Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Если вычисления показывают тебе причинную связь, то ты не вычисляешь.

Математика нормативна.

41.Введение нового правила вывода как переход к новой языковой игре.

42.Видение поверхности как красной и синей, при невосприятии ее как красной. Может ли логика сказать нам, что мы должны воспринимать?

43.Поверхность с черточками, меняющими свой цвет.

44.Некто говорит, что видит красную и желтую звезду, не видя при этом чего-то желтого.

45.«Я придерживаюсь правила».

46.Математическое долженствование —— выражение отношения к технике вычисления. Выражение того факта, что математика формирует понятия.

47.Случай видения комплекса из А и В при том, что не видят А или В. Можно ли видеть А и В, лишь воспринимая Α ν В? И наоборот.

48.Опыт и вневременные предложения.

49.В каком случае можно говорить, что предложение арифметики дает нам некое понятие?

50.Не каждая языковая игра содержит в себе то, что мы готовы называть «понятием».

51.Доказательство и картина.

XXXIX

ПРЕДИСЛОВИЕ ИЗДАТЕЛЕЙ

Публикуемые здесь замечания по философии математики и логики были написаны в 1937-1944 годах. С тех пор ВИТГЕНШТЕЙН больше не возвращался к этой теме. Он много написал об этом в период с 1929 примерно по 1932 год, часть этих записей мы надеемся опубликовать позже, вместе с другими материалами тех лет.

Эти более ранние работы относятся к той стадии развития ВитгЕнштЕйна, которая была еще близка образу мыслей его Логико-философского трактата. Заметки же, представленные в этой книге, примыкают по стилю мыш-

ления к Философским исследованиям.

По-видимому, сначала ВИТГЕНШТЕЙН собирался включить свои мысли о математике и логике в Философские исследования. Первый из публикуемых здесь фрагментов (часть 1) фактически входил в первоначальный вариант рукописи Исследований. Он начинается двумя фрагментами, по сути совпадающими с §§ 189 и 190 Исследований.

Эта I часть — явно наиболее ранний из представленных здесь фрагментов. Он, должно быть, написан в 1937 году. Это единственная из частей данного собрания, существовавшая в машинописном виде, и, безусловно, самая отработанная из них всех. Последний раздел этой рукописи мы не включили в книгу; его содержание вошло в окончательную версию Исследований, 547—568. Фрагменты 122—130 в основном совпадают с §§ 193—197 Исследований, — но были сохранены из соображений связности текста.

К I части давались два приложения. Одно — о неожиданном в математике. Оно не включено в данную книгу. В другом обсуждается теорема ГЕДЕЛЯ О существовании в системе Principia Mathematica истинных, но недоказуемых предложений (Приложение I).

Должно быть, ВИТГЕНШТЕЙН намеревался также добавить приложение о теореме ГЕДЕЛЯ, — а также приложения о КАНТОРОВСКОЙ теории бесконечности и РАССЕЛОВСКОЙ логике — к планировавшемуся рассмотрению проблемы оснований математики в Философских исследованиях. Под заголовком «Дополнения» (вероятно, в начале 1938) он записал ряд соображений о проблемах, связанных с теорией множеств: о диагональном методе и разного рода толкованиях числа. Некоторые из этих «Дополнений» публикуются здесь вместе с подборкой из другой рукописи, написанной с апреля 1938 по январь 1939 (Приложение II).

ВИТГЕНШТЕЙНОВО разъяснение своей позиции в отношении РлссЕла, то есть об идее выводимости математики (арифметики) из логического исчисления, включено во вторую часть данного собрания. Эта часть относится к периоду с октября 1939 по апрель 1940. Ее рукопись была самой объемистой из всех, а, стало быть, наименее совершенной по стилю, да и по содержанию. Автор

XL

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

здесь вновь и вновь пытается прояснить свои мысли о природе математического доказательства, о том, что значит утверждать, что доказательство должно быть* очевидным, что оно демонстрирует нам некую картину, создает новое понятие, и тому подобное. Он стремится объяснить «неоднородность математики» и выявить связь между различными техниками вычисления. Вместе с тем он выступает против идеи «обоснования» математики, как в форме рлссЕловского логического исчисления, так и с помощью ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ концепции метаматематики. Обстоятельно обсуждается проблема противоречия и непротиворечивости доказательства.

Издатели пришли к единому мнению, что эта рукопись полна ценных идей, которые не встречаются где-то еще, в других работах ВитгшЕНШТЕйна. (Точка зрения, которую он здесь принимает, в чем-то совершенно отлична от его поздних мыслей.) С другой стороны, было также ясно, что рукопись нельзя было бы опубликовать без сокращения. Вот почему возникла необходимость отбора. Задача была очень трудной, и результаты не дали издателям чувства должного удовлетворения.

Осенью 1940 года ВИТГЕНШТЕЙН ВНОВЬ занимался философией математики, и записал ряд соображений о «следовании правилу», — это один из вопросов, к которому его мысли возвращались наиболее часто. Этих записей мы здесь не публикуем. Работа над темой была продолжена в мае 1941 и привела к изысканиям, значительная подборка из которых публикуется здесь как часть V.

Эта V часть писалась в разное время. Первая половина (1—16) была записана в основном в июне 1941. В ней идет речь об отношении между математическими и эмпирическими предложениями, между вычислением и экспериментом; дается новое понимание противоречия и непротиворечивости; и, наконец, обсуждается гЕДЕлевская проблема. Вторая половина относится к весне 1944. В ней главным образом рассматриваются понятия следования правилу, математического доказательства и логического вывода. Есть ряд точек соприкосновения, с одной стороны, с рукописями, того же времени (части III и IV), и с идеями Философских исследований, с другой. Некоторые из замечаний издатели в этом случае изъяли, поскольку они дословно вошли в Исследования. Обе половины этой V части записаны в одной и той же записной книжке, что, пожалуй, служит еще одним свидетельством того, что автор рассматривал их как одно целое.

Часть III взята из рукописи 1942. Часть IV из двух рукописей 1942 и 1943.

Вэтих частях многое носит характер предварительного изыскания ко второй половине V части, но в них содержится и кое-какой материал, который автор здесь не использовал.

ВIV части ВИТГЕНШТЕЙН обсуждает вопросы, относящиеся к БРАУЭРУ и интуиционизму: закон исключенного третьего и математическое существование; ДЕ ДЕКИНДОВО сечение, а также экстенсиональный и интенсиональный подходы к математике.

Хронологическое расположение материала приводит к тому, что один и тот же вопрос иногда рассматривается в разных местах. Скомпонуй свой материал в единую книгу сам ВИТГЕНШТЕЙН, ОН, пожалуй, избежал бы некоторых из этих повторов. Издатели же на попытку такой компоновки не отважились.

XLI

Предисловие издателей

Необходимо еще раз подчеркнуть, что здесь публикуются извлечения из более пространных рукописей. Возможно, позже представится желательным опубликовать то, что здесь полностью или частично опущено. Но предвосхищать подобное требование публикации более обширного материала, мы полагаем, не входило в наши задачи.

Издатели ответственны за нумерацию отобранных фрагментов, разбиение же на отдельные «замечания» с помощью пробелов между ними осуществлено самим ВИТГЕНШТЕЙНОМ. За редким исключением, мы не вмешивались в их порядок. Но кое-где, особенно в конце части III и IV, мы соединили вместе замечания на одну и ту же тему, находившиеся в разных местах рукописей.

Оглавление и индекс рассчитаны на то, чтобы помочь читателю в обозрении целого, и вместе с тем облегчить отыскание переходов. За предложенное в оглавлении тематическое разбиение материала ответственны исключительно издатели.

Г. X. фон Вригт Р. Рис Г. д. М. Энском

XLII

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Ι

Около 1937-1938

1. Мы пользуемся выражением «Последовательность переходов определяется по формуле...». Как оно используется? — Можно, пожалуй, сослаться на то, что люди обучены (натренированы) пользоваться формулой у = χ2 так, что, подставляя одно и'то же число вместо х, они всегда получают одно и то же число для у. Или же можно сказать: «Эти люди обучены так, что по заданию „+3" они все в одном и том же месте делают одинаковый переход». Мы могли бы выразить данную мысль следующим образом: «Задание „ + 3 " полностью определяет для этих людей каждый переход от одного числа к следующему». (В отличие от других людей, либо не знающих, что следует делать по такому заданию, либо реагирующих на него с полной уверенностью, но каждый — по-своему.)

С другой стороны, можно противопоставить друг другу формулы разного рода с присущим им различием видов употребления (разными видами обучения). В этом случае мы называем формулами особого рода те, что «определяют число у для данного значения х», а те, что «не определяют число у для данного значения х», — формулами иного рода, (у = χ2 + 1 было бы формулой первого рода, а у > χ2 -f 1, у = χ2 ±1, у = χ2 + ζ — формулами иного рода.) В таком случае предложение: «Формула ... определяет число у>> представляет собой высказывание о типе данной формулы — и потому предложение такого вида: «Записанная здесь формула определяет у>> — или предложение: «Перед нами формула, определяющая у>> — следует отличать от такого предложения, как «Формула у = χ2 определяет число у для любого заданного х». Тогда вопрос: «Определяется ли у записанной здесь формулой?» — будет равнозначен вопросу: «Принадлежит ли такая формула к первому или ко второму роду?»; но не ясно само по себе, для чего пригоден вопрос: «Является ли выражение у = χ2 формулой, он-

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ределяющей у для любого заданного х?» Этот вопрос можно задать школьнику, чтобы проверить, понимает ли он употребление выражения «определять»; или же он мог бы служить математическим заданием — установить, входит ли в правую часть формулы, скажем такой, как у = (χ2 + χ)2 — ζ(2χ2 + ζ), лишь одна переменная.

2. «Способ осмысления формулы определяет, какие действия должны совершаться при ее расчете». Но каков критерий того, каким способом осмысливается формула? Вероятно, таковым является тот способ, каким мы всегда пользуемся ею, тот способ, каким нас научили ею пользоваться.

Мы, например, говорим кому-то, кто пользуется неизвестным нам знаком: «Если под х!2 ты подразумеваешь х2, то получишь для у это значение, понимая же под этим Vx, получишь то». — Теперь задайся вопросом: каким образом под х!2 подразумевают либо то, либо другое?

Вот так и осмысление [формулы] способно заранее определять последовательность шагов.

3. Откуда я знаю, что при построении числового ряда +2 следует писать

«20004, 20006»,

а не

«20004,20008»?

— (Аналогичен вопрос: «Откуда я знаю, что этот цвет „красный"?»)

«Но ты же знаешь, например, что должен всегда писать одинаковую числовую последовательность в таких единицах: 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4 и т. д.». — Совершенно верно! Указанная проблема должна возникать уже и в этой последовательности чисел, и даже в такой: 2, 2, 2, 2 и т. д. — В самом деле, откуда я знаю, что после пятисотого «2» я должен писать »2», то есть что и в этом случае «2» будет «той самой цифрой»? А если я знаю это заранее, так в чем польза от такого знания впоследствии? Я имею в виду: откуда я узнаю, что делать с тем моим прежним знанием потом — при выполнении реального перехода?

(Если интуиция необходима для продолжения ряда +1, то она необходима и для продолжения ряда +0.)

«А не хочешь ли ты сказать, что выражение „+2" оставляет тебя в сомнении, что, к примеру, следует записывать после 20004?» —

Ι, 1937-1938

Нет, я отвечаю без колебаний: «20006». Но именно поэтому излишне полагать, что это было заведомо установлено. То, что при таком вопросе у меня не возникает сомнений, вовсе не означает, что ответ на него уже имелся заранее.

«Но я все же знаю и то, что, какое число мне ни предложи, я смогу дать следующее за ним безо всяких колебаний». — Разумеется, если этому не воспрепятствует моя смерть или множество иных происшествий. Но моя уверенность в том, что я смогу продолжить ряд, безусловно, очень важна.

4. «А в чем же тогда состоит характерная неумолимость математики?» — Разве не служит удачной иллюстрацией этого неумолимое следование за единицей двойки, за двойкой тройки и т. д.? — Но это означало бы: следовать в ряду натуральных чисел; ведь в другом ряду картина следования была бы иной. А что, если этот ряд вовсе не определяется такой последовательностью? — «Должно ли это также означать, что в равной мере будет правильным любой способ счета, что каждый сможет считать, как ему заблагорассудится?» — Пожалуй, случай, когда произносят одну за другой любые цифры в произвольном порядке, мы бы не назвали «счетом»; но дело здесь, конечно, не просто в наименовании. Ибо то, что мы называем счетом, — действительно важная часть нашей жизнедеятельности. Бесспорно, например, что счет и вычисления не просто пустое времяпрепровождение. Счет (а это означает такой-то счет) — технический прием, ежедневно применяемый в самых разных актах нашей жизни. Вот почему мы учимся считать так, как учимся: с бесконечными упражнениями, с нещадной точностью; потому-то мы неуклонно настаиваем, чтобы после слова «один» все произносили слово «два», после слова «два» — «три» и т. д. — «А тогда не оказывается ли этот счет просто неким употреблением; не получается ли, что такому ряду не соответствует никакая истина?» Истина состоит в том, чтобы этот счет был пригоден. — «То есть ты хочешь сказать, что „быть истинным" — значит быть употребимым (или полезным)?» — Нет, не это; а то, что о натуральном ряде чисел — так же как и о нашем языке — не скажешь, что он истинен, можно же сказать, что он применим, и прежде всего что он применяется.

5. «А разве не следует с логической необходимостью, что, прибавив один к одному, ты получишь два, а прибавив один к двум — три и т. д.; и разве эта неумолимость не того же рода, что и неумолимость логического вывода?» — Конечно! Того же самого. —

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

«А разве логическому выводу не соответствует некая истина? Разве не истинно, что из этого следует то?» — Предложение: «Истинно, что из этого следует то» просто означает: это следует из того. А как употребляется это высказывание? — Что бы случилось, сделай мы иной вывод — каким образом мы бы вступили в конфликт с истиной?

Насколько бы мы погрешили против истины, если бы наши линейки были сделаны из очень мягкой резины, а не из дерева или стали? — «Да мы бы не узнали истинных размеров стола». — Ты имеешь в виду: мы бы их не получили или, получив, не могли бы быть уверены в том, что это те оке размеры, что получаются с помощью твердой линейки. То есть тот, кто измерял бы размеры стола эластичной линейкой и заявлял, что длина стола — 1,8 м по нашим обычным меркам, был бы не прав; заяви же он, что длина стола равняется 1,8 м по его способу измерения, это было бы верно. — «Да это вообще не измерение!» — Оно похоже на наше измерение и при некоторых обстоятельствах способно служить «практическим целям». (Некий торговец мог бы использовать его для неодинакового обслуживания разных покупателей.)

Линейку, которая бы очень сильно удлинялась при небольшом нагревании, мы бы поэтому назвали неприменимой в обычных условиях. Но можно придумать обстоятельства, при которых именно это свойство линейки оказалось бы желательным. Вообразим, что расширение предметов воспринимается невооруженным глазом; и вот мы приписываем телам в комнатах с разной температурой те же самые размеры длины, если замеряем их линейкой, которая на наших глазах становится то длиннее, то короче.

Тогда можно сказать: то, что здесь называется «измерением», «длиной», «одинаковой длиной», — это не то, что мы обозначаем такими словами. Употребление этих слов отлично от нашего, но оно родственно ему; да и мы употребляем эти слова многообразными способами, 6. Необходимо уяснить, в чем, собственно, состоит умозаключе-

ние. Можно, например, сказать, что оно состоит в переходе от одного утверждения к другому. Но значит ли это, что умозаключение — нечто, имеющее место при переходе от одного утверждения к другому, следовательно, раньше, чем высказано другое, — или же что умозаключение состоит в возможности следования одного утверждения за другим, то есть, например, в возможности высказать его после того, как высказано первое? Введенные в з^блуж-

6