Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

III, 1942

Затем подели отрезок PQ на две равные части и реши, в какой половине (если не в точке разбиения) должно располагаться сечение; если, например, в левой, то подели ее пополам и прими более точное решение; и т. д.

Располагая принципом неограниченного повторения данной процедуры, ты можешь сказать, что этот принцип дает то или иное сечение, так как он решает для каждого числа, расположено ли оно снизу или сверху. — Здесь встает вопрос, можно ли с помощью такого принципа разбиения продвигаться неограниченно или же необходим еще какой-то другой способ решения; и еще, требуется ли таковой после того или до того, как с помощью этого принципа получено решение. Ну, во всяком случае, не до завершения данной процедуры, ибо пока еще стоит вопрос о том, на каком конечном отрезке прямой должна лежать искомая точка, вопрос может решаться дальнейшим разбиением. — Но разве после такого решения в согласии с принципом все еще остается пространство для какого-то дальнейшего решения?

С теоремой ДЕДЕкинда дело обстоит так же, как и с законом исключенного третьего: кажется, будто он исключает нечто третье, в то время как о каком-то третьем в нем и речи нет.

Доказательство теоремы ДЕДЕкинда оперирует некоей картиной, которая не может его оправдать, скорее сама эта картина должна быть оправдана данной теоремой.

Принцип разбиения легко принять за бесконечно продолжающееся разбиение, ибо он во всяком случае не соответствует никакому конечному разбиению и, казалось бы, позволяет продвигаться все дальше и дальше.

34. Разве нельзя было бы предпослать теории предела, функций, действительных чисел более экстенсиональное предварение, чем это делают? Даже если бы это подготовительное исчисление неизбежно оказывалось очень тривиальным и само по себе бесполезным?

Трудность то интенсионального, то снова экстенсионального способа рассмотрения * начинается уже с понятия «сечение». Совершенно ясно, что каждое рациональное число можно назвать своего рода принципом разбиения рациональных чисел. И вот обнаруживается что-то еще, что тоже можно назвать принципом разбиения, например то, что соответствует V2. Затем еще нечто подобное этому, — и наконец мы уже вполне осваиваемся с возможностью таких разбиений и осмысливаем их с помощью картины

157

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

сечения, осуществленного в том или ином пункте прямой, то есть экстенсионально. Ибо, делая сечение, я ведь могу выбрать место для него по своему желанию.

Но если принципом разбиения служит сечение, то ведь оно является таковым вот почему: о любом условно взятом рациональном числе можно сказать, что оно расположено по одну или по другую сторону сечения. — Можно ли в таком случае сказать, что идея сечения привела нас от рациональных чисел к иррациональным? Разве мы пришли, например, к V2 с помощью понятия сечения?

Что же такое сечение действительных чисел? Да это принцип разбиения на нижний и верхний классы. Следовательно, такой принцип порождает каждое рациональное и иррациональное число. Пусть даже отсутствует система иррациональных чисел, но и тог-

да все те, что имеются,	подразделяются по отношению к сече-
нию на нижние и верхние	(поскольку они, так сказать, сравнимы
с ним).

Ну, а ДЕДЕКиндова идея состоит в том, что разбиение на нижний и верхний классы (при известных условиях) есть действительное число.

Сечение — это экстенсиональное представление.

Конечно, если у меня есть математический критерий, позволяющий определять для любого рационального числа, относится ли оно к нижнему или верхнему классу, то мне легко систематически приближаться сколь угодно близко к месту встречи обоих классов. По ДЕДЕКИНДУ, МЫосуществляем сечение не рассечением, то есть не указанием определенного места, а тем, что, — как и при обнаружении V2, — приближаемся к обращенным друг к другу концам нижнего и верхнего классов.

Причем требуется доказать, что никакие другие числа, кроме действительных, не могут выполнить такого рода сечение.

Не забудем, что первоначально разбиение рациональных чисел на два класса не имело смысла, пока мы не обратили внимание на нечто такое, что можно было описать подобным образом. Понятие

это взято из повседневного употребления языкам	потому вроде
бы должно непосредственно иметь смысл и для чисел.
Если теперь ввести идею сечения действительных	чисел, заявив,

что понятие сечения здесь просто распространяется с рациональных чисел на действительные и что все, что для этого нужно, — это некое свойство, разделяющее действительные числа на два

158

III, 1942

класса (и т. д.), — то прежде всего не ясно, что подразумевается под такого рода свойством, которое разделяет подобным образом все действительные числа. Тут обращает на себя внимание то, что для этого может сгодиться любое действительное число. Но это нас продвинет лишь до сих пор, не далее.

35.Экстенсиональные объяснения функций, действительных чисел и т. д. опускают все интенсиональное — хотя они его предполагают — и отнесены к постоянно воспроизводимой внешней форме.

36.Наше затруднение на самом деле начинается с бесконечной прямой; хотя мы уже в детстве учили, что прямая не имеет конца, и мне неизвестно, чтобы эта идея когда-либо вызывала у ко- го-нибудь затруднение. А что, если некий финитист попытался бы заменить это понятие понятием прямого отрезка определенной длины?!

Но подобная прямая — это закон ее продолжения.

37. Что в ДЕДЕКИНДОВОЙ экстенсиональной трактовке вводит в заблуждение, так это идея о том, что действительные числа распределены на числовой оси. Можно их знать или не знать, это не имеет значения. И таким образом, достаточно лишь сделать сечение или поделить их на классы, и тем самым им всем будет указано их место.

Именно благодаря комбинации вычисления и конструирования

возникает идея о том, что на прямой, если не допустить V2 в качестве меры расстояния от 0, должна быть оставлена некая точка, скажем точка Р.

ОI

«Ведь если бы я действительно точно конструировал, то окружность должна была бы рассечь прямую между ее точками».

Это невероятно путаная картина.

Иррациональные числа — это, так сказать, частные случаи.

В чем состоит применение понятия прямой, утрачивающей ту или иную точку?! Такое применение должно быть «обычным». Выражение «прямая, утрачивающая некую точку» — это ужасающе де-

159

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

зориентирующая картина. Ужасающий разрыв между иллюстрацией и применением.

38.Универсальность функций есть, так сказать, неупорядоченная универсальность. И наша математика построена на такой вот неупорядоченной универсальности.

39.Если вообразить себе общее исчисление функций, не подкрепленное примерами, то встречающиеся в учебниках туманные объяснения с помощью таблиц истинности и диаграмм, стали бы вполне уместны как указания на то, каким образом можно было бы, скажем, придать тот или иной смысл этому исчислению.

Представь себе, что кто-то говорит: «Я хочу слышать композицию, которая развивается так»:

Разве это было бы непременно бессмысленно? Неужели не могла бы существовать композиция, позволяющая показать, что она в каком-то важном смысле соответствует этой линии?

Или же допустим, что непрерывность считалась бы свойством знака „χ2 + у2 = £2"? — конечно, лишь при том, что это и другие уравнения обычным образом подлежали бы известному виду проверки. <ЛГак данное правило (уравнение) подвергается этой особой проверке». Проверке, осуществляемой с оглядкой на тот или иной вид экстенсии [наглядно-геометрического изображения].

При такой проверке данного уравнения предпринимается нечто, связанное с определенными экстенсиями. Хотя не следует думать, будто речь здесь идет об экстенсии, каким-то образом эквивалентной самому уравнению. Делается лишь, так сказать, намек на определенные экстенсии. — И суть тут не в экстенсии, которая только faute de mieux* описывается интенсионально; напротив, эта интенсия разъясняется — или изображается — с помощью определенных экстенсий, получаемых из нее то тут, то там.

Протекание определенных экстенсий попутно освещает алгебраическое свойство функции. Выходит, в этом смысле можно ска-

160

III, 1942

зать, что изображение гиперболы попутно проясняет уравнение гиперболы.

Этому не противоречит то, что такие экстенсии представляют собой важнейшее применение данного правила; ведь рисовать эл-

липс — это одно, а конструировать его с помощью			его уравне-
ния	— это совсем другое. —
Так	же как я бы сказал, что экстенсиональные рассуждения			(на-
пример, теорема ГЕЙНЕ—БОРЕЛЯ)		показывают: так	следует	обра-
щаться с интенсиями.
Теорема дает нам в общих чертах		метод обращения с интенсиями.

Она говорит примерно следующее: «Это должно будет выглядеть

так».

И тогда можно, например, так или иначе проиллюстрировать метод работы с определенными интенсиями. Иллюстрация — это знак, описание, которое особенно легко уясняется и запечатлевается в памяти.

Иллюстрация как раз и будет задавать здесь способ работы. Некое учение о размещении фигур на картине (рисунке) — например, исходя из общих эстетических принципов — независимо от того, что делают эти фигуры: борются, ласкают друг друга и т. д. Теория функций как своего рода схема, которая, с одной стороны, охватывает огромное множество примеров, а с другой стороны, предстает как некий стандарт классификации случаев.

В обычном изложении вводит в заблуждение видимость того, будто общее вполне можно понять и без всяких примеров, без какойлибо мысли об интенсиях (во множественном числе), ибо в самом деле все могло бы быть понято экстенсионально, не будь это невозможно по внешним причинам.

40. ДЕДЕКИНД дает общую схему способа выражения; так сказать, логическую форму рассуждения.

Общая формулировка процедуры. Эффект подобен эффекту введения слова «упорядочение» для общего объяснения функций. Вводится общий способ выражения, весьма полезный для изображения математической процедуры. (Подобно тому, как это происходит в аристотелевской логике.) Но опасно вот что: обретая этот общий способ выражения, обычно полагают, будто получают полное объяснение соответствующих индивидуальных случаев (та же опасность, что и в логике).

Мы определяем понятие правила построения какой-то бесконеч-

161

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ной, продолжаемой все дальше и дальше, десятичной дроби.

А как обстоит дело с содержанием понятия?! — Так разве нельзя выстроить здание понятия подобно некой емкости, применение для которой всегда найдется? Разве нельзя выстроить форму (форму, к созданию которой побудило какое-то содержание) и таким же образом как бы подготовить для возможного ее использования языковую форму? Ведь эта форма, поскольку она остается пустой, цоможет определить и форму математики.

В самом деле, разве в этом смысле не открыта и не ожидает самых различных новых применений субъектно-предикатная форма? То есть: верно ли, что все то трудное, что связано с универсальным математическим понятием функции, присутствует уже в аристотелевской логике, поскольку универсальность предложений и предикатов в столь же малой степени может быть охвачена нами, как и универсальность математических функций?

41.Понятия, входящие в «необходимые» предложения, должны фигурировать и иметь значение и в предложениях, не являющихся необходимыми.

42.Разве мы бы сказали о ком-то, что он понимает предложение „563 + 437 = 1000", если бы он не знал, как можно это предложение доказать? Можно ли отрицать, что знаком понимания предложения является знание того, как его следует доказывать?

Проблему нахождения математического решения теоремы можно

сизвестным правом назвать проблемой придания формуле математического смысла.

Уравнение соединяет два понятия; так что теперь можно переходить теперь от одного к другому.

Уравнение образует понятийную колею. Но является ли понятием понятийная колея? А если нет, существует ли между ними четкая граница?

Представь себе, что ты научил кого-то технике умножения. Он использует ее в какой-то языковой игре. Чтобы не умножать каждый раз заново, он записывает умножение в сокращенной форме, как уравнение, и использует его там, где раньше умножал.

И тогда он говорит о технике умножения, что она устанавливает связи между понятиями. То же самое он скажет и об умножении как картине этого перехода. И наконец, об уравнении: ибо существенно ведь, что переход можно изобразить и просто с помощью схемы уравнения. Чтобы, таким образом, не надо было все

162

III, 1942

время делать переход заново.

Но будет ли он и теперь склонен говорить о процессе умножения, что тот представляет собой понятие?

Он ведь предстает как движение. Это кажется движением между двумя стационарными точками; эти точки есть понятия. Рассматривая доказательство как мое движение от одного понятия к другому, я не собираюсь утверждать и о нем [доказательстве] самом, что оно тоже есть некое новое понятие. Но разве нельзя рассматривать умножение как одну картину, сравнимую с одним знаком-числом, и разве она не может функционировать и как знак-понятие?

43.Можно сказать: используя то одну, то другую сторону уравнения, мы используем две стороны одного и того же понятия.

44.Является ли понятийный аппарат неким понятием?

45.Как человек показывает, что понимает математическое предложение? Например, тем, как он его применяет. Стало быть, и тем, что он его доказывает, не так ли?

Можно сказать: доказательство показывает новую взаимосвязь, потому оно дает и новое понятие.

Не является ли тем новым понятием само это доказательство? Если доказательство приведено, ты безусловно можешь составить новое суждение. Ибо после этого о каком-то определенном образце можно говорить, что он является или не является этим доказательством.

Да, но является ли образцом доказательство, рассмотренное, ис-

толкованное как доказательство? Как доказательство, скажу

так, оно должно меня в чем-то убеждать. В ответ на него я готов что-то делать или оставить это дело. В ответ же на новое понятие я ничего не делаю и не перестаю делать. Итак, смею утверждать: доказательство есть использованная определенным образом картина доказательства.

А то, в чем оно меня убеждает, может быть очень разного типа.

(Вспомни доказательства РАССЕЛОВСКИХ тавтологий,	доказательства
в геометрии и в алгебре.)
Определенный механизм может убедить меня в	чем-то (может
что-то доказать). Но при каких обстоятельствах	— в	контексте
каких действий и проблем — я буду утверждать,	что	он меня в
чем-то убеждает?

«И все же понятие не убеждает меня ни в чем, ибо оно не предъ-

163

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

являет мне никакого факта». — А почему бы понятию не убеждать меня прежде всего тем, что я склонен его применять? Почему бы новому, однажды образованному, понятию не позволять мне непосредственно переходить к суждению?

46. «Понимать математическое предложение» — это очень зыбкое понятие.

Если же заявить: «Дело вообще не в понимании. Математические предложения суть лишь позиции в некой игре», — то это тоже бессмыслица! «Математика» как раз не является четко очерченным понятием.

Отсюда возникает спор о том, является ли доказательство существования, не представляющее собой конструкции, действительно доказательством существования. ΤΌ есть спрашивается: понимаю ли я предложение «Существует...», если у меня нет возможности найти, где это существует? И здесь есть две точки зрения: я понимаю его, например, как предложение, сформулированное на моем родном языке, то есть постольку, поскольку способен его объяснить (и замечаю, как далеко заходит мое объяснение!). Но что я могу с ним делать? Во всяком случае, не то, что с конструктивным доказательством. И поскольку критерием его понимания служит то, что я в состоянии делать с данным предложением, постольку с самого начала неясно, понимаю ли я его и в какой степени.

Проклятие проникновения математической логики в математику состоит в том, что теперь каждое предложение можно изобразить в математической записи, и потому мы чувствуем себя обязанными понимать его. Хотя ведь этот способ написания представляет собой всего-навсего перевод обычной туманной прозы.

47.Понятие, по сути, не является предикатом. Мы, правда, иногда говорим: «Эта вещь не бутылка», — но для языковой игры с понятием «бутылка» вовсе не существенно, что в ней дозволены такие суждения. Обрати внимание именно на то, как употребляется в языковой игре то или иное слово-понятие (например, «плита»).

Вовсе не обязательно, например, иметь предложение «Это плита», а можно было бы обходиться, скажем, лишь таким: «Вот это плита».

48.«Математическая логика» совершенно деформировала мышление математиков и философов, объявив поверхностное толкование форм нашего повседневного языка анализом структур фактов. Разумеется, здесь она лишь продолжила сооружение аристотелевской логики.

164

III, 1942

49.Совершенно верно: числовой знак соотносится с тем или иным понятийным знаком и только вместе с ним он представляет собой, так сказать, некую меру.

50.Если ты заглянешь этой мышке в пасть, то увидишь два длинных острых зуба. — Откуда ты это знаешь? — Я знаю, что они есть у всех мышей, а значит, и у этой. (И при этом не говорят: «Эта вещь также является мышью, а значит, у нее тоже есть...») Почему это представляет собой столь важное продвижение вперед? Ну, мы исследуем, например животных, растения и т. д., строим общие суждения и применяем их в особых случаях. — Но ведь это правда, что данная мышь имеет данное свойство, если все мыши имеют его! Это — определение, касающееся использования слова «все». Фактическая же всеобщность заключается в другом. Ну, скажем, во всеобщем распространениии и применении такого метода исследования.

Или: «Этот человек — студент-математик». Откуда ты это знаешь? — «Все люди в этой комнате математики; сюда допущены только они». — Интересный случай всеобщего: у нас часто есть средство убедиться

во всеобщем характере предложения, прежде чем мы примем во внимание особые случаи; и тогда мы выносим суждение об особом случае с помощью всеобщего метода.

Мы дали швейцару приказ впускать только людей с пригласительными билетами и рассчитываем теперь на то, что этот человек, которому позволили войти, имеет приглашение.

Для общего логического предложения представляет интерес та постоянно повторяющаяся ситуация, в которой совершается такой переход, а не факт, о коем оно, как нам кажется, повествует.

51. Если о доказательстве говорят, что оно показывает, как (например) 25 х 25 дают 625, то это, конечно, странная манера выражения, так как арифметический результат — это все же не временной процесс. Но ведь доказательство и не показывает никакого временного процесса.

Представь себе ряд картин. Они показывают, как двое по определенным правилам фехтуют на рапирах. Ведь ряд картин может это показать. Картина относится тут к некоей реальности. Нельзя сказать: она показывает, что фехтование совершается так, но можно сказать: она показывает, как фехтуют. В каком-то ином смысле можно сказать, что изображения показывают, как с помощью трех движений можно перейти от одной позиции к другой. Ну, и они

165

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

показывают также, что в ту позицию можно перейти так.

52. Философ должен так крутиться и вертеться, чтобы увернуться от математических проблем, а не осаждать одну из них — ту, что вроде бы следует решить, прежде чем можно будет двигаться дальше.

Его труд в философии — как бы безделье, простой в математике. Тут не надо возводить новое здание или наводить новый мост, требуется другое: выносить суждение о географии, как она есть теперь. Нам хорошо видны вершины понятий, но неясно видны откосы, позволяющие одному [понятию] переходить в другое.

Вот почему в философии Математики ничего не дает отливка доказательств в новые формы. Хотя к тому есть сильное искушение. И 500 лет назад могла существовать какая-το философия математики.

53. Философ — тот, кто должен излечиться от многих недугов рассудка, прежде чем он сумеет прийти к понятиям здравого человеческого разумения.

Если в жизни мы окружены смертью, то в здоровье разума мы окружены безумием.

166