Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

III, 1942

Например, в таких, когда присутствие сочетания ... исключено законом данного ряда.

Далее: продолжая вычислять десятичное разложение, я вывожу новые законы, которым подчиняется данный ряд.

«Что ж, хорошо, в таком случае можно сказать: в законе данного ряда либо должно быть заложено появление этого сочетания, либо его исключение». Но так ли это? — <<А разве закон разложения не полностью детерминирует ряд? А если он его детерминирует, не допуская неопределенности, он должен имплицитно решать все вопросы, касающиеся структуры ряда.» — Тогда ты здесь имеешь в виду конечные ряды.

«Но ведь определены все члены ряда от I до 1000, до 1010 и т . д., а это значит, что все члены определены». Это верно, если исключено, что какой-то из последующих членов может оказаться не определенным. Но ты же видишь, что это не позволяет тебе сделать вывод о том, появится ли в ряду некое сочетание (если оно

еще не появилось). Таким	образом, мы понимаем, что использу-
ем дезориентирующую нас	картину.

Желая узнать о ряде больше, ты должен как бы переместиться в

другое измерение (как бы с линии на окружающую	ее	плос-
кость). — Так разве плоскость уже не присутствует	здесь, так
же как и линия, и не требуется просто кое-что исследовать,		если
хочешь знать, как это происходит?

Нет, математику этого более широкого диапазона надо еще изобрести, как и любую математику.

В некой арифметике, где счет не идет дальше 5, вопрос о том, сколько будет 4 + 3, еще не имеет смысла. Однако здесь вполне может существовать проблема придания смысла этому вопросу. Это значит: этот вопрос имеет так же мало смысла, как и положение об исключенном третьем применительно к этому вопросу.

12. Предполагается, будто в законе исключенного третьего уже присутствует нечто достаточно прочное, во всяком случае, не подлежащее сомнению. Между тем в действительности эта тавтология имеет столь же шаткий смысл (если позволительно так сказать), что и вопрос о том, имеет ли место ρ или ~р.

Представь себе, что я бы спросил: что имеют в виду, когда говорят: «При этом разложении... появляется сочетание...»? Мне бы ответили: «Ты же знаешь, что это означает. Оно появляется подобно тому, как при десятичном разложении действительно появляется сочетание...» — Значит, оно появляется вот так? Но как именно?

147

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Представь себе, что тебе бы ответили: «Оно появляется либо так, либо не так!» «Но разве ты действительно не понимаешь, что имеется в ви-

ду?!» — А разве невозможно думать, будто понимаешь, а между тем заблуждаться? —

Откуда я знаю тогда, что означает: сочетание... появляется при разложении? Конечно же благодаря примерам, показывающим мне, что получается, когда... Но эти примеры не показывают, как получается, что при разложении появляется данное сочетание.

Разве нельзя сказать: если бы действительно было правомерно утверждать, что эти примеры учат меня, как происходит, что в десятичном разложении появляется данное сочетание, то они должны были бы показывать мне и то4 что означает противоположное утверждение?

13. Общее предложение о том, что данное сочетание не появляется при разложении, может быть только требованием.

А что, если рассматривать математические предложения как требования и как таковые их высказывать? «Пусть 25 2 даст 625». Да, требование тоже имеет внутренее и внешнее отрицание. Символы (χ) · φχ и (Зх) · φχ, вероятно, полезны в математике, если известна и остальная техника доказательства существования или не-существования, которую здесь тянут за собой РАССЕловские знаки. Если же оставить вопрос открытым, то эти понятия старой логики оказываются в высшей степени дезориентирующими. Допустим, некто заявляет: «Да ведь ты знаешь, что „данное сочетание появляется при разложении" означает именно это», — и показывает какой-то случай его применения. — Я могу возразить на это лишь репликой, что показанное им способно иллюстрировать различные факты. Вот почему, зная, что он наверняка прибегнет в таком случае к данному предложению, обо мне — на этом основании — нельзя сказать, что я знаю, что означает это предложение.

Противоположностью утверждению «существует закон, что р>> не является утверждение «существует закон, что~р». Выражая первое через Р, а второе через ~Р, оказываешься в трудном положении.

14. Предположим, детей учили бы, что Земля представляет собой бесконечную плоскость; или же что Бог создал бесконечный ряд звезд; или что звезда равномерно и беспрерывно летит по прямой линии все дальше и дальше.

148

III, 1942

Странно вот что: если воспринимать нечто подобное как само собой разумеющееся, совершенно спокойно, то оно утрачивает всякую парадоксальность. Как если бы кто-то сказал мне: успокойся, этот ряд или движение продолжается беспрерывно. Нас как бы избавили от усилия думать о конце.

«Мы не будем принимать во внимание конец». (We won't bother about an end.)

Можно было бы также сказать: «Для нас ряд бесконечен».

«Мы не станем беспокоиться о конце этого ряда; для нас он всегда будет необозримым».

15. Невозможно сосчитать рациональные числа, потому что они не поддаются счету, но можно считать с помощью рациональных чисел — так же как и с помощью кардинальных чисел. Такой лукавый способ выражения входит в целую систему уловок, прибегая к коим мы с помощью нового аппарата столь же уверенно действуем с бесконечными множествами, сколь до сих пор оперировали конечными.

Нельзя назвать это «исчисляемостью», но вполне имеет смысл говорить о «нумеруемости». А это выражение позволяет уяснить и применение понятия. В самом деле, хотя тщетны попытки сосчитать рациональные числа, но стремиться их пронумеровать вполне возможно.

16.Здесь напрашивается сравнение с алхимией. Можно говорить

освоего рода алхимии в математике.

Характеризует ли эту математическую алхимию уже то, что математические предложения рассматриваются как высказывания о математических объектах — то есть что математика выступает как исследование этих объектов?

В известном смысле в математике нельзя апеллировать к значению знаков потому, что именно математика и задает им значение. Что типично для явления, о котором идет речь, так это то, что загадочность какого-нибудь математического понятия не истолковывается сразу же как некое ошибочное понимание, как ложное понятие; она толкуется как что-то такое, чем, во всяком случае, не следует пренебрегать, с чем, пожалуй, скорее даже следует считаться.

Все, что я могу сделать, — это указать легкий выход из этой неясности и мерцания понятий.

Странным образом можно утверждать, что во всех этих мерцаю-

149

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

щих понятийных образованиях есть, так сказать, прочное ядро. И я бы сказал, что оно-то и делает их математическими творениями. Можно сказать: то, что ты видишь, больше похоже, конечно, на какое-то мерцающее воздушное сияние, но посмотри на него с другой стороны, и ты увидишь плотное тело, которое только под определенным углом зрения выглядит как мерцание без телесного субстрата.

17.«Определенная конфигурация входит в ряд или же отсутствует

вряду» — это означает: дело выглядит так или же оно не выглядит так.

Откуда мы знаем, что значит противоположность предложения «φ появляется в ряду» или же предложения «φ не появляется в ряду»? Этот вопрос звучит бессмысленно, и все же он имеет какой-то смысл. Притом вот какой: откуда я знаю, что понимаю предложение «φ появляется в ряду»?

Верно, можно привести примеры употребления таких высказываний и противоположных. А они служат примерами того, что существует некое правило, предписывающее появление чего-то в опЛ ределенном месте или ряде мест или же определяющее, что это появление исключено.

Если слова «ты сделаешь это» означают: ты должен это сделать, а «ты не сделаешь этого» — ты не имеешь права делать это, — т о фраза «ты сделаешь это или ты этого не сделаешь» не будет предложением об исключенном третьем.

Каждый чувствует себя неуютно при мысли, что некое предложение могло бы повествовать о том, что в бесконечном ряду что-то не появляется, — и напротив, отнюдь не кажется странным, если некое повеление гласит: в этом ряду, как бы долго его ни продолжать, это появиться не должно.

Откуда же берется это различие между «как бы далеко ты ни шел, ты этого никогда не найдешь» — и «как бы далеко ты ни шел, ты никогда не должен этого делать»?

Услышав приведенное предложение, можно спросить: «Как можно знать что-то в этом роде?» — по отношению же к приказу такое неуместно.

Высказывание кажется самодостаточным, приказ же — отнюдь нет. Можно ли представить себе, чтобы все математические предложения выражались в повелительном наклонении? Например: «Пусть 10 х 10 будет 100!»

150

III, 1942

А тогда фраза: «Пусть будет так или же пусть так не будет» — выражала бы не закон исключенного третьего, а правило. (Как я уже говорил об этом выше.)

18. Но действительно ли это выход из трудностей? Ибо как тогда обстояло бы дело со всеми другими математическими предложениями, скажем 2 5 2 = 625; разве для них в пределах математики не имел бы силы закон исключенного третьего?

Как используют положение об исключенном третьем? «Существует либо правило, запрещающее это, либо правило, разрешающее это».

Предположим, что нет правила, запрещающего определенное событие, — почему же тогда должно быть правило, разрешающее его? Имеет ли смысл говорить: «Хотя и не существует правила, запрещающего данное сочетание, оно действительно не появляется»? —

Аесли это не имеет смысла, то как может иметь смысл нечто противоположное этому — то, что такое сочетание появляется? Ну, когда я говорю, что оно появляется, передо мной витает картина ряда, от его начала до этой конфигурации, — если же я говорю, что такое сочетание не появляется, то подобная картина мне не нужна, и мой запас картин иссякает.

Ачто, если бы правило при употреблении незаметно отклонялось

всторону? Я имею в виду, что можно было бы говорить о его применении в различных пространствах.

Противоположностью высказыванию «это не должно появиться» называют «это может появиться». Но для какого-то конечного фрагмента ряда противоположностью «это не должно в нем появляться», по-видимому, будет «это должно в нем появиться».

В альтернативе «в бесконечном ряду φ появляется или не появляется» странно то, что нужно представить себе по отдельности обе эти возможности, что ищется представление для каждого варианта и что одного представления обычно оказывается недостаточно для отрицательного и положительного случаев.

19. Откуда я знаю, что общее предложение «Существует...» имеет здесь смысл? Да из того, что оно может быть использовано для сообщения о технике развертывания в той или иной языковой игре.

Одно сообщение гласит: «Это не должно появляться», — то есть: если оно появляется, значит, ты неверно вычислил.

Другое же оповещает: «Это может появиться», то есть такого рода запрета не существует. Еще одно: «Это должно появиться в такой-

151

7—1923

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

то области (всегда в этом месте в этих областях)». Противоположностью же этому, по-видимому, будет: <<В таком-то месте это не должно появляться» — вместо «Это не должно там появляться». А что, если существовало бы правило, разрешающее, например, везде, где правило образования π дает 4, ставить вместо 4 любую другую условную цифру?

Прими во внимание также правило, в определенных местах запрещающее некую цифру, а в других оставляющее возможность выбора.

Разве не верно, что понятие о бесконечных десятичных дробях в математических предложениях — это понятие не о рядах, а о неограниченной технике разложения рядов?

Мы осваиваем бесконечную технику: то есть сначала нам что-то проделывают, мы это повторяем; нам формулируют правила, и мы упражняемся в следовании им; при этом, вероятно, употребляют и такое выражение, как «и т. д. до бесконечности», но под этим не подразумевают какого-то гигантского протяжения.

Таковы факты. Ну, а что означает: «ср или появляется в данном разложении, или же не появляется»?

20. Значит ли это, что нет такой проблемы: «Проявляется ли в этом разложении конфигурация φ?» — Спрашивать об этом — значит спрашивать о правиле появления φ. А альтернатива су-

ществованию или несуществованию такого правила —	это, во
всяком случае, не математическая альтернатива.
Только в пределах некоей математической структуры,	которую
еще надлежит создать, вопрос допускает математическое	реше-

ние и становится вместе с тем требованием такого решения.

21. Что же, выходит, бесконечное не действительно —разве нельзя сказать: «Эти два края плоскости пересекаются в бесконечности»? Неверно: «Круг имеет это свойство потому, что проходит через две бесконечно удаленные точки...», верно другое: «Свойства круга могут быть рассмотрены в этой (странной) перспективе».

Это, по сути, некая перспектива, причем притянутая за волосы. (Что вовсе не ставится кому-то в упрек.) Но всегда должно быть совершенно ясно, в какой мере этот способ восприятия притянут за волосы. Ибо иначе его действительное значение оказывается смутным.

22. Что значит: «Математик не знает, что делает» — или: «Он знает, что делает»?

152

III, 1942

23. Можно ли делать бесконечные предсказания? — Ну, а почему бы, например, закон инерции не назвать таким предсказанием? Или же предложение о том, что комета описывает параболу?

В известном смысле их бесконечность, правда, не принимается всерьез.

Как же тогда обстоит дело с предсказанием о том, что при разложении π, как бы далеко оно ни зашло, мы никогда не наткнемся на конфигурацию φ? — Что ж, можно сказать, что это или нематематическое предсказание, или же математическое правило.

Кто-то, научившись разлагать V2, идет к гадалке, и она пророчит ему, что, как бы далеко он ни продвинулся в разложении ч2, он никогда не придет к последовательности .... — Является ли ее пророчество математическим предложением? Нет. — Разве что она скажет: «Если ты всегда будешь разлагать правильно, то никогда не придешь....» Но разве это предсказание?

И все же кажется, что такого рода предсказание правильного разложения вполне мыслимо и отличимо от математического закона, утверждающего, что таковое должно вести себя тем или иным образом. Так что в математическом разложении различалось бы то, что фактически получается так — как бы случайно, — и то, что должно так получиться.

Как следует решать вопрос о том, имеет ли смысл бесконечное предсказание?

Во всяком случае, не утверждением: «Я уверен, что имею в виду нечто, когда говорю...» Пожалуй, вопрос не столько в том, имеет ли предсказание какой-

либо смысл, сколько в том, какого типа смысл оно имеет. (То есть в каких языковых играх оно появляется.)

24.«Пагубное проникновение» логики в математику.

Вподготовленной таким образом области это является доказательством существования.

Порочность логической техники состоит в том, что она заставляет нас забытьспециальную математическую технику. В то время как логическая техника — лишь вспомогательная техника в математике. Например, она устанавливает известные связи между другими техниками.

Это почти то же самое, как если бы кто-то захотел сказать, что столярное дело состоит в склеивании.

25. Доказательство убеждает тебя в том, что существует некий

7*

153

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

корень уравнения (не давая тебе понятия о том, где он существует), — но откуда ты знаешь, что понимаешь предложение о существовании корня? Откуда ты знаешь, что действительно в чемто убежден? Ты можешь быть убежден в том, что применение доказанного предложения будет найдено. Но тебе не понять этого предложения, пока ему не найдено применение.

Если доказательство в общем виде доказывает, что существует некий корень, то все зависит от того, в какой форме оно это доказывает. То есть от TOFO, что ведет здесь к данному словесному выражению, которое есть просто схема, замалчивающая главное. В то время как логикам кажется, что оно замалчивает только побочное.

Математически общее соотносится с математически особенным не так, как обычно соотносится обще'е с особенным.

Все, что я говорю, сводится, собственно, к тому, что можно знать некое доказательство и следовать ему шаг за шагом, но при этом все-таки не понимать того, что было доказано.

Аэто в свою очередь связано с тем, что можно грамматически правильно построить математическое предложение, не понимая его смысла.

Акогда его понимают? — Я полагаю: тогда, когда его могут применять.

Вероятно, можно сказать: когда имеют некую ясную картину его применения. Для этого, однако, недостаточно связывать с ним ка- кую-то ясную картину. Куда лучше* было бы сказать: когда имеют ясный обзор его применения. Но и это плохо, ибо речь идет лишь о том, чтобы не предполагать применения там, где его нет; чтобы не позволять словесной форме предложения вводить себя в заблуждение.

Но как же получается, что таким образом предложение или доказательство может быть не понято или неправильно понято? И что тогда нужно, чтобы добиться понимания?

Существуют, полагаю, случаи, когда кто-то как раз может применить предложение (или доказательство), однако не в состоянии дать ясный отчет о типе применения. И такой случай, когда он не в состоянии и применить предложение. (Аксиома умножения.)

Как обстоит дело в этом отношении с 0 χ 0 = О?

Можно сказать, что понимание математического предложения не гарантировано его словесной формой, как в случае большинства

154

III, 1942

не математических предложений. Это означает, по-видимому, что дословный текст не определяет языковую игру, в которой функционирует предложение.

Логическая запись проглатывает структуру.

26. Чтобы понять, как можно назвать «доказательством существования» что-то не допускающее конструирования существующего, подумай о разнообразных значениях слова «где». (Например, топологическом и метрологическом.)

Ведь доказательство существования может не только оставлять неопределенным место «существующего», но и вообще не задаваться вопросом о таком месте.

Это значит, что если доказанноепредложение гласит: «Существует число, для которого...», — то вряд ли имеет смысл спрашивать: «И каково это число?» — или говорить: «И это число есть...» 27. Доказательство того, что при разложении π, появляется 777,

без указания, где именно, должно было бы рассматривать это раз- ложение-с совершенно новой точки зрения, так чтобы, например, показывать свойства областей разложения, о которых мы знали бы лишь то, что они расположены очень далеко вовне. При этом перед нашим мысленным взором витала бы картина того, что в запредельной дали в π должна предполагаться как бы некая темная зона неопределенной протяженности, где наши вспомогательные вычислительные средства уже ненадежны, а затем — в еще большем удалении — некая зона, где снова можно что-то видеть

иным образом.

28. Что касается доказательства путем reductio ad absurdum, то всегда можно представить себе, что его употребляет в качестве аргумента человек, выдвигающий не математическое утверждение (например: он видел, что А поставил В мат такими-то фигурами), которое может быть опровергнуто математически.

Трудность, ощущаемая в математике в связи с reductio ad absurdum, такова: что происходит при этом способе доказательства? Что-то математически абсурдное, то есть нематематическое? И, напрашивается вопрос, как вообще возможно принимать нечто математически абсурдное? То, что можно принять и довести до абсурда физически ложное, не создает трудностей. Но как помыслить, так сказать, немыслимое?!

Косвенное доказательство гласит: «Если ты хочешь, чтобы это было так, то ты не должен принимать этого: ибо с этим сочетаемо лишь противоположное тому, от чего ты не хочешь отказаться».

155

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

29. Геометрическая иллюстрация математического анализа на самом деле несущественна, чего нельзя сказать о геометрическом применении. Первоначально геометрические иллюстрации были

применениями [математического] анализа. Там же, где они

перестают быть таковыми, они легко могут совершенно сбивать с толку.

В таком случае мы имеем дело с воображаемым применением. Вымышленным применением.

Идея «сечения» является такой опасной иллюстрацией.

Лишь поскольку иллюстрации служат применениями, они не порождают того особого головокружения, которое вызывает иллюстрация в тот момент, когда она утрачивает возможное применение; то есть когда она становится нелепой.

30. Так можно было бы вывести теорему ДЕДЕКинда, если бы то, что мы называем иррациональными числами, было совершенно неизвестно, но существовала бы техника определения жребием очередного десятичного знака. И эта теорема имела бы тогда свое применение, даже если бы не существовало математики иррациональных чисел. Это не означает, что разложения ДЕДЕкинда как бы уже предвосхищают все особые действительные числа. Просто кажется, что это будет так, стоит лишь объединить исчисление ДЕДЕкинда с исчислениями конкретных действительных чисел.

31.Можно спросить: чего не мог бы понять в доказательстве теоремы ДЕДЕкинда ребенок 10 лет? — Разве это доказательство не много проще, чем все те вычисления, которыми должен владеть ребенок? — И если кто-то скажет, что ребенок не может понять глубокого содержания теоремы, — я задам ему вопрос: как эта теорема обретает свое глубокое содержание?

32.Образ числовой оси — это абсолютно естественный образ, но до определенного момента, то есть до тех пор, пока его не используют как некую общую теорию действительных чисел.

33.Пожелав осуществить разбиение действительных чисел на два класса — нижний и верхний, — сделай это сначала огрубленно, с помощью двух рациональных точек Ρ и Q.

Q

156