал, что она должна быть пригодной для этой цели?!

Можно даже представить себе, что ФРЕГЕвская логика дана в качестве инструмента дикарю, чтобы он выводил с ее помощью арифметические предложения. Он вывел противоречие, не заметив, что это — противоречие, и теперь из него выводит любые истинные и ложные предложения.

180

V, 1941 и 1944

«Добрый ангел до сих пор хранил нас от этого пути». Чего же ты еще хочешь? Полагаю, можно сказать: добрый ангел будет нужен всегда, что бы ты ни делал.

14. Говорят: процесс вычисления — это эксперимент с целью показать, как это может быть столь практичным. Ведь об эксперименте мы знаем, что он действительно имеет практическую ценность. Мы только забываем, что он обладает этой ценностью благодаря некоей технике, которая является естественно-историчес- ким фактом, но правила которой не играют роли предложений естественней истории.

«Границы эмпиризма». — (Живем ли мы потому, что жить практично? Мыслим ли мы потому, что мышление практично?)

Ему известно, что эксперимент практичен, значит, вычисление — это эксперимент.

Правда, наши экспериментальные действия имеют характерный облик. Если я вижу, как кто-то в лаборатории льет жидкость в пробирку и нагревает ее над горелкой БунзЕна, то я склонен сказать, что он проводит эксперимент.

Предположим, что люди, умеющие считать, хотят — как и мы — знать числа для различного рода практических целей. И об этом они спрашивают определенных людей, которые, когда им объяснили практическую проблему, закрывают глаза и ждут, пока им не придет в голову соответствующее число, в этом случае мы имели бы дело не с вычислениями, сколь бы надежным ни было такое определение чисел. Подобное определение чисел практически могло бы быть даже более надежным, чем любое вычисление.

Вычисление, можно сказать, есть некая составляющая техники эксперимента, но само по себе оно не эксперимент.

Но не забываем ли мы о том, что к эксперименту относится и определенное применение процедуры? А вычисление содействует применению.

Разве кому-нибудь могло бы прийти в голову назвать перевод шифрованного сообщения с помощью некоего ключа экспериментом?

Если я сомневаюсь в том, что числа пит,	будучи перемножен-
ными, дадут /, то я сомневаюсь совсем не	в том, возникнет ли в

процессе нашего вычисления путаница, когда, например, половина людей будут считать правильным одно, а другая половина — другое.

Некое действие является «экспериментом» лишь с определенной

181

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

точки зрения. И ясно, что вычислительное действие также может быть экспериментом.

Допустим, я хочу проверить, что вычисляет этот человек при таких условиях, имея в виду эту постановку задачи. — Но разве это не то, о чем ты спрашиваешь, когда хочешь знать, сколько будет 52 χ 63! Я вполне могу спросить это — мой вопрос может быть даже выражен именно этими словами. (Сравни с этим: является ли предложение «Прислушайся, она стонет!» предложением о ее поведении или о ее страдании?)

Ну, а что, если я, предположим, пересчитаю его вычисление? — «Что ж, тогда я проделаю еще один эксперимент, чтобы выяснить совершенно точно, что все нормальные люди реагируют именно так». — А если они реагируют не одинаково, то какой из результатов будет математическим?

15. «Чтобы быть практическим, вычисление должно обнаруживать факты. А на это способен только эксперимент».

Но какие «факты»? Полагаешь ли ты, что можешь продемонстрировать, какие факты имеются в виду, например, указывая на них пальцем. Прояснит ли это роль, которую играет «установление» факта? — А что, если лишь математика определяет характер того, что ты называешь «фактом»!

«Интересно знать, сколько колебаний имеет этот звук». Но ведь именно арифметика и научила тебя этому вопросу. Она научила тебя видеть этот тип фактов.

Математика — хочу я сказать — учит тебя не просто ответу на какой-то вопрос; она учит тебя целостной языковой игре, включающей вопросы и ответы.

Должны ли мы сказать, что математика учит нас считать? Можно ли сказать о математике, что она учит нас экспериментальным способам исследования! Или же она помогает нам открыть такие способы?

«Чтобы быть практической, математика должна учить нас фактам». — А должны ли эти факты быть математическими фактами? — Но почему бы ей вместо того, чтобы «учить нас фактам», не создавать формы того, что мы называем фактами?

«Да, но остается еще тот эмпирический факт, что люди производят вычисления именно так!» — Да, но тем самым их вычислительные предложения не становятся эмпирическими предложениями.

«Да, но наши вычисления должны ведь основываться на эмпири-

182

V, 1941 и 1944

ческих фактах!» Конечно. А какие из этих фактов ты имеешь в виду? Психологические и физиологические, делающие счет возможным, или те, что превращают его в полезную деятельность? Взаимосвязь со вторыми состоит в том, что вычисление есть определенная картина эксперимента, а именно, того, как он всегда нормально протекает. От первого рода фактов вычисление получает свой смысл, свой облик: но это отнюдь не говорит о том, что предложения математики имеют функции эмпирических предложений. (Это было бы равносильно предположению: так как по ходу пьесы появляются только актеры, то на сцене театра не могли бы найти полезного применения никакие другие люди.)

В вычислении нет никаких каузальных взаимосвязей, только модельные взаимосвязи. И здесь ничего не меняет то, что мы проверяем ход доказательства для того, чтобы признать его. Как несущественно и наше искушение сказать, что он создается в психологическом эксперименте. Ибо в ходе вычисления не исследуется психологическое протекание процесса.

<<В минуте 60 секунд». Это — предложение, весьма сходное с математическим. Зависит ли его истинность от опыта? — А разве мы могли бы вести речь о минутах и секундах, если бы у. нас не было чувства времени; если бы не было или, в силу физических причин, не могло быть часов; если бы не существовало всех тех взаимосвязей, которые придают смысл и значение нашим измерениям времени? В этом случае — сказали бы мы — измерение времени потеряло бы свой смысл (как не имело бы смысла ставить мат, если бы исчезла игра в шахматы) — или оно имело бы тогда совершенно иной смысл. — Но разве бы сделал какой-то из описанных таким образом опытов предложение ложным, а иной опыт — истинным? Нет; это не описывало бы его функцию. Оно функционирует совершенно иначе.

«Для того чтобы быть практическим, вычисление должно основываться на эмпирических фактах». — Почему бы ему лучше не определить, что собой представляют эмпирические факты?

Обдумай: «Наша математика преобразует эксперименты в дефиниции».

16. А неужели нельзя представить себе человеческое общество, в котором не существует ни процесса вычислений в нашем смысле, ни измерения в нашем смысле? — Можно. — Зачем же тогда стараться выяснить, что есть математика?

Потому что у нас есть математика и существует efe особое понима-

183

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ние, как бы некий идеал ее положения и функции, — все это требует ясной проработки.

Не требуй слишком многого и не опасайся, что твое справедливое требование ни к чему не приведет.

Моя задача заключается в том, чтобы критически подойти к логике РлссЕла не изнутри, а снаружи.

Это значит: не подходить к ней математически — иначе я буду заниматься математикой, — а уяснять ее положение, ее обязанности. Моя задача заключается в том, чтобы говорить, например, не о гЕДЕлевском доказательстве, а минуя его, вокруг него.

17. Задачу: найти число путей, по которым можно проследить линии стыков этой стены, не перескакивая и не повторяясь, каждый признает математической задачей.

— Если бы рисунок был гораздо сложнее и больше, не схватывался взглядом, то можно было бы предположить, что он незаметно для нас изменяется, и тогда задача найти такое число (которое, вероятно, закономерно изменяется) уже не была бы математической задачей. Но и в том случае, если оно остается тем же, задача также не является математической. — Да и тогда, когда стена обозрима, тоже нельзя сказать, что задача становится математической, подобно тому как говорят: эта задача является вопросом эмбриологии. Правильнее сказать: здесь нам нужно некое математическое решение. (Равно как: в чем мы здесь нуждаемся — так

это в образце.)

«Признали» бы мы проблему математической из-за того, что в математике речь идет о повторении линий рисунка?

Почему же тогда мы склонны запросто назвать эту проблему «математической»? Потому что мы сразу видим, что здесь ответ на математический вопрос представляет собой практически все, что нам нужно. Хотя эту проблему легко можно было бы счесть, например, психологической.

То же самое и с задачей сложить лист бумаги определенным образом. Может создаться впечатление, что математика является здесь наукой, которая экспериментирует с единицами, то есть проделывает

184

V, 1941 и 1944

эксперименты, где не важны типы этих единиц, будь то горошины или стеклянные шарики, штрихи и т. д. — Она выясняет лишь то, что является общим для всех них. Так, например, не их точку плавления, а то, что 2 и 2 здесь есть 4. И проблема стены представляет собой как раз математическую проблему, а значит, она может быть решена с помощью этого типа эксперимента. — И в чем же состоит математический эксперимент? В общем, в раскладывании и перемещении вещей, проведении штрихов, записывании выражений, предложений и т. д. И не надо смущаться тем, что внешнее проявление этих экспериментов не есть проявление физических, химических и т. д. экспериментов, — они-то как раз другого рода. Здесь есть только одна сложность: то, что происходит, достаточно легко увидеть, описать, но как следует рассматривать это в качестве эксперимента? Где здесь голова, а где нога эксперимента? Где условия эксперимента, а где его результат? Является ли результатом то, что дает вычисление, или изображение вычисления, или одобрение (в чем бы оно ни заключалось) того, кто вычисляет?

Становятся ли, например, законы динамики предложениями чистой математики из-за того, что их интерпретация остается открытой и ее используют для создания измерительной системы?

«Математическое доказательство должно быть обозримым» — это связано с определенной наглядностью той фигуры.

18. Не забудь: предложение, утверждающее о самом себе, что оно

недоказуемо, следует считать		математическим	утверждени-
ем,	ибо это не что-то само	собой разумеющееся.

Столь же не самоочевидно и то, что следует считать математическим предложение, утверждающее о невозможности построения некоей структуры.

То есть если говорят: «Оно сообщает о самом себе», — то это надо понимать особым образом. Ибо тут легко возникает путаница из-за разного употребления выражения «Это предложение сообщает нечто о...».

В этом смысле предложение „625 = 25 χ 25" также сообщает нечто о самом себе; а именно то, что левая цифра будет получена, если перемножить стоящие справа цифры.

Геделевское предложение, которое сообщает нечто о самом себе, само себя не упоминает.

«Предложение говорит, что это число нельзя получить из этих чисел этим способом». — Но уверен ли ты также в том, что ты пра-

185

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

вильно перевел его на русский? Да, конечно, кажется, что так. — Но разве нельзя здесь ошибиться?

Можно ли сказать: Гедель говорит, что надо уметь доверять математическому доказательству, если мы хотим рассматривать его практически как доказательство конструируемости предложенияобразца по правилам доказательства?

Или: математическое предложение должно позволять рассматривать себя как предложение некоей действительно применимой к самой себе геометрии. И если это сделать, то окажется, что в некоторых случаях на доказательство полагаться нельзя.

Границы эмпирии — это не допущения, признаваемые правильными лишь интуитивно, не являющиеся достоверными; это нечто иное: способы сравнения и действия.

19. «Предположим, мы имеем арифметическое предложение, гласящее, что определенное число ... не может быть получено из чисел ..., ..., ... с помощью таких-то и таких-то операций. И предположим, что может существовать правило перевода, согласно которому это арифметическое предложение переводимо в цифры первого числа; аксиомы, исходя из которых мы пытаемся его доказать, — в цифры других чисел; а наши правила вывода — в упоминаемые в предложении операции. — Если бы тогда мы вывели арифметическое предложение из аксиом, следуя нашим правилам вывода, то тем самым мы продемонстрировали бы его выводимость, а также доказали бы предложение, которое можно выразить с помощью такого правила перевода: это (то есть наше) арифметическое предложение невыводимо».

Что же тогда оставалось бы делать? Я полагаю, довериться нашей

конструкции знака-предложения, то есть геометрическому доказательству. Так, мы говорим, что это «пропозициональное сочетание» можно получить из тех таким-то способом. А в переводе, в другой записи, это означает: такая цифра может быть получена из тех других с помощью этих операций. В этом смысле предложение и его доказательство не имеют ничего общего с какой-то особой логикой. Здесь такое сконструированное предложение было просто другим способом записи сконструированной цифры; оно имело форму предложения, но мы не сравниваем его с другими предложениями как знак, который нечто говорит, имеет некий смысл.

Но, конечно, следует сказать, что такой знак не нуждается в том, чтобы его рассматривали ни как знак-предложение, ни как числовой знак. — Спроси себя: что делает его одним, а что другим?

186