Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

V, 1941 и 1944

ческим: люди вообще так считают.

С другой стороны, не столь уж ясно, что характерным признаком всего, что мы называем «вычислением», является всеобщее согласие тех, кто вычисляет. Можно вообразить, будто люди, научившиеся вычислять при определенных условиях, например под влиянием опиума, начинают производить вычисления каждый на свой манер и находят применение этим вычислениям; и при этом не говорится, что они вовсе не вычисляют и неспособны вычислять, наоборот, их вычисления признают правомерными.

Но разве они не должны быть по крайней мере приучены выполнять одинаковые вычисления? Я полагаю, что и тут можно представить себе отклонения.

37. Можно ли сказать, что математика учит экспериментальному способу исследования, экспериментальной постановке вопросов? А разве нельзя сказать, что она учит меня, например, спрашивать, движется ли определенное тело в соответствии с уравнением некой параболы? — Но что в этом случае делает математика? Без нее или без математиков мы бы, конечно, не пришли к определению этой кривой. Но было ли определение этой кривой уже математикой? Математикой ли обусловлено, например, то, что люди при исследовании движения тела пытаются уяснить, представима ли его траектория с помощью эллиптической конструкции из нити и двух гвоздей? Математикой ли занимался тот, кто придумал этот тип исследования?

Ведь он создал новое понятие. Но было ли это сделано таким же образом, как это делает математика? Подобно тому как дает нам некое новое понятие умножение 18х 15 = 270?

38. Выходит, нельзя сказать, что математика учит нас считать? Но если она учит нас считать, так почему бы ей не учить нас также сравнивать друг с другом цвета?

Ясно: тот, кто учит нас уравнению эллипса, обучает нас новому понятию. Но тот, кто доказывает, что этот эллипс и эта прямая пересекаются в этих точках, — также дает нам какое-то новое понятие.

Обучение уравнению эллипса подобно обучению счету. Вместе с тем оно подобно освоению вопроса: «Имеется ли здесь в сто раз больше шаров, чем там?» Что ж, обучи я кого-то в ходе языковой игры этому вопросу и ме-

тоду ответа на него, значит, я обучил бы его математике? Или это произошло бы лишь в том случае, если бы он оперировал знаками?

197

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

(Напоминало ли бы это вопрос: «Было ли бы геометрией то, что состояло бы только из аксиом Евклида?»)

Если арифметика учит нас вопросу «Сколь много?», то почему бы ей не учить нас и вопросу «Сколь темно?»?

Но вопрос «Имеется ли здесь в сто раз больше шаров, чем там?» — это ведь не математический вопрос. И ответ на него — не математическое предложение. Математическим вопросом было бы: «Верно ли, что 170 шаров в сто раз больше, чем 3 шара?» (И притом это вопрос чистой, а не прикладной математики.)

В таком случае следует ли сказать, что тот, кто учит нас считать вещи и пр., дает нам новые понятия, а также тот, кто учит нас чистой математике такими понятиями?

Является ли то или иное новое сочетание понятий неким новым понятием? И создает ли математика концептуальные связи? Слово «понятие» очень и очень расплывчато.

Математика учит нас по-новому оперировать понятиями. И потому можно сказать, что она изменяет нашу понятийную деятельность.

Но совершает это лишь такое математическое предложение, которое принято как постулат либо же доказано, а вовсе не проблематичное предложение.

39. А разве нельзя экспериментировать математически? Например, попробовать, можно ли сложить голову кошки из квадратного листа бумаги; при этом нас не будут интересовать физические свойства бумаги, ее прочность, эластичность и т. д. Но ведь речь идет только об опыте. А почему не об экспериментировании? Ведь этот случай подобен тому, когда опытным путем подставляют пары чисел в уравнении χ2 + уъ = 25, чтобы найти некую пару, удовлетворяющую уравнению. И если в конце концов мы примем к 3 2 + 42 = 25, то будет ли это предложение результатом эксперимента? Почему же тогда мы называли эту процедуру опытом? Дали бы мы ей то же название и в том случае, если бы некто всегда решал такие проблемы с первого раза с полной уверенностью (со всеми признаками уверенности), но без вычисления? В чем состояло бы здесь экспериментирование? Предположим, что, прежде чем он дает решение, оно является ему как видение. —

198

V, 1941 и 1944

40. Сложение форм, в котором сливаются некоторые элементы, играет в нашей жизни очень небольшую роль. — Как в случае, когда

дают фигуру

Но будь это важной операцией, наше привычное понятие об арифметическом сложении, пожалуй, было бы иным.

То, что из квадратного листа бумаги (по известным правилам) можно сложить лодку, шляпу и т. д., мы должны, конечно, считать делом геометрии, а не физики. Но разве геометрия, понимаемая таким образом, не является частью физики? Нет; мы отделяем геометрию от физики. Геометрическую возможность от физической. А что, если оставить их вместе? Просто сказать: «Если ты сделаешь с листом бумаги вот это и это, то получится это»? То, что надо делать, может быть задано в рифму. И разве не может быть, чтобы кто-то совсем не различал двух этих возможностей? Подобно ребенку, еще не освоившему этой техники. Он не знает и не задумывается о том, возможны ли такие бумажные фигуры лишь потому, что бумага при этом тянется так и этак, искривляется, или же потому, что она не меняет своей формы.

А разве не так же обстоит дело и в арифметике? Почему бы людям не учиться вычислению без каких-либо понятий о математическом и физическом фактах? Они знают лишь, что это всегда получится, будь они внимательны и делай то, чему их научили.

Представим себе: пока мы вычисляем, цифры на бумаге внезапно изменяются. Единица становится вдруг 6, а потом 5, потом снова 1 и т. д. Хотелось бы предположить, что это ничего не меняет в вычислении, ибо как только я считываю цифру, чтобы вычислять с ее помощью или применить ее, она снова становится той, с какой мы имели дело в ходе наших вычислений. Тем не менее мы бы при этом прекрасно видели, как изменяются цифры в ходе

199

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

вычислений, но были бы приучены к тому, чтобы не волноваться по этому поводу.

Но и в отсутствие вышеописанного допущения эти вычисления, конечно, могли бы приводить к вполне пригодным результатам. Вычисление выполняется здесь строго по правилам, и все же этот результат не должен получаться. — Я допускаю, что мы не усматриваем какой-либо закономерности в смене цифр.

Хочу сказать: можно было бы толковать этот процесс вычислений действительно как экспериментирование и, например, сопровождать его словами: «Попробуем теперь, что получится, если применить это правило».

Или же: «Поставим такой эксперимент: запишем цифры с помощью чернил этого составами выполним вычисления по правилу...» Ты мог бы, конечно, сказать: «В этом случае манипулирование цифрами по правилам не есть вычисление».

«Мы вычисляем только тогда, когда за результатом стоит «долженствование»». — А когда мы не знаем об зтом долженствовании, то оно все равно заложено в вычислении? Или мы не вычисляем, если делаем это с полной наивностью?

А как же быть с такой ситуацией: не занят вычислением тот, кто, получая то один, то другой результат и будучи не в состоянии найти ошибку, примиряется с этим и говорит: это как раз и свидетельствует о влиянии на результат определенных обстоятельств, которые пока неизвестны?

Это можно выразить таким образом: тот, кому вычисление открывает причинную взаимосвязь, не вычисляет.

Детей упражняют не только в самих вычислениях, но и в совершенно определенном отношении к ошибке в ходе вычислений. Сказанное сводится к тому, что математика нормативна. Но «норма» не равнозначна «идеалу».

41.Введение нового правила вывода можно считать переходом к новой языковой игре. Я представляю себе такую игру, в которой, например, один участник произносит „ р э д " , другой— „р", а третий делает вывод.

42.Возможно ли, узрев, что плоскость окрашена в красный и синий цвета, не заметить, что она красная? Представь себе, что для вещей, полукрасных-полусиних, используется особое прилагательное: мы говорим, что они «буные». Разве не мог бы кто-то натренироваться замечать вещь буного цвета и вместе с тем не заме-

200

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Но разве невозможно, вглядываясь в плоскость, целиком сосредоточиться на том, окрасится ли она в зеленый цвет или не в зеленый; и следует ли тогда, видя ~з, обращать внимание на особый цвет плоскости?

А разве кто-то не может быть целиком поглощен конфигурацией к · с · з ч : и>· б? Если он, например, приучен рассматривать плоскость только с этой точки зрения, забывая все остальное. (При особых обстоятельствах людям могло бы быть безразлично, красные ли предметы или зеленые; но было бы важно, окрашены ли они в один из этих цветов или в какой-нибудь третий. И в этом случае могло бы существовать какое-то цветовое слово для «красного или зеленого».)

Однако если можно углядеть, что

к · с · z> ч : z> · б?

и

~з=)~ б,

то можно также узреть, а не просто логически заключить, что -зэ:к'С-ч.

Если это три зрительных восприятия, то должно быть также возможно, чтобы третье восприятие не совпадало с логическим выводом из первых двух.

Итак, можно ли тогда представить себе, чтобы кто-то, рассматривая какую-то плоскость, видел сочетание красно-черного (например, как флаг), настраиваясь же на видение одной из двух половин, видел бы вместо красного синий? Что ж, ты это только что описал. — Это примерно так же, как если бы кто-то, глядя на группу яблок, воспринимал ее все время как две группы по два яблока в каждой, но как только он пытался бы охватить их в целом одним взглядом, ему казалось бы, что их 5. Это было бы очень странным феноменом, притом не из числа тех, на возможность которых мы обращаем внимание.

Вспомни о том, что ромб, воспринимаемый как бубновая масть, выглядит не как параллелограмм. Однако не потому, что его противоположные стороны кажутся не параллельными, а потому, что мы не замечаем параллельности.

44. Я мог бы представить себе, что кто-то говорит, будто он видит красно-желтую звезду, но не видит ничего желтого, потому что он видит звезду как сочетание цветовых частей, разделить которые он не в состоянии.

202

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

«Я совсем не думал о том, что эта вещь также и красная; я видел ее только как часть многоцветного орнамента».

Логическое заключение — это переход, который оправдан в том случае, если он следует определенной парадигме, и законность которого не зависит больше ни от чего другого.

46. Мы говорим: «Если, умножая, ты действительно следуешь данному правилу, то должно получиться то же самое». Если же это лишь несколько истеричный способ выражения, характерный для университетского языка, то нам не следует слишком уж этим интересоваться.

Но это выражает повсеместно наблюдаемое в нашей жизни отношение к технике вычислений. Акцент же на долженствовании соответствует лишь непреклонности такого отношения к этой технике вычисления и к бесчисленным родственным ей техникам.

Математическая необходимость — это только иное выражение того, что математика формирует понятия.

А понятия служат для понимания. Они соответствуют определенному способу действий с ситуациями (Sachlagen).

Математика образует сеть норм.

47. Возможно видеть комплекс, образованный из А и В, не видя А или В. Можно также называть этот комплекс «комплекс из А и В>> и думать, что это название указывает на некое родство этого целого с А и Б. Так, возможно сказать, что видишь комплекс, образованный из А и Б, не видя ни А, ни В. Например, так, что можно было бы сказать: здесь есть красновато-желтый цвет, но нет ни красного, ни желтого.

Ну, а могу ли я иметь перед собой А и В и видеть их обоих, но зрительно воспринимать только Α ν ΒΊ Что ж, в известном смысле это все же возможно. И притом я представил бы себе это так, что воспринимающий поглощен определенным аспектом; что он, например, имеет определенного типа парадигму; что он привер-

жен определенному навыку применения. —	И так же, как он мо-
жет быть ориентирован на Α ν JB, ОНможет быть ориентирован и
на А · В. То есть он замечает только А · В	и не замечает, напри-
мер, А. Быть ориентированным на Α ν Б	означает, так	сказать,
реагировать на вот такую ситуацию понятием „Α ν В",		И точно

так же можно, конечно, обращаться и с А · В.

Скажем, кого-то интересует только А · В, и, что бы ни происходило, он формулирует только суждения «А · В>>или «~(А · В)», и я

204

V, 1941 и 1944

могу себе представить, что он вынесет суждение «А · В>> и на вопрос: «Видишь ли ты В?>> — скажет: «Нет, я вижу А · В>>. Примерно так же, как тот, кто видит А · В, не согласится с тем, что он видит Α ν В.

48.Но «видение» плоскости «целиком красной» или «целиком синей»— это ведь «настоящий» опыт, и все же мы говорим, что нельзя иметь одновременно оба эти опыта.

Аесли бы человек уверял нас, что видит эту плоскость действительно целиком красной и целиком синей одновременно? Мы должны были бы сказать: «Ты сообщаешь нам нечто непонятное». Предположение «1 фут = ... см» для нас вневременно. Но можно было бы представить себе такой случай, в котором мера фута и мера метра постепенно как-то изменялись бы, и тогда для пересчета одной в другую их пришлось бы все время сравнивать.

Аразве соотношение длин метра и фута у нас не определено экспериментально? Определено; но результат получил статус правила.

49.В какой мере можно утверждать, что предложение арифметикидает нам некое понятие? Что ж, давайте будем интерпретировать его не как предложение, не как решение ого или иного вопроса, а как некую — каким-то образом принятую — связь понятий.

252 и 625, соединенные знаком равенства, дают мне, можно сказать, новое понятие. И доказательство показывает, что такая связь получается благодаря этому равенству. — «Давать какое-то новое понятие» может лишь означаь: вводить новое использование понятия, некую новую практику.

«Как можно отторгнуть предложение от его доказательства?» Этот вопрос свидетельствует, конечно, о неправильном понимании. Доказательство — это окружение предложения.

«Понятие» — это расплывчатое понятие.

50. Не в каждой языковой игре присутствует что-то, что мы назвали бы понятием.

Понятие — это что-то, подобное изображению, с которым сравнивают предметы.

Разве есть понятия в языковой игре (2) *? Но ее нетрудно расширить таким образом, чтобы «плита», «куб» и т. д. стали понятиями. Например, с помощью какой-то техники описания или изображения таких предметов. Конечно, нет никакой резкой границы между языковыми играми, работающими с понятиями, и прочими языковыми играми. Важно, что слово «понятие» относится к некоему типу вспомогательного средства в механизме языковых игр.

205

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

51. Рассмотрим какой-либо механизм. Например, этот:

В то время как точка А описывает круг, В описывает фигуру восьмерки. И мы запишем это как предложение кинематики. Когда я привожу механизм в действие, его движение доказывает мне данное предложение; так же как. это делал бы чертеж на бумаге. Данное предложение примерно соответствует изображению механизма, с нарисованными траекториями точек А и В. То есть в известном отношении оно представляет собой изображение этого движения. Оно фиксирует то, в чем убеждает меня доказательство. Или — в чем оно меня уговаривает.

Если доказательство регистрирует ход процесса согласно определенному правилу, то тем самым оно порождает какое-то новое понятие. Порождая новое понятие, оно убеждает меня в чем-то. Ибо для этого убеждения существенно, что протекание процесса по этим правилам всегда должно порождать одну и ту же конфигурацию. («Одну и ту же» соответственно нашим обычным;правилам сравнения и копирования.)

Отсюда возможно утверждать, что доказательство должно демонстрировать наличие внутреннего отношения. Ибо внутреннее отношение — это операция, порождающая одну структуру из другой, понимаемая как эквивалент изображения самого этого перехода, так что теперь переход, соответствующий этому ряду изображений, ео ipso представляет собой переход, соответствующий таким правилам операции.

206