Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

III, 1942

ва, убеждающие их в заменимости одной знаковой техники другой. То есть они находят преобразования, ряды изображений, в отношении которых могут решиться использовать вместо одной техники другую.

20.Если вычисление кажется нам механическим действием, то машиной выступает человек, выполняющий вычисление. Вычисление было бы тогда как бы диаграммой, которая вычерчивается той или иной частью машины.

21.И это подводит меня к тому, что изображение вполне может убедить нас в том, что в случае приведения механизма в действие определенная его часть будет двигаться так-то.

Такое изображение (или ряд изображений) воздействует как доказательство. Так, я мог бы, например, сконструировать то, как будет двигаться в механизме точка X.

А разве не странно то, что с первого взгляда бывает неясно, как изображение определенного периода при делении убеждает нас в повторении ряда цифр?

(Мне трудно отделить внутреннее отношение от внешнего — и изображение от предсказания.)

Двойственный характер математического предложения — как закона и как правила.

22.Что, если бы вместо «интуиция» говорили «правильное отгадывание»? Это представило бы ценность интуиции в совершенно ином свете. Ибо феномен отгадывания— это психологический феномен, каковым не является феномен правильного отгадывания.

23.То, что мы обучены технике, обусловливает то, что теперь, глядя на это изображение, мы изменяем его так и этак.

«Мы решаемся на новую языковую игру».

«„Мы, скажем так, спонтанно решаемся" на новую языковую игру».

24. Да; — функционируй наша память иначе, мы, по-видимому, не могли бы производить вычисления так, как делаем это. А мог-

127

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ли бы мы тогда давать определения так, как мы это делаем; говорить и писать так, как мы это делаем?

Как же можно описывать основы нашего языка эмпирическими предложениями?!

25.Предположим, что деление, если бы мы его полностью выполнили, не приводило бы к тому же результату, что и воспроизведение его периода. Это могло бы происходить, например, оттого, что мы, не осознавая этого, изменили бы наши счетные таблицы. (Хотя к этому мог бы привести и иной способ воспроизведения.)

26.Какая разница между тем, чтобы невычислять и вычислять неправильно? — Или: существует ли четкая граница между тем, что время не измеряют, и тем, что его измеряют неверно? Между незнанием об измерении времени вообще и знанием о неверном измерении?

27.Обрати внимание на болтовню, с помощью которой мы убеждаем кого-то в истинности какого-либо математического предложения. Она позволяет сделать выводы о функции этого убеждения. Я имею в виду ту болтовню, которая пробуждает интуицию.

Тем самым запускается в действие машина счетной техники.

28.Можно ли сказать, что тот, кто обучается технике, убеждается в равенстве результатов?

29. Граница эмпирии — образование понятий.

Какой переход я делаю от «будет так» до «должно быть так»? Я образую другое понятие. Такое, в которое включено то, чего прежде не было. Утверждая: «Если эти производные равны, то должно....» — я видоизменяю критерий равенства. То есть преобразую мое понятие равенства.

Ну, а что, если в подобном случае кто-то заявляет: «Я осознаю не два эти процесса, а только эмпирию, образование и преобразование понятия не осознается мною обособленно, все кажется мне стоящим на службе эмпирии»?

Другими словами: по-видимому, мы не становимся то более, то менее рациональными или же не меняем форм нашего мышления настолько, чтобы в итоге изменялось то, что мы называем «мышлением». Представляется, что мы всегда только приспосабливаем наше мышление к опыту.

Когда кто-то говорит: «Если следовать правилу, это должно быть так», — то очевидно, что у него нет ясного представления об опыте, который соответствовал бы чему-то противоположному.

128

III, 1942

Или же так: у него нет ясного представления о том, как это выглядело бы, если бы было иначе. И это очень важно.

30. Что вынуждает нас оформлять понятие равенства так, что мы, например, говорим: «Если оба раза действительно сделать одно и то же, то и получиться должно то же самое»? — Что вынуждает нас действовать по правилу, считать что-либо правилом? Что вынуждает нас говорить с самими собой в формах выученного нами языка?

Так ведь слово «вынуждены» выражает то, что нам не отделаться от этого понятия. (Или следует сказать «склонны»?)

В самом деле, даже если я перешел от одной формы понятия к другой, то на заднем плане все еще сохраняется старое понятие. Нельзя ли сказать: «Доказательство подводит нас к определенному решению, а именно к решению принять определенное образование понятия»?

Рассматривай доказательство не как процесс, который тебя вынуждает, а как процесс, который тебя ведет. — Притом он ведет тебя к пониманию (определенного) положения вещей.

А как получается, что каждого из нас он ведет так, что мы все согласованно испытываем его влияние? Ну, а как получается, что мы все согласованно считаем*} Можно сказать: «Именно так мы приучены, а достигаемая таким образом согласованность подкрепляется доказательством».

В процессе этого доказательства мы сформировали точку зрения, исключающую деление угла на три части с помощью линейки и циркуля.

Признавая некое предложение само собой разумеющимся, мы тем самым освобождаем его от всякой ответственности перед опытом. В процессе доказательства наш взгляд меняется — однако то, что связано с опытом, не наносит ему никакого ущерба.

Перестраивается наша точка зрения.

31. «Должно быть так» не означает «так будет». Напротив: «так будет» выбирает из разных возможностей одну. «Должно быть так» усматривает только одну возможность.

Доказательство вводит наш опыт, так сказать, в определенное русло. Тот, кто снова и снова пытался проделать что-то, после доказательства отказывается от таких попыток.

Кто-то пытается сложить из фишек особое изображение. И, увидев образец, где из всех этих фишек выложена часть этого изоб-

129

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ражения, отказывается от попытки. Доказательством того, что его намерение невыполнимо, послужил образец.

Этот образец, так же как и тот, который показывает ему, что составить изображение из этих фишек можно, изменяет и его понятие. Ибо он еще никогда, можно сказать, не рассматривал задачу составления изображения из этих фишек таким образом.

Подразумевается ли тем самым: видя, что из этих фишек можно выложить часть изображения, понимаешь и то, что из них никоим образом нельзя выложить все изображение? Разве нельзя допустить, что человек будет вновь и вновь предпринимать попытки в надежде, что некое расположение фишек все-таки достигнет этой цели? И разве исключено, что он достигнет своей цели? (Например, путем двойного использования одной фишки?)

Не следует ли здесь различать мышление и практический успех мышления?

32. «...Кто не понимает определенных истин непосредственно, как мы, вынужден идти длинным путем индукции» — так говорит ФРЕГЕ. Меня же интересует именно непосредственное понимание, будь то понимание чего-то истинного или же чего-то ложного. Я спрашиваю: что характеризует поведение людей, которые «непосредственно понимают» что-то, — что всегда служит практическим успехом этого понимания?

Меня интересует не непосредственное понимание определенной истины, а феномен непосредственного понимания. Притом, интересует не как особое душевное явление; его проявление в действии человека — вот что меня занимает.

33. В самом деле, представляется, что образование понятия как бы вводит наш опыт в определенные рамки, так что теперь мы по-новому видим сочетание одного опыта с другим. (Так же как некий оптический прибор позволяет особым образом соединить свет из разных источников в одной картине.)

Представь себе, что доказательство было бы литературным произведением, скажем пьесой. Разве просмотр такой пьесы не мог бы подводить к чему-либо?

Я бы не знал, что произойдет, — но, увидев некую картину, убеждался, что события развернутся так, как изображается. Картина помогла мне сделать предсказание. Не в качестве эксперимента, она была лишь акушером предсказания.

Ведь каков бы ни был мой опыт в настоящем или прошлом, я все

130

III, 1942

же должен делать предсказание. (Опыт не сделает его за меня.) Втаком случае не столь уж удивительно, что доказательство помогает нам предсказывать. Без этой картины я бы не мог сказать, что произойдет; видя же картину, я схватываю ее как ориентир для предсказания.

С помощью картины, показывающей вещества в пробирке и реакцию, я не могу предсказать, какой цвет будет иметь химическое соединение. Если бы изображение показывало вспенивание, а в конце красные кристаллы, то я мог бы сказать: «Да, так и должно быть» или «Нет, так не может быть». Но дело обстоит иначе, если я вижу картину механизма в движении; эта картина может сообщить мне, как действительно будет двигаться одна из частей. Однако если бы изображение представляло механизм, части которого состояли бы из очень мягкого материала (например, теста) и поэтому изгибались бы на картине различным образом, то эта картина, вероятно, опять-таки не смогла бы мне помочь сделать предсказание.

Можно ли сказать: понятие формируется таким образом, что оно прилажено к какому-то определенному предсказанию, то есть позволяет сделать его в наиболее простых терминах — ?

34. Философская проблема такова: как возможно говорить истину, усмиряя при этом столь сильные предрассудки?

Не все равно: считаю ли я что-либо обманом моих чувств или внешним событием, беру ли я этот предмет в качестве меры или наоборот, решаю ли я сделать важнейшими два критерия или только один.

35. Если вычисление выполнено правильно, результат должен быть таким. Ну, а должно ли так получаться всегда? Конечно. Обученные той или иной технике, мы приучены и к соответствующему способу рассмотрения, сидящему в нас так же прочно, как

итакая техника.

Вматематическом предложении речь не идет, по-видимому, ни о знаках, ни о людях, и потому оно не повествует ни о тех, ни о других.

Оно показывает те связи, которые мы считаем жесткими. Но в известной мере мы отворачиваемся от этих связей и смотрим на что-то другое. Мы как бы поворачиваемся к ним спиной. Или же: мы опираемся на них или основываемся на них.

Повторяю еще раз: мы рассматриваем математическое предложе-

131

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ние не как предложение, повествующее о знаках, а отсюда оно таковым и не является.

Мы признаем его тем, что поворачиваемся к нему спиной.

Как обстоит дело, например, с основными законами механики? Тот, кто их понимает, должен знать, на какой опыт они опираются. Иначе обстоит дело с предложениями чистой математики.

36. Предложение может описывать картину, а эта картина может быть разнообразно закреплена в нашем способе рассмотрения вещей, а стало быть, в нашем образе жизни и действия.

Не является ли доказательство слишком легковесным основанием для того, чтобы вовсе отказаться от поиска той или иной конструкции трисекции? Ты всего один или два раза прошел ряд знаков и на этом основании хочешь принять решение? Только потому, что увидел одно это преобразование, ты хочешь отказаться от поиска?

Эффект доказательства состоит, я полагаю, в том, что человек попадает во власть новых правил.

До сих пор он производил вычисления по такому-то правилу; и вот кто-то показывает ему доказательство того, что можно вычислять и иначе, и он переключается (на новую технику) — не потому, что говорит себе: так тоже получится, а потому, что воспринимает новую технику как идентичную старой, потому что он должен наделить ее таким же смыслом, потому что признает ее такой же — так же как признает зеленым этот цвет.

Это значит: понимание математических отношений играет почти такую же роль, что и понимание тождества. Можно даже сказать, что это более сложный тип тождества.

Можно сказать: причины, по которым он переключается на другую технику, того же типа, что и причины, которые заставляют его выполнять новое умножение так, как он его выполняет; признавать технику равноценной той, какую он применял в других умножениях.

37.Человек будет узником в комнате, если дверь не заперта, но открывается внутрь, а ему не приходит в голову потянуть ее на себя вместо того, чтобы толкать.

38.Стань белое черным, кое-кто из людей скажет: «В сущности, это все еще то же самое». Другие же, потемней цвет на один тон, заявят: «Он совершенно изменился».

39.Предложения «а =•а», <<р ζ> ρ», «Слово „Бисмарк" состоит из

132

III, 1942

7 букв», «Не существует красновато-зеленого цвета» равно убедительны и являются предложениями о сущности; что у них общего? Они очевидны каждое на свой манер и по-разному употребляются. Предпоследнее наиболее схоже с эмпирическим предложением. И понятно, что его можно назвать синтетическим предложением а priori.

Можно сказать: не сопоставив ряд чисел с рядом букв, не узнаешь, сколько букв в слове.

40. Фигура, выведенная из другой по некоему правилу (например, поворот темы).

Затем результат становится эквивалентом операции.

41.Когда я писал «доказательство должно быть обозримым», это означало: причинность не играет в доказательстве никакой роли. Или же: доказательство должно поддаваться репродуцированию путем простого копирования.

42.Можно, вероятно, сказать, что синтетический характер математических предложений наиболее явно проявляется в непредсказуемом появлении простых чисел.

Но, будучи синтетическими (в этом смысле), они тем не менее априорны. Я хочу сказать: можно утверждать, что такие предложения нельзя получить из соответствующих понятий путем некоторого рода анализа, но что они, наоборот, устанавливают с помощью синтеза то или иное понятие, подобно тому, как пропускание [излучения] сквозь призмы позволяет определить некое тело.

Распределение простых чисел было бы идеальным примером того, что можно назвать синтетическим а priori, ибо можно сказать, что с помощью анализа понятия простого числа его, во всяком случае, не найдешь.

43. То, что при продолжении деления 1 : 3 снова и снова должно получаться 3, столь же мало познается интуицией, как и то, что умножение 25 χ 25, если его повторять, снова и снова даст тот же результат.

44. Разве нельзя серьезно говорить об интуиции в математике? Пусть даже то, что постигается интуитивно, было бы не математической, а физической или психологической истиной. Так, я с большой достоверностью знаю, что, умножив 25 χ 25, каждый раз буду получать 625. Это значит, что я знаю психологический факт: это вычисление снова и снова будет казаться мне правильным; как знаю и то, что если десять раз подряд по памяти запишу

133

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ряд чисел от 1 до 20, то при сверке записи окажутся одинаковыми. — Является ли это фактом опыта? Конечно. И все же было бы трудно указать эксперименты, которые убедили бы меня в нем. Нечто такое можно назвать интуитивно познаваемым фактом опыта.

45. Ты хочешь сказать, что каждое новое доказательство тем или иным образом изменяет понятие доказательства?

Но по какому принципу что-то признается в качестве нового доказательства? Или же здесь, скорей всего, вообще не существует никакого «принципа».

46. Ну, а должен ли я сказать: «Мы убеждены в том, что снова и снова будет получаться тот же самый результат»? Нет, этого недостаточно. Мы убеждены, что всегда, будет получаться, вычисляться то же самое вычисление. А является ли это математическим убеждением? Нет — ведь, если бы не всегда вычислялось то же самое, отсюда не следовало бы, что вычисление дает то один результат, то другой.

Мы, конечно же, убеждены также в том, что при повторном вычислении мы повторим образ вычисления. —

47. Разве нельзя сказать: при умножении в любом случае получают не математический факт, а математическое предложение? Ведь то, что получают, не является математическим фактом, а стало быть это, — математическое предложение. Ведь математическое предложение — это определение понятия, вытекающего из открытия.

Ты получаешь новую фигуру. Теперь ты можешь, например, запомнить или скопировать ее.

Получена, сконструирована новая форма. Используют же ее для того, чтобы дать вместе со старым новое понятие.

Понятие изменяют так, чтобы это должно было получиться.

134

111,1942

Я открываю не результат, а тот путь, каким он достигается. Причем эмпирическим фактом является не то, что этот путь гдето начинается и где-то кончается, а то, что этим или каким-то другим путем я дошел до этого результата.

48. А разве нельзя сказать, что правила ведут по этому пути, даже если никто по нему не идет?

Так как именно это и хочется сказать, то перед нами здесь математическая машина, движимая самими правилами, послушная только математическим, а не физическим законам.

Я хочу сказать: функционирование математической машины — лишь картина действия машины.

Определенное правило не работает, ибо то, что всегда происходит по данному правилу, есть некое истолкование этого правила.

49. Предположим, что на рисунке изображены стадии движения.

Это помогает мне сформулировать предложение, которое я как бы считываю с этого изображения. Предложение содержит слово «приблизительно» и представляет собой предложение геометрии.

Странно, что я должен уметь считывать предложение с изображения.

Впредложении же не идет речь об изображении, которое я вижу.

Внем не говорится, что на этом изображении можно видеть тото. Но в нем не говорится и о том, что будет происходить с реальным механизмом, хотя это и подразумевается.

Аможнобыло бы изобразить движение механизма и иначе, притом, что части механизма не изменяются. То есть не вынужден ли я при этих условиях принять в качестве изображения движения именно это?

Представим себе чертеж фаз работы механизма, выполненный штрихами разного цвета. Пусть штрихи будут частично черные на белом фоне, частично белые на черном фоне. Представь себе чертежи, выполненные таким образом в Евклидовой системе; они потеряют весь свой вид.

135

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

50. Перевернутое слово имеет новое обличье.

Что, если говорят: перевернув последовательность 12 3, узнаешь, что, перевернутая, она даст 3 2 1? Притом узнаешь не свойство этих чернильных штрихов, а последовательность форм. Узнаешь- формальноесвойствоформ. Предложение, выражающее это формальное свойство, доказывается опытом, демонстрирующим возникновение одной формы из другой именно таким образом.

Ну, а получает ли при этом тот, кто это узнает, два впечатления? Одно от того, что последовательность переворачивается, другое от того, что получается 3 2 1? А разве у него не могло бы быть впечатление, что 12 3 переворачивается, и все же отсутствовать впечатление, что получается 3 2 1? Пожалуй, скажут: «Такое возможно лишь в силу странной иллюзии». —

В самом деле, нельзя сказать, что это формальное предложение мы узнаем из опыта, — потому что таким опытом его называют лишь в том случае, когда этот процесс приводит к этому результату. Опыт, который имеется в виду, уже состоит из этого процесса с этим результатом.

Поэтому он больше чем опыт: это — ведение некоего образца. Может ли ряд букв быть дважды перевернутым?

Например, один раз, акустически, другой — оптически. Предположим, я объясняю кому-нибудь, что значит переворачивание слова на бумаге, что носит такое название. И тут выясняется, что он имеет в виду акустическое переворачивание, то есть что-то, что он хотел бы так назвать и что, однако, не совсем совпадает с переворачиванием написанного. Так что можно сказать: он слышит это как слово-перевертыш. Как если бы при переворачивании слово искажалось. А это могло бы получаться, скажем, тогда, когда бы слово и его перевертыш выговаривались бегло, в противоположность тому случаю, когда их выговаривают по буквам. Или же перевертыш мог бы казаться другим в том случае, если бы слово прочитывалось слева направо и справа налево за один прием.

Вполне возможно, что точное, зеркальное отображение некоего профиля, увиденное сразу же после него самого, мы никогда бы не сочли тем же самым профилем, только перевернутым в другую сторону; для того же, чтобы он производил впечатление точного обратного изображения, надо было бы несколько изменить профиль в размерах.

Я ведь хочу сказать, что неправомерно говорить: хотя и можно сомневаться, например, в том, что какое-то длинное слово пере-

136