Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

II, 1939-1940

чтобы убедиться в том, допустил ли я ошибку в первом доказательстве? Разве недостаточно того, что я записываю это доказательство в обозримой форме?

14. Не заключаются ли все мои трудности в понимании того, как можно, не выходя за рамки логического исчисления РлссЕла, прийти к понятию множества переменных в выражении «(Ξ xyz...)>> там, где это выражение не схватывается наглядно? —

Ну, его	все же можно сделать наглядным, если записать: (Ξ χν
х2г х3...).	Однако не все мне здесь ясно: ведь теперь изменился

критерий идентичности такого рода выражения. Теперь я уясняю иным образом, что количество знаков в двух таких выражениях одинаково.

По сути, я готов заявить: доказательство РлссЕла можно продолжать ступень за ступенью, но в конце не совсем ясно, что же доказано — во всяком случае, не ясно по старым критериям. Делая доказательство РлссЕла наглядным, я устанавливаю нечто об этом доказательстве.

Смею утверждать: вовсе не обязательно признавать технику вычисления РлссЕла — вполне возможно и при использовании иной техники вычисления доказать, что РАССЕЛовское доказательство данного положения должно иметь место. Однако само это положение, понятно, уже не будет основываться в этом случае на доказательстве РдссЕла.

Или: то, что для каждого доказанного предложения формы т 4- η = 1 можно представить себе доказательство РлссЕла, еще не говорит о том, что данное предложение основывается на этом доказательстве, ибо можно себе представить такой случай, когда нельзя различить РАССЕЛОВО доказательство одного предложения и такое же доказательство другого предложения; и об их различии говорят лишь потому, что они представляют собой переводы [на язык РлссЕла] двух явно различимых доказательств.

Иначе говоря: нечто — скажем, логическое исчисление РлссЕла — перестает быть доказательством в том случае, если оно перестает быть парадигмой; с другой стороны, может быть принято любое другое исчисление, если оно служит нам парадигмой.

15. То, что различные методы счета почти всегда согласуются, — факт.

Считая клетки на шахматной доске, я так или иначе получаю 64. Если я выучил два вида слов, например наименования чисел и ал-

77

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

фавит, и привожу их в соответствие 1 — 1

а1

Ъ2

с3

ит. д.,

то всякий раз, дойдя до „ζ", я получу „26".

Имеет место: знание столбца слов наизусть. В каком случае говорят, что я знаю стихотворение... наизусть? Критерии здесь достаточно сложны. Совпадение с напечатанным текстом — один из них. Что должно произойти, чтобы я усомнился, действительно ли я знаю наизусть алфавит? Трудно себе это представить.

Однако произнесение вслух или запись по памяти последовательности слов я использую в качестве критерия равенства чисел или множеств.

Должен ли я тут сказать: это все не столь уж важно — логика все же остается основным исчислением; только вот ответ на вопрос: идентичны ли формулы, представленные мне дважды? — может быть в разных случаях разным.

16. По правде говоря, не логика вынудит меня признать верным предложение такого вида: (3 ) (Ξ ) з (3 ), — если в первых и вторых скобках будет по миллиону переменных, а в третьих — два миллиона. Я хочу сказать — никакая логика не заставила бы признать в этом случае то или иное выражение верным. Нечто другое заставляет меня признать это выражение соответствующим логике.

Логика вынуждает меня, лишь поскольку вынуждает логическое исчисление.

Но для логического исчисления с 1 000 000 составляющих все-та- ки важно, что это число должно быть разложимо в сумму 1 + 1 +

1... ! А для уверенности,	что мы имеем верное число единиц, их
можно пронумеровать:
1 +		1 + 1 + 1 + ... + 1
1	2	3	4	1 000	000

Этот способ записи похож на такой: 100, 000, 000, 000, — который также делает вполне наглядными числовые знаки. Ведь можно представить себе, что кто-то записал в книге большую сумму денег в пфеннигах так, что получились 100-значные числа, с которыми мне предстоит вести расчет. Я бы начал с перевода их в

78

И, 1939-1940

ту или иную наглядную запись, но все же называл бы их «числовыми знаками» и обращался бы с ними как со своеобразными дубликатами чисел. Я считал бы их дубликатами чисел даже в том случае, если бы мне сказали: у N столько шиллингов, сколько горошин вмещается в этот сосуд; или по-другому: «У него столько шиллингов, сколько букв в Песне песней».

17. Запись «Xj, x2 , х3» — преобразует выражение (5 ...) в картину, а тем самым и в тавтологию, доказуемую методом РлссЕла. Зададимся таким вопросом: разве нельзя допустить, что в доказательстве РлссЕла не гарантировано исполнение корреляции 1 — 1, и что, пожелай мы, например, использовать эту корреляцию для сложения, всегда бы получался результат, противоречащий обычному результату, и что мы относили бы это на счет усталости, изза которой незаметно для себя, пропустили отдельные действия? И разве нельзя было бы тогда сказать: не помешай усталость, мы получали бы всегда одинаковый результат? Потому что того требует логика? А разве она этого требует? Разве мы здесь не исправляем логику при помощи иного исчисления?

Предположим, что вместо каждых 100 действий мы бы использовали в процессе логического исчисления их итог и всякий раз получали надежные результаты, пытаясь же выполнить каждое действие в отдельности, не достигали бы этого. — — На это можно возразить: но ведь исчисление основывается на единичных действиях, поскольку суммарное действие из ста составляющих определяется все же через единичные действия. — Да, определение гласит: произвести суммарное действие из ста составляющих означает то же самое, что и ... и все же мы производим разовое суммирование 100, а не сто действий по отдельности.

При укрупнении исчисления я следую тем не менее некоему правилу а как же обосновывается это правило? Что если сокращенное и полное доказательства дают различные результаты? 18. Сказанное мною сводится к следующему: можно, например, оп-

ределить 10	как 1 + 1 + 1 + 1 ... , а 100 х 2 -- как 2	+ 2	+ 2	... ,
но именно	поэтому не обязательно представлять	100 χ	10	как
10 + 1 0 + 1	0 ... или даже как 1 + 1 + 1 + 1 ....

Убедиться в том, что 100 χ 100 = 10 000, можно «сокращенным» методом. Почему бы тогда не считать этот метод изначальным методом доказательства?

Сокращенный метод учит меня тому, что должно получаться при использовании несокращенного. (А не наоборот.)

79

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

19. «Но ведь вычисление основывается на отдельных действиях...» Да, но происходит это совершенно иначе. Сам процесс доказательства совершенно иной. Я мог бы, к примеру, сказать: 10 = 1 + 1 + + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, равно как 100 = 10 + 10 + 10 + + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 .

Разве объяснение числа 100 я не основывал на последовательном прибавлении 1? Так что же, это прибавление происходило так же, как если бы я складывал 100 единиц? Нужен ли вообще в моей записи знак вида 1 + 1 + 1 ... с сотней слагаемых?

Опасно тут, по-видимому, то, что сокращенный метод считают бледной тенью несокращенного. Правило счета — это еще не сам счет. 20. В чем же состоит «суммарное» выполнение ста действий вычисления? Да в том, что определяющим считается не действие с единицами, а какое-то другое действие.

При обычном сложении целых чисел в десятичной системе мы производим действия с единицами, с десятками и т. д. Можно ли утверждать, что метод основывается на выполнении лишь единичных действий? Это можно обосновать так: результат реального сложения 7583, объяснение же этого знака, его значения, которое в конечном счете должно найти свое выражение и при его использовании, дается таким образом: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 и т. д. Но действительно ли это так? Нужно ли объяснять данный числовой знак таким способом или это объяснение неявно выражается в его применении? Я думаю, что, поразмыслив над этим явлением, мы убедимся, что это не так.

Расчет при помощи графиков или логарифмической линейки. Очевидно, что при проверке решения, полученного одним способом с помощью решения, полученного другим путем, результат обычно получается один и тот же. Но если существует несколько способов — кто скажет, в том случае, если они не совпадают, какой из них есть истинный способ расчета, восходящий к истокам математики?

21. Там, где может возникнуть сомнение в том, действительно ли это является картиной данного доказательства, там, где мы готовы подвергнуть сомнению идентичность доказательства, — там эта выкладка теряет свою доказательную силу. Ведь доказательство служит для нас также мерой.

Можно ли сказать: к доказательству относится признанный нами критерий верного воспроизведения доказательства?

80

И, 1939-1940

Это означает, например, что мы должны быть ны в том, что не пропустили при доказательстве ни одного знака.

И что никакой нечистой силе не удастся нас обвести вокруг пальца, без нашего ведома то убирая, то добавляя число и т. д.

Так можно выразиться, когда уместно утверждать: обмани нас сам черт, все равно все будет в порядке, все его проделки, направленные против нас, не достигнут цели.

22. Доказательство, скажем так, выявляет не только то, что положение таково, но и то, как получилось, что оно таково. Оно показывает, как 13 + 14 дает в результате 27.

«Доказательство должно быть обозримым» означает: мы должны быть готовы к тому, чтобы использовать его в качестве путеводной нити при вынесении нашего суждения.

Если я говорю: «Доказательство — это картина», — то его можно представить себе в качестве кинокартины.

Доказательство проводится раз и навсегда. Доказательство, конечно же, должно быть образцовым.

Доказательство (картина доказательства) показывает нам результат процесса (конструкции), и мы уверены, что процесс, отрегулированный таким образом, всегда приведет к такой картине.

(Доказательство демонстрирует нам синтетический факт.)

23. Утверждая, что доказательство — своего рода образец, мы не надеемся, конечно, сказать ничего нового.

Доказательство должно быть процессом, о котором я говорю: «Да, так должно быть; это должно получаться, если действовать согласно данному правилу».

Изначально доказательство, можно сказать, должно представлять

собой что-то вроде эксперимента	а потом берется просто как
картина.

Если я ссыплю вместе 200 яблок и еще 200 яблок, сосчитаю их и получу 400, это еще не доказательство того, что 200 + 200 =

400. Это значит, что мы не смогли бы использовать данный факт

вкачестве парадигмы для определения всех сходных ситуаций. Когда мы говорим: «Эти 200 яблок и эти 200 яблок дают в сумме 400», — это значит: если их ссыпать вместе и при этом ни одно не

прибавится и не убавится, то их соотношение будет нормальным.

24. «Это образец сложения 200 и 200», а не: «Это образец того, что 200 и 200 в сумме дают 400». Впрочем, процесс сложения дал результат 400, но затем мы берем этот результат в качестве

81

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

критерия правильного сложения — или просто: сложения — этих чисел.

Доказательство должно быть нашим образцом, картиной того, как эти операции дают результат.

«Доказанное предложение» выражает то, что может быть вычитано из этого доказательства-картины.

Доказательство является образцом правильного суммирования 200 и 200 яблок. Это значит, что.оно определяет новое понятие: «суммарный счет 200 и 200 предметов». Или можно сказать: «новый критерий того, что ничего не убавилось и не прибавилось».

Доказательство определяет «верный суммарный подсчет». Доказательство— нашим образец получения определенного ре-

зультата, образец, служащий мерилом	(масштабом) реальных
изменений.
25. Доказательство убеждает нас в чем-то	но нас интересует

не само состояние убежденности, — куда важнее для нас способы применения, подкрепляющие эту убежденность.

Поэтому нас оставляет равнодушным утверждение: доказательство убеждает нас в истинности данного высказывания, — поскольку эту фразу можно истолковать по-разному.

Когда я говорю: «Доказательство убеждает меня в чем-то», — то высказывание, выражающее данное убеждение, не воссоздается в доказательстве. Так, при умножении мы не обязательно записываем результат в форме предложения ... χ ... = ... . Можно, очевидно, сказать: умножение дает нам уверенность в этом, даже если само предложение, выражающее действие умножения, не формулируется.

Психологический недостаток доказательств, конструирующих вы-

сказывания,	тот, что благодаря им мы легко забываем, что
смысл результата вычитывается не из него самого, а из доказа-
тельства.	В этом плане проникновение символики РлссЕла в сис-
тему доказательств нанесло ей много вреда.

Словно шали, окутывающие человеческую фигуру, знаки РАССЕЛЕ вуалируют до неузнаваемости важные формы доказательства.

26. Поразмыслим над тем, что математическая убедительность достигается грамматическими предложениями; выражением, результатом этой убедительности служит то, что мы принимаем не-

кое правило.

Поэтому нет ничего удивительного в том, что словесное выраже-

82

II, 1939-1940

ние результата математического доказательства ввергает нас в плутни мифотворчества.

27. Я, например, смею утверждать: даже тогда, когда доказанное математическое предложение, казалось бы, указывает на реальность вне себя самого, тем не менее оно выражает лишь признание новой меры (меры реальности).

Таким образом, конструируемость (доказуемость) этого символа (то есть математического предложения) воспринимается как знак того, что символы следует преобразовывать таким способом.

Пробились ли мы в ходе доказательства к некоторому знанию? И выражает ли итоговое предложение это знание? Не зависимо ли это знание от доказательства (отсечена ли пуповина)? — Вот теперь предложение используется само по себе, без привязки к доказательству.

Почему бы не сказать: сквозь доказательство я пробился к реше-

нию!

Доказательство включает этот итог в систему решений.

(Можно, конечно, сказать и так: «Доказательство убеждает меня в целесообразности этого правила». Но, сказав так, можно легко впасть в заблуждение.)

28. Доказанное таким образом предложение служит правилом, то есть парадигмой. Ведь мы ориентируемся на правила.

Но приводит ли доказательство лишь к тому, что мы ориентируемся на это правило (признаем его), или оно вместе с тем показывает и то, как следует ориентироваться на него?

Математическое предложение должно показывать нам и то, что имеет смысл говорить.

Доказательство конструирует предложение; но важно, как оно его конструирует. Иногда, например, оно конструирует сначала число, затем следует утверждение, что такое число существует. Если мы говорим, что данная конструкция должна убеждать в правильности этого утверждения, то это означает: она должна нас вести к тому, чтобы использовать данное предложение определенным образом. Она должна определять, что следует признать осмысленным, а что нет.

29. Что есть общего в целях Евклидова построения — скажем, деления отрезка на две равные части — и выведения одного правила из других путем логических умозаключений?

Общее заключается, по-видимому, в том, что путем конструирова-

83

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ния знака я добиваюсь признания знака.

Можно ли сказать: «Математика создает новые выражения, а не новые предложения»??

Можно в том смысле, что математические предложения являются раз и навсегда принятыми в языке инструментами, а их доказательство лишь указывает то место, где они находятся.

В какой же мере являются «инструментами языка», например, тавтологии РлссЕла?

РАССЕЛ, ВО ВСЯКОМ случае, не счел бы их таковыми. Его ошибка, если таковая была, могла бы состоять лишь в том, что он упустил из виду их применение.

Доказательство позволяет вывести одну структуру из другой.

Оно направляет процесс порождения одной структуры из другой. Все это, конечно, верно — но оно приводит в различных случаях к совершенно разным результатам! Что же представляет для нас интерес в таком переходе?

Предположи я даже, что доказательство заложено в систему языка, кто скажет мне, как следует использовать этот инструмент, для чего он служит?

30. Доказательство ведет меня к утверждению: это должно быть так. Допустим, я понимаю это в случае Евклидова доказательства или в случае доказательства 2 5 х 2 5 = 625,но будет ли картина той же, скажем, в случае доказательства РлссЕла „ Ι— ρ Ζ) q · ρ : Ζ) : qr"? Что означает здесь «это должно быть так» в отличие от «это так»? Следует ли мне сказать: «Ну, я беру это выражение в качестве парадигмы для всех ни о чем не говорящих [неинформативных] предложений этой формы»?

Я прослеживаю доказательство и говорю: «Да, так должно быть; я должен констатировать такое употребление моего языка».

Я хочу сказать, что это «должно» соответствовать рельсам, которые я прокладываю в языке.

31. Сказав, что доказательство вводит новое понятие, я имел в виду примерно вот что: доказательство добавляет к парадигмам языка новую парадигму; подобно тому как, особым образом смешав красноватый и синий цвета, мы получаем новый оттенок и даем ему новое название.

Но если мы и склонны называть доказательство такой новой парадигмой, то в чем состоит точное сходство доказательства с такого рода понятийным образцом?

84

II, 1939-1940

Хочется сказать: доказательство изменяет грамматику нашего языка, изменяет наши понятия. Оно формирует новые взаимосвязи, и оно создает понятие этих взаимосвязей. (Оно не устанавливает, что они существуют; скорее, они не существуют до тех пор, пока оно их не создаст.)

32. Какое понятие создает „ρζι	ρ"Ί И все же кажется	возмож-
ным сказать, что „pzzp" служит	нам знаком некоего понятия.
„ρ Ζ) р " является формулой. Устанавливает ли формула		какое-то

понятие? Можно сказать: «Отсюда по формуле... следует то-то». Или же: «Отсюда таким-то образом следует, что...» Но то ли это предложение, в каком я заинтересован? А вот такое предложение: «Сделай отсюда вывод таким образом...»?

33. Если я говорю о доказательстве, что оно является образцом (картиной), то и о простейшем РАССЕЛОВСКОМ высказывании я дол-

жен сказать то же самое (как об исходной клетке		доказательства).
Можно задать вопрос: как получилось, что	предложение „р з р "
стали рассматривать как истинное утверждение?		Ведь его не ис-
пользовали в практике речевого общения,	однако		существовала
все же тенденция в особых обстоятельствах	(когда,		например, за-
нимались логикой) произносить его с полной	убежденностью.
Как же обстоит дело с „р =>р"? Я вижу	в нем		выродившееся

предложение, которое находится в сфере истинности.

Я фиксирую его как важную точку пересечения в системе осмысленных предложений. Как точку опоры нашего способа изображения [описания, изложения].

34. Построение доказательства начинается с тех или иных знаков, и некоторые из них, так называемые константы, должны уже обладать значением в языке. Так, важно то, что „ ν " и „~" уже привычно используются нами, и отсюда построение доказательст-

ва в Principia	Mathernatica обретает	свою значимость, свой
смысл. Однако знаки доказательства не		позволяют	усмотреть это
значение.
«Использование»	доказательства, конечно, должно		иметь дело с
соответствующим	использованием его знаков.

35. Как уже говорилось, меня в известном смысле вполне убеждают элементарные предложения РдссЕла.

Тем самым убежденность, рождаемая доказательством, не может проистекать только из конструкции доказательства.

36. Если бы я увидел в Париже эталон-метр, но не знал бы ниче-

85

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

го об институте измерения и его связи с этим стержнем— разве мог бы я сказать, что мне известно понятие эталона метра?

А не является ли частью некоего института и доказательство? Доказательство — некий инструмент, но почему я говорю: «инструмент языка»?

Необходимо ли тогда, чтобы счет был инструментом языка?

37.То, чем я постоянно занят, — это, очевидно, подчеркивание различия между определением смысла и использованием смысла.

38.Признать доказательство: его можно признать в качестве парадигмы той фигуры, которая возникает, если к фигурам определенного рода верно применить эти правила. Его можно признать как правильный вывод итогового правила. Или как правильный вывод из верного эмпирического, предложения; или как верный вывод из ложного эмпирического предложения; или просто как правильный вывод из эмпирического предложения, о котором нам неизвестно, истинно оно или ложно.

Ну, а можно ли сказать, что понимание доказательства как «доказательства конструируемое™» доказанного предложения является в каком-то смысле более простым, первичным, чем какое-либо другое понимание?

То есть можно ли сказать: «Каждое доказательство доказывает прежде всего то, что должна получиться эта знаковая форма, если применить данное правило к данным формам знаков»? Или: «Доказательство доказывает прежде всего то, что может возникнуть эта форма знака, если оперировать этими знаками согласно этим правилам преобразования». —

Это указывало бы на геометрическое использование. Ибо предложение, истинность которого, как я утверждаю, уже доказана, является здесь геометрическим высказыванием — грамматическим предложением, затрагивающим трансформации знаков. Можно, к примеру, сказать: доказано, что имеет смысл утверждать, что некто получил знак ... по этим правилам из ... и ..., но лишено смысла и т. д. и т. д.

Или: если лишить математику всякого содержания, то осталось бы лишь то, что определенные знаки могут быть сконструированы из других по определенным правилам. —

Самое малое, что пришлось бы признать: что эти знаки ... — а это признание заложено в основу всякого другого. — И все же я хотел бы сказать: последовательность знаков доказа-

86