Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

Тесно связал с разработанными им идеями логического анализа языка. Отсюда, из логического анализа оснований математики, ведет свое начало столь характерное для XX в, направление исследований, как анализ языка науки. У истоков современного логического исследования языка стояли ФРЕГЕ И РАС СЕЛ. Именно они поставили те серьезные, животрепещущие вопросы, на решение которых в последующие десятилетия (и по сей день) направлено так много усилий логиков, лингвистов, философов.

Поиску выхода из тупиковой для математики ситуации РАССЕЛ отдал в общей сложности около двадцати лет напряженной .работы, увенчавшейся созданием — в соавторстве с А, УАЙТХЕДОМ — капитального трехтомного исследования f*rincipia mathematicü (Основания математики, сокр. РМ) 31. В фокусе внимания авторов этого капитального труда оказались логические затруднения математики и логики, что было весьма актуально в связи с обнаруже-

нием парадоксов в логико-математической системе ФРЕГЕ. Исследование под-
твердило предположение ФРЕГЕ О ТОМ,ЧТО причины парадоксов и,	стало
быть, смысловых сбоев мышления следует искать в логике, способах	упот-

ребления языка. Анализ показал, что самой общей причиной парадоксов является определенного рода «порочный круг», в который нас завлекают неправильно образованные всеобщности («множество всех множеств» и др.). некорректное обращение с универсалиями (общими понятиями) в качестве предикатов. Для разрешения трудностей были использованы все достижения логического анализа — и те, автором которых был ФРЕГЕ, и новые, принадлежавшие РАССЕЛУ. Новым шагом рАССЕла прежде всего явилась его теория описаний, разграничившая имена в собственном смысле слова и описания предметов по тем или иным признакам. Другим его достижением стала знаменитая теория логических типов. В ней йредусмотрено строгое различение символов (объектов) разных логических уровней: индивидуумы, классы, классы классов и т. д. Им соответствует градация предикатов и отношений (предикаты индивидов, предикаты классов, предикаты классов классов и т. д.). Иначе говоря, выход из логических парадоксов был найден в четком разделении логических типов (или категорий) и установлении запретов на такие подстановки аргументов, которые ведут к бессмысленности функций.

Авторы РМ стремились осуществить замысел ФРЕГЕ О сведении чистой математики к логике, наведи более строгий порядок в самой логике. То есть это была еще одна грандиозная попытка взять «крепость» математики, все-таки, логическим «штурмом». И дело, казалось бы, увенчалось успехом. Логические противоречия удалось устранить. И. понятно, что логика РлссЕла и концепция РМ воспринимались как очень важный и убедительный научный результат. Логические идеи РлссЕла и мысли ФРЕГЕ, несшие в себе и немалый философский «заряд», вдохновили ВИТГЕНШТЕЙНЗ на создание целостной и изящной концепции Логикофилософского трактата, которая явилась

XIX

Μ. С. Козлова

своеобразным переводом на философский язык новых идей логического анализа, легших в основу РМ.

Однако в начале 1930-х годов свои известны» теоремы сформулировал КУРТ ГЕДЕЛЬ, И ПОДударом серьезной критики теперь уже оказывается система РМ. Отсюда, правда, не следовало, что онавсецело ошибочна и бесполезна, однако стало ясно: логицизм не дает радикального выходя из «кризиса в математике», чтосвязывавшиеся с ним надежды на «логический рай» тщетны.

Другой школой обоснования математики, школой отчасти вышедший из РМ,

стал формализм.	Его принципы были разработаны немецким математиком и
логиком ДАВИДОМ	ГИЛЬБЕРТОМ (1862-1943) 32 в 1922-39 годах во «спасение»

классической математики от антиномий. Начальный вариант программы формализма былизложен ГИЛЬБЕРТОМ В Основал: теоретической логики (в соавторстве с В. АККЕРМАНОМ, 1928). Вообще подформализмом понимается, как известно, предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием. Формализм, в логике и математике отталкивался от представления, что чистая математика есть «логический синтаксис» — наука о формальных (ненаделенных смыслом) структурах символов. Одной из своих целей школа ставила доказательство того, что манипуляции символами по строгим правилам не дают противоречий, чтовесьма сближало ее с логицизмом. Вначале концепция формализма была ещево многом наивной. Позднее ГИЛЬБЕРТ предложил значительно более продуманный и обширный план обоснования математики путем, ее полной формализации 33. Решение задач обоснования логики и математики он связал теперь с метаматематикой (специальной теорией доказательства), позволяющей придать обеим дисциплинам вид исчислений. Для этого, по замыслу ГИЛЬБЕРТН, метаязык — длядоказательства непротиворечивости выбранной системы аксиом, теории множеств — должен включать в себя лишь финитные (конечные) средства выражения и дедукции, притом средства абсолютно безупречные по ясности и убедительности. Иначе говоря, непротиворечивость, согласно этому замыслу, должна достигаться ценой отказа от каких бы то нибыло намеков на понятие актуальной бесконечности, «повинное», как выяснилось, в возникновении антиномий. Гиль

БЕРТОМ и его школой (П. БЕРНАЙС, В. АККЕРМАН, Г. ГЕНЦЕН и др.) был получен

ряд важных результатов в разработке проблем теории доказательства, полноты, непротиворечивости аксиоматики и др.

Однако формализм, столкнулся с теми же серьезными трудностямии, что и логицизм. И этонеудивительно, поскольку программы эти во многом близки: в обеих возлагались большие надежды на строго аксиоматическое построение основ математики (идеал логической строгости, уходящий корнями еще в античность) и полную формализацию знания (его выражение в искусственной символике и подчинение всех преобразований знаковых выражений четко выявленным правилам). Сконца 1920-х всеявственнее обнаруживает-

XX

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ МАТЕМАТИКИ

ся кризис обеих программ. Своей кульминации он достиг после публикации известной статьи К. ГЕДЕЛЯ «О формально неразрешимых предложениях Piincipia mathernatica и родственных систем». КУРТ ГЕДЕЛЬ (1906-1978) — австрийский логик и математик, с 1940 года живший в Америке, известен своими трудами по математической логике и теории множеств. Его важнейший результат, полученный в 1931 году и изложенный в названной работе,— доказательство принципиальной неполноты достаточно богатых фор)- мальных систем (в том числе арифметики натуральных чисел и аксиоматической теории множеств). ГЕДЕЛЬ показал, что в таких системах имеются истинные предложения, которые в их рамках не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. Иначе говоря, результаты ГЕДЕЛЯ опровергали центральную предпосылку и логицизма, и формализма, допускавшую, что для каждой отрасли математики может быть указана совокупность аксиом, достаточных для выведения всех остальных положений. ГЕДЕЛЬ же с бесспорностью доказал, что аксиоматический метод имеет внутренние ограничения. С философской точки зрения, теорема ГЕДЕЛЯ О неполноте предполагала принципиальную невозможность полной формализации какого бы то ни было содержательного раздела научного знания.

ГЕДЕлевскал работа была для своего времени чрезвычайным научным событием, мимо которого невозможно было пройти. Идеи логицизма, подкрепленные успехом РМ, владели умами многих логиков, математиков, философов науки в течение трех десятилетий, и неоспоримые открытия ГЕДЕЛЯ не могли не вызвать потрясения. Правда, революционное (особенно с философской точки зрения) значение ГЕДЕлевской работы было понято не сразу. Но совершенно очевидно, что она была в высшей степени причастна к подрыву слепой веры в аксиоматический метод и формализацию. Из работы ГЕДЕЛЯ следовало по крайней мере два вывода: 1) что для большей части математики невозможна окончательная аксиоматизация, 2) что для многих важных отраслей математики не существует бесспорного доказательства их внутренней непротиворечивости. Понятно, что результаты ГЕДЕЛЯ ЯВИЛИСЬ кульминационной точкой формалистских дискуссий. И, хотя эти результаты убеждали в том, что цель формализма иллюзорна, авторы программы сначала не сдавались. В первом томе своей книги (1934) ГИЛЬБЕРТ ИБЕРНАЙС обещали преодолеть трудности, порожденные теоремой ГЕДЕЛЯ, И разъяснить это во втором томе. Однако время шло, и все яснее осознавалась иллюзорность надежд на строго логическое обоснование математики, каким оно мыслилось в программах и логицизма и формализма. Но, с другой стороны, работа ГЕДЕЛЯ утверждала, что математические теоремы, недоступные строгой аксиоматизации, могут быть тем не менее установлены менее формальным математическим рассуждением. Этот вывод имел серьезный философский смысл и предполагал далеко идущие следствия — отказ от многих иллюзий в понимании

XXI

Μ. С. Козлова

природы математики, формирование более реалистичной концепции математического знания.

Сторонники философского направления в математике и логике, именуемого интуиционизмом, подошли к задаче обоснования математики менее ортодоксально, чем теоретики логицизма и формализма. Эта программа, основателем которой был голландский математик Л. БРАУЭР (1881 —1966), а его последователями — Г. ВЕЙЛЬ, А. РЕЙТИНГ И др. — ориентировалась на исследование умственных математических построений. Они отрицали базисный характер логики по отношению к математике, а последним основанием математики и логики признавали интуитивную убедительность. Постулатом здесь стала мысль о том, что возможность «построения» бесконечного числового ряда есть «базисная интуиция^ человеческого сознания. В основу своего подхода к математике интуиционизм кладет понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математических объектов как принципиальной возможности их построения. При этом была решительно отвергнута идея ак туальной бесконечности 34, одна из основных в классической математике и логике. Интуиционизм возник на рубеже XIX—XX вв. как реакция на теорию множеств Г. Клитора, в которой идея актуальной бесконечности нашла наиболее полное выражение. Сформировавшийся в обстановке кризиса оснований математики, интуиционизм подверг острой критике классическую математику, что усугубило кризис и способствовало широкой постановке проблемы обоснования и логики. В программе интуиционизма акцентировалась не столько идеальная («божественная»), сколько человечески-земная, социальная природа всякого, в том числе и математического познания. Этот более трезвый и реалистичный, по сравнению с уже рассмотренными точками зрения, взгляд приняли многие математики. С 1904 года БРАУЭР последовательно проводил критику так называемых чистых математических доказательств существования, опирающихся на логический принцип исключенного третьего. Это в конечном счете и положило начало математическому интуиционизму как целому направлению в обоснованиях математики. Но проведенный БРАУЭРОМ анализ существования оказался ценным и независимо от философии интуиционизма, — с точки зрения конструктивного построения тех объектов, существование которых доказывается. Идеи БРАУЭРа нашли реальное осуществление в логике конструктивного решения математических проблем (это было показано А. Н. КОЛМОГОРОВЫМ).

Пожалуй, наиболее жизнеспособным и творческим, учитывающим сильные моменты разных точек зрения, оказалось математическое лшровидение, получившее название конструктивного и приведшее к созданию конструктивной математики и логики. Оно связано с именами А. Н. Колмогорова. А. А. МАРКОВЭ., С. Клини и др. В этом направлении основной задачей математики признается исследование конструктивных процессов и конструктив-

XXII

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

ных объектов. По ряду позиций конструктивное направление близко интуиционистскому, хотя исходные принципы того и другого значительно расходятся. И там и тут отвергаются принцип исключенного третьего и закон двойного отрицания. Оба закона считаются неприемлемыми с конструктивной точки зрения. Для обеих позиций характерна финитная установка, то есть такой подход к основаниям логики и математики, при котором их сфера ограничивается конструктивными объектами и такими рассуждениями о них, в которых не присутствует идея актуальной бесконечности. На основе таких «философем» возникла конструктивная математика, представляющая собой, по определению А. А. МАРКОВа, абстрактную науку о конструктивных процессах, о человеческой способности осуществлять такие процессы, а также о результатах таких процессов — конструктивных объектах 35. в конструктивной математике не применяется абстракция актуальной бесконечности, характерная для теоретико-множественной математики и связанная с рассмотрением никогда не завершаемых процессов как бесконечно продолженных и тем самым как бы завершенных. Существование объекта в конструктивной математике подразумевает, что построение такого объекта потенциально осуществимо, то есть, что человек владеет способом его построения. Систематически применяются две абстракции — абстракция потенциальной осуществимости и абстракция отождествления, первая — когда отвлекаются от практических ограничений конструктивных возможностей в пространстве, времени, материале, вторая — когда говорят о двух, в том или ином смысле одинаковых объектах как об одном и том же объекте.

«Начало начал». Проблема непротиворечивости.

Наиболее остро, как уже говорилось, кризис оснований математики проявился в обнаружении противоречий. Это вызвало буквально психологический шок, повергло в отчаяние крупнейших исследователей оснований математики Клитора, ДЕДЕкинда, ФРЕГЕ И др. Состояние растерянности оказалось затяжным. Даже много лет спустя после РАССЕЛОВСКОЙ «находки» Г. ВЕЙЛЬ Сгоречью отмечал: «Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах^ (логики и) математики. Как все и вся в мире сегодня, мы переживаем „кризис". Он продолжается почти пятьдесят лет. На первый взгляд, он не мешает нашей ежедневной работе; однако я могу признаться, что на самом деле он оказал сильное влияние на мою математическую деятельность, он направлял мои интересы в область, казавшуюся мне относительно „безопасной", и постоянно подрывал во мне энтузиазм и решимость, необходимые для всякой исследовательской работы» 36.

Причины такой растерянности коренились в давних и прочно сложившихся

XXIII

Μ. С. Козлова

философских представлениях о канонах научного знания вообще и математики в особенности. Дело в том, что в европейской традиции в течение многих веков складывалось и прочно утвердилось представление о том, что добротное знание предполагает последовательность обоснований, в пределе завершаемых неким безусловным «основанием». Притом непреложной нормой любого корректного рассуждения, а тем более систем логически упорядоченных теоретических выкладок, издавна считалась непротиворечивость. «Стержнем» теоретической мысли с самых ранних ее шагов стал принцип противоречия. Известно, например, что еще элейские философы (ПАРМЕНИД, ЗЕНОН) доказывали то или иное утверждение путем отрицания предложения, обратного утверждению. Иначе говоря, они пользовались косвенными доказательствами («от противного»), опираясь на непротиворечивость утверждений как критерий истинности. 37 По убеждению АРИСТОТЕЛЯ, принцип (или закон) противоречия — самое достоверное из начал, которым должен владеть каждый постигающий какой-либо предмет. Другие начала — аксиомы и особенно постулаты, — он характеризовал как гипотезы, принцип же противоречия — как «начало всех других аксиом», то есть начало начал, в отношении которого невозможно ошибиться. «...Такое начало, — по АРИСТОТЕЛЮ, — не гипотеза», это — как бы «точка опоры всякого знания»: ведь «все, кто дает доказательство, возводят (его) к этому положению как к последнему». 38 Проблема противоречий и непротиворечивости, естественно, заняла важное

место в размышлениях ВитгЕнштЕйна на темы оснований математики. В период работы над Трактатом его позиции в данном вопросе, похоже, были близки РАССЕЛОВСКИМ. То есть, противоречия содержательного характера традиционно воспринимались как логические аномалии рассуждения, а их предотвращение — как важнейшая задача логики. Это выражено, в частности, в известной максиме ВитгЕнштЕйна: «Логика должна заботиться о себе. Должны быть выработаны строгие логические правила, исключающие бессмыслицу» 39, в том числе, конечно же, и бессмыслицу в наиболее явной ее форме — противоречия. Правда, ВИТГЕНШТЕЙН, МНОГО размышлявший над идеей логических типов, пришел к выводу: четкое разграничение логических категорий способен оптимально обеспечить сам язык. Все дело в том, чтобы разным логическим элементам рассуждения соответствовали разного рода сим,волы, которые никак не спутаешь. Такой логически «прозрачный» язык заведомо предотвращает, по мысли ВитгЕнштЕйна, возникновение саморефлексивных выражений типа «класс всех классов» и других, приводящих к парадоксам. 40 Сохранив общий замысел учителя о разграничении логических типов, ученик предлагает радикально иную его реализацию. Еще в 1912 году он писал РАССЕЛУ: «...теория типов есть, по-моему, теория правильного символизма, разные типы отношения знаков к вещам должны воплотиться в са-

XXIV

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙМАТЕМАТИКИ

мом принципе построения языка». Он разъяснял также, что разрабатываемые им принципы символизма снимают надобность в теории логических типов. А в Трактате резюмировал: «...В логике... сам язык препятствует любой логической ошибке»; «мы не в состоянии придать знаку неправильный смысл». 41

Противоречию (как и тавтологии) в Трактате отведено определенное место в логической символике, сопоставимое с местом «О» в символике арифметики. Они мыслятся как неотъемлемая часть аналитического аппарата логики, как «предельные» формальные регулятивы, задающие границы осмысленных повествований и рассуждений, осуществляемых с помощью высказываний. Сами же они по сути —-•не-предложения и с информативной точки зрения бессмысленны — ничего не говорят о мире. «Тавтология и противоречие — не картины действительности. Они не изображают какие-то возможные ситуации. Ибо первая допускает любую из возможных ситуаций, второе же —- не допускает ни одной». 42 Позднее, в 1930-40-е годы точка зрения ВитгЕнштЕйна на противоречия ме-

няется. От логицизма он движется в направлении конструктивизма, воспринявшего некоторые представления интуиционизма, 43. По-видимому, немалую роль в смене ориентации сыграли теоремы ГЕДЕЛЯ, сформулированные в начале 1930-х годов и ставившие под удар концепцию логицизма и по сути близкого к нему формализма.

Взгляд позднего ВитгЕнштЕйна на проблему противоречий своеобразен и затрагивает не столько специально логические или математические, сколько широкие философские аспекты проблемы. Одна из теорем ГЕДЕЛЯ выявляла невозможность строгого доказательства непротиворечивости логико -матема- тических систем типа РМ: Отсюда следовало, что надежные гарантии от противоречий невозможны, и что, стало быть, владевшее умами математиков представление об исключительной логической строгости, безупречности математического знания безосновательно. Теоремы ГЕДЕЛЯ как бы вновь возвращали, притом, в еще более усугубленном варианте то чувство неуверенности, потери твердой почвы под ногами, какое владело математиками после открытия парадоксов и на время, казалось, утихло в результате «врачевания»

математики, предпринятого УАЙТХЕДОМ И РАССЕЛОМ.

В своих заметках по философии математики ВИТГЕНШТЕЙН неединожды возвращается к проблеме противоречий. Из сопоставления этих заметок вырисовывается примерно следующая картина. Никто не может дать гарантий, категорически исключить возможность возникновения противоречий в той или иной математической системе. Ведь парадокс РлссЕла был обнаружен в системе арифметики ФРЕГЕ, казалось бы отвечавшей самым строгим логическим канонам. Иначе говоря, вырисовывалась следующая картина: действуя согласно четко сформулированным и сколь угодно строгим правилам, все же

XXV

Μ. С. Козлова

можно прийти к противоречию. Происходит это в том «пункте» логического следования, где некое исчисление или система рассуждения выходит за границы своей применимости, распространяется на качественно иные задачи, не предусмотренные первоначально, уяснение которых требует уже иного понимания, в терминах иной «игры» (скажем в случае если понятие равенства переносится с рациональных чисел на иррациональные, операции, предусмотренные для конечных множеств, переносятся на бесконечные множества и т. д.). Это обстоятельство выбивало математиков из колеи. Их не покидало ощущение логического тупика, из которого не получалось найти спасительный выход. Неясно было и где его теперь искать.

ВИТГЕНШТЕЙН В СВОИХ изысканиях выхода из кризиса («показать мухе выход из мухоловки») по сути перевел проблему в плоскость философии. Углубляясь в область философских оснований математики, он приходит к необходимости пересмотра веками складывавшихся представлений о совершенно особом, неопровержимом, абсолютном характере математического знания. В самом деле, математические суждения издавна считались знанием особого рода, существенно отличающимся от эмпирических положений. В особую рубрику аналитических, необходимых, априорных истин математические положения выносились не только в рационалистических доктринах, но и в учениях эмпиризма. Так, например, Юм, выстроивший концепцию радикального эмпиризма, все же вынужден был оставить в «море» опыта инородный ему «островок» внеопытных истин логики и математики. Правда, Д. С. Милль в своей Системе логики предпринял попытку довести дело Юма до конца — включить в концепцию радикального эмпиризма также положения логики и математики. Так или иначе он эту задачу решил: логические законы получили у него психологическую, а базовые, генетически исходные положения математики — индуктивно-эмпирическую трактовку. Недаром арифметику Милля иногда характеризуют, как арифметику «камешков и орехов». Одна-

ко, эмпирико-психологическая трактовка математики и логики		в конце
XIX — начале XX	столетий вызвала острую критику, в которой приняли
участие такие умы,	как ГУССЕРЛЬ, ФРЕГЕ И др. Подчеркивалось, что	характер

математического знания совершенно иной, чем знания опытно-индуктивного, что математике присущи необходимость и строгая всеобщность, оперирование такими понятиями, которые не поддаются эмпирической трактовке. Разъяснялось, что при эмпирико-индуктивной трактовке не удается понять специфику математики, те ее аспекты и черты, которые подчеркивали, каж-

дый на свой лад, ЛЕЙБНИЦ И КАНТ.

Опыт осмысления оснований математики в XX веке привел ВитгЕнштЕйна к выводу: традиционная трактовка математики слишком идеализирована, математики и философы математики издавна исходят из ПЛАТОНОВСКОГО представления о вечном и неколебимом основании математики, о сверх-надеж-

XXVI

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

ном и неопровержимом характере математического знания. Общий вывод, к которому приходит ВИТГЕНШТЕЙН здесь тот же, что и в отношении логического идеала, которым руководствовался он сам в своем Трактате, а позже вынужден был признать: по идеально-скользкой поверхности льда невозможно ходить, если мы намерены ходить (!), то есть реально мыслить, нам необходимо трение! Вернемся же в более реальные условия — назад на грешную землю! Оценки математического идеала и призывы отнестись к математике более реалистично по сути повторяют сказанное в отношении логики.

Итак, кризис оснований математики, попытки подвести под математику ка- кой-то особо прочный фундамент, увеличить строгость, надежность и незыблемость ее положений, результатов... В 30-е годы ВИТГЕНШТЕЙН уже скептически оценивает эту затею, считая, что она порождена неверным философским образом математики как особого, абсолютно надежного знания, неподверженного логико-эпистемическим перипетиям, претерпеваемым время от времени в других, менее респектабельных разделах науки. «Если что-то ненадежно в самой математике, то и любое основание будет столь же ненадежным» (RFM). Но и внутриматематическими методами задачу обоснования тоже не решить: «Математические проблемы того, что называют основаниями математики, составляют для нас ее основание не в большей мере, чем нарисованная скала — основание нарисованной башни» (RFM, V, 13. Р. 171). То есть, по-видимому точка зрения ВитгЕнштЕйна такова: затея найти надежное основание математики нереальна. Проблема по сути носит философский характер, и ее решение упирается в отказ от завышенных, нереалистичных философских идеализации математического знания. То есть диагноз недуга— тот же, что уже не раз звучал в работах ВитгЕнштЕйна: мы сами создаем идеальные нормы, мерила, критерии добротности математического знания и оказываемся их пленниками, пытаемся осуществить идеал de facto и терпим неудачу. Выход один: понять, что такое идеал и что он, будучи некой регулятивной идеей — скажу так — не может быть осуществлен как таковой. Такое «врачевание» математики (вызволение ее из плена собственных сверх-идеалов) мыслится уже не как математическая задача и даже не задача логических экспертов познавательных процедур математики. Это — задача философская, находящаяся над или под математикой. Это не задача обеспечения математики искомым свехпрочным фундаментом. В данном случае это кропотливое осмысление и разъяснение того, надежды на такую степень надежности знания, на которую привыкли мысленно ориентироваться в математике, иллюзорны. Задача философии оказывается разрушительной (рушатся «воздушные замки»· иллюзий насчет математики) и врачующе-тера- певтической. В данном случае терапия напоминает психотерапию: предполагаемый эффект — успокоительный. Суть ВИТГЕНШТЕЙНОВСКИХ увещеваний такова: если в нормальном, добротном математическом исчислении (в качестве

XXVII

Μ. С. Козлова

примера фигурирует система ФРЕГЕ), выявлено противоречие (скажем, парадокс РлссЕла), то отсюда не следует, что исчисление неполноценно — и в той

части....

Это тем не менее может быть вполне респектабельное исчисление.

Все решает практика его применения. Ведь математика существует для решения реальных задач. Это не просто знаковая игра в прямом смысле этого слова. А для решения реальных задач возможна, скажем, «блокировка» противоречия, к тому же (такие случаи остроумно изобретает ВИТГЕНШТЕЙН) противоречие может вовсе не быть помехой, и к нему можно относиться вполне спокойно. Облик математики, каким он предстает у ВитгЕнштЕйна, способен удивить читателя, показаться весьма экстравагантным. Между тем, размышления философа весьма естественны, проникнуты здоровой иронией и живым, реалистичным взглядом на вещи. Вчитавшись, их начинаешь понимать, и во многом принимаешь.

М. С. Козлова

Примечания

1 Правда, определенное представление о философии у него уже было. Вспомним, что к этому времени он уже прочитал такую непростую работу, как труд А. Шопенгауэра Мир как воля и представление. Но В 1912 году Витгенштейн впервые интенсивно читает философскую литературу, читает самостоятельно и придирчиво, вынося порой суровые, максималистские оценки. По свидетельству его друга Д. Пинсента, он наивно удивлялся тому, что философы, к которым он, в неведении, относился с пиэтетом, порой оказывались, на его взгляд, «бестолковыми» и совершали «непростительные ошибки».

2Расселл видел в Витгенштейне (в первые годы их сотрудничества) характерные черты гения, включая и одержимость, способность целиком отдаться решению увлекшей его задачи. Сам Витгенштейн оценивал себя значительно скромнее, но все же признавал, что в период рождения концепции Трактата, творческое начало лидировало.

3Сам Рассел подчеркивал, что при всех изменениях интересов и разных влияниях, которые он испытывал, неизменно устойчивым оставалось его пристальное внимание к теории познания (см.: В. R u s s e l l . My philosophical development. L., 1959, р. И) .

4Ibidem, р. 36.

5 Позднее в работах Рассела будет весьма заметно влияние идей Милля иЮма.

6В это время, неудовлетворенный качеством преподавания, Рассел, по его собственному признанию, испытал временное охлаждение к главному предмету занятий и после третьего курса даже продал свои книги по математике, решив

больше никогда не заглядывать в них. Тем не менее в период завершения учебы и после он много читает по специальности, особенно по прикладной математике, считая, что с ее помощью можно многое сделать для человечества. Но все-таки

XXVIII