Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

Основными сферами деятельности РдссЕла были математика и логика. Самые продуктивные годы жизни были отданы исследованию логических оснований математики. Его наиболее серьезные и устойчивые философские интересы также были прежде всего связаны с философией математики и символической логики. На той же почве впоследствии окреп его более широкий интерес к теории познания вообще 3, Лишь в возрасте сорока лет, после почти двадцатилетней напряженной работы над математикой и логикой, РАССЕЛ обратился — так говорит он сам — к более легким философским проблемам.

Математика занимала важнейшее место в интеллектуальном развитии и творчестве РАССЕЛа. Он вспоминал, что в юности большую часть своего времени отдавал математике, и что она в огромной степени определила основные сюжеты и сам характер его философского мышления. В Автобиографии РАССЕЛ подчеркнул, какое сильное впечатление произвели на него в возрасте двенадцати лет Начала Эвклида, а позже факт открытия неэвклидовых геометрий. Математика представлялась ему наиболее важным и самым добротным видом знания. Он был убежден в ее исключительной роли в общем комплексе человеческой культуры. Со строгостью доказательностью и математического знания связывались надежды на общий интеллектуальный прогресс: «Я надеялся рано или поздно прийти к усовершенствованной математике, которая бы не оставляла никакого места сомнению, и, идя от математики, шаг за шагом расширять сферу достоверности на другие науки» 4. Неудивительно, что РАССЕЛ поступил на математический факультет в Кембридже (1890), где получил необходимую профессиональную подготовку.

Со студенческих лет живой интерес вызывала у РлссЕла и философия. До поступления на математический факультет он специально ею не занимался и из философских работ прочитал только Систему логики Д.С. Милля, написанную в духе радикального эмпиризма 5. Естественно, что для философских настроений раннего РлссЕла станет характерным сильное тяготение к традиционному британскому эмпиризму. Но на четвертом году обучения (1894) б будущий ученый отдается прежде незнакомой ему «экзотической» философии неогегельянства, воцарившейся в те годы в университетах Англии. На какоето время РАССЕЛ, ПОего собственным словам, погружается в фантастический мир философии немецкого идеализма, делается его приверженцем. Он изучает Лог ику БРЭДЛИ ИЛогику БозАНКЕта, работу БРЭДЛИ Видимость и реальность* испытывает большое влияние МАкТлггАРта. РАССЕЛ признавался, что его грубый эмпиризм не устоял перед философской изощренностью неогегельянства, и что он стал полукантианцем-полугегельянцем 7. Философские позиции тех лет во многом определили характер первых работ РАССЕЛЭ ПО философии математики.

В его диссертации (на звание члена Совета колледжа) — Основания геометрии Эвклида 8 значительное внимание было уделено действию эвклидо-

IX

Μ. С. Козлова

вой геометрии на клнтовскую трансцендентальную эстетику. РлссЕловская теория геометрии тех лет была кАНТианской, и ее результаты были опровергнуты ЭЙНШТЕЙНОМ. Впоследствии о своей первой книге по геометрии, а также о другой работе Отношение числа и количества (навеянной гегелевской диалектикой) сам РАССЕЛ отзывался резко отрицательно. Он самокритично отверг также свои размышления тех лет по физике: все написанное мной в 1896-1898 гг. по философии физики представляется мне бессмыслицей. При этом РАССЕЛ понимал, что крах его работ предопределили увлекшие его идеалистические философские спекуляции. В их бесплодности применительно к науке он убедился на собственном опыте. Глубоко разочарованный в своей прежней ориентации, он переходит к ее острой критике. Переломным в своей эволюции РАССЕЛ считал 1898 год. когда, по его словам, он вместе с Му РОМ поднял бунт против Кднта и ГЕГЕЛИ« В последующие два года, к рубежу столетий, РАССЕЛ приходит к основным идеям своей последующей философии и к новой логике.

Чувство освобождения от пут идеалистической спекуляции (уходящей корнями в платонизм), РАССЕЛ сравнивал с выходом из душного помещения на свежий воздух. Умудренный опытом, он вновь возвращается «на круги своя» — к настроениям эмпиризма и атомизма (элементаризма). Уже осознанное, выстраданное, принятие юмистско-позитивистских взглядов на природу познания РАССЕЛ считал решающим пунктом своего философского развития, «революцией», по сравнению с которой все последующие изменения позиций выступят лишь как «эволюция». Причем, мощное подкрепление (так ему представлялось) традиционной для Великобритании, но по-своему новой для него самого, философской платформы он обнаружил в идеях и методах успешно развивавшейся в это время математической логики.

К. моменту приезда ВитгЕнштЕйна в Кембридж РАССЕЛ уже находился в апогее творчества, его результаты в области оснований математики и новой логики были впечатляющими и владели умами специалистов. И неудивительно, что они по-настоящему увлекли ВитгенштЕйна. Трактат во многом — плод сотрудничества с РАССЕЛОМ, И, ХОТЯ ученик в целом проявил большую самостоятельность, в трактовке математики и логики их позиции были еще во многом

П.ШЗКИ { ) .

Дли понимания вопросов логики и философии математики, волновавших ВитгЕнштЕйна. необходимо также представлять себе, хотя бы в общих чертах, время и контекст того научного поиска, что вызвал их к жизни и придал им особый смысл. Существенно, что ВИТГЕНШТЕЙН ВКЛЮЧИЛСЯ В логическую проблематику века в «роковое время» ее небывалой актуальности. Важен был также долгий путь исканий, уже пройденный к тому времени творцами теоретической математики, повой логики и аналитической философии, безусловно, сыграл свою роль и выбор) наставников: освоив мысли ФРЕГЕИ

X

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

учение РАССЕЛЭ, ВИТГЕНШТЕЙН оказался в «точке роста» новых идей. Что же происходило в это время в математике? Почему стали остро актуальными проблемы логики? Отчего математические сюжеты так тесно переплелись с решением собственно философских задач? Чтобы обрисовать (напомнить читателю) проблемную ситуацию в математике тех лет, воспроизведем в общих чертах ее основные события и предысторию.

Из истории математики. Поиск оснований.

XIX век. Теоретизация математики. Математика XVII—XVIII столетий, в основном, разрабатывала методы решения различных задач естествознания. Главным из великих творений в области прикладной математики было изобретение анализа (или анализа бесконечно малых) — дифференциального и интегрального исчислений (Ньютон, ЛЕЙБНИЦ), открывших совершенно новые возможности для решения проблем механики и астрономии, а позднее и целого ряда других областей. К 80-м годам XVIII века анализ, который теперь называют классическим, уже стал зрелой наукой. Колоссальную работу по систематизации всех его разделов проделал ЭЙЛЕР (1707—1783), придав законченный вид и формальному аппарату дифференциального и интегрального исчислений и их приложениям к задачам астрономии, механики, гидродинамики, физики и других отраслей точных наук. Однако «увлеченные необыкновенной силой новых приемов, легкостью, экономичностью, простотой, с которой достигалось решение все новых и новых задач, математики XVIII в. не заботились о том, насколько логически обоснованны те приемы, которые они применяли» 1 0 . Перестройка математического знания из практи- чески-прикладного в теоретическое стала делом следующего века. Развитие математики на протяжении XIX столетия характеризуется стремлением к систематизации, к установлению единства в многообразии математических фактов и методов, на первый взгляд весьма далеких друг от друга, а также критическим уяснением и строгим обоснованием фундаментальных понятий. Эти тенденции достигают наиболее полного выражения в арифметизации математики и формировании теории множеств.

Под арифметизацией математики понимают «стремление свести все основные факты той или иной математической науки к числу в конечном счете натуральному» п. Начиная с Арифметических исследований (1801) Гдусса. крупнейшие математики XIX столетия активно разрабатывают теорию чисел

ипредпринимают настойчивые усилия положить ее в основу всей математики, и прежде всего анализа. Аппарат дифференциального и интегрального исчислений был удобным инструментом для расчета механических движений

ирешения многих других задач, но не отличался достаточной строгостью ни

XI

Μ.С. Коллова

вопределении терминов 1 2 . ни в доказательстве теорем. Наиболее уязвимой мастью анализа были его расплывчатые и разноречивые логические основания. Μ(угоды более точных определений и строгих доказательств разрабатываются в XIX веке, когда широким фронтом развертываются и все более углубляются исследования оснований математики.

На протяжении XIX в. анализ заметно меняет свой вид. Большие заслуги г. логической перестройке этой области математики, внесении ясности и порядка в ее понятия, принадлежат Коши. Взяв за исходное понятие» переменной величины, Коши определил другие основные понятия анализа через соотношение между постоянными и неременными величинами. Посредством понятия о «предельном переходе» в свою очередь определяется понятие бесконечно малой величины и далее вводятся другие понятия анализа. Перестройка анализа диктовалась потребностью более строгого обоснования, более четкой формулировки его основных понятий, стремлением освободить его от геометрических и механических представлений, построить анализ независимо от других математических дисциплин. Все большую силу обретает убеждение, что «всякая, хотя бы и очень отдаленная теорема алгебры или высшего анализа может быть сформулирована как теорема о натуральных числах» 13. И математика XIX в. проделала этот сложный пугь сведения всего содержания анализа

кучению о натуральном числе ] 1 . Кульминационным пунктом этого течения математической мысли было построение теории действительных чисел (БОЛЬЦА

но, ВЕЙЕРШТРАСС, ДЕДЕКИНД, КАНТОР) 1Й . Понятие числа постепенно осознается

как фундаментальное понятие всей математики, и в частности — геометрии. Ввиду методологической установки на арифметизацию математики особое значение приобрела задача обоснования арифметики. Важнейшую роль в ее решении сыграло становление теоретико-множественных представлений. Построение теории множеств, основным творцом которой был Г. КАНТОР, явилось важным итогом развития математики XIX столетия. К ее созданию вели различные течения математической мысли, но наиболее важным источником теоретико-множественных идей и методов быпи исследования по основаниям математики, главным образом исследования по обоснованию классического анализа и теории функций. Во второй половине XIX в. понятия анализа и теории функций постепенно переводятся на язык теории множеств. Основным понятием для теории множеств является понятие актуально бесконечного множества. Под теоретико-множественным методом в математике понимается сведение той или иной математической проблемы к указанию соответствующего бесконечного множества или нескольких таких множеств, к изучению свойств этих множеств и последующему решению рассматриваемой проблемы уже на основе изученных свойств указанных множеств -16. Идеи теории множеств тесно переплетены с понятиями и методами теории чисел. ΙΪ неудивительно, что с созданием теории множеств все отчетливее реализу-

XII

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

ется теоретико-множественный подход к обоснованию арифметики. Важную роль в теоретико-множественном обосновании арифметики сыграл ДЕДЕКИНД. Его работа Что такое числа и для чего они служат? посвящена обоснованию понятия натурального числа средствами теории множеств.

Создание теории множеств означало революцию в истории математики. А. ФРЕНКЕЛЬ расценивает завоевание актуальной бесконечности методами теории множеств как расширение нашего научного горизонта, не меньшее по значению, чем КОПЕРНИКОВИ. система в астрономии и теории относительности или квантовая теория в физике. Теория множеств дала универсальный новый метод, ставший основой для последующего развития математики в целом.

Сближение .математики с логикой. Становление математической логики.

Возрас-тание абстрактности мышления и повышенные требования к строгости постепенно сближали математику с такой дисциплиной, как логика. Известно, что в математике раньше, чем в других науках, был разработан и успешно применен искусственный символический язык, позволивший выражать математическое рассуждение в виде формального преобразования некоторых исходных формул по определенным правилам. В первой половине XIX в. было осознано, прежде всего в алгебре, что один и тот же формальный язык можно относить к разным математическим объектам. Это наводило на мысль о еще более широкой применимости буквенного языка к объектам любого рода. «С развитием алгебры,— отмечает БУРБАКИ,— не могла не поразить аналогия между правилами формальной логики и правилами алгебры, применяемыми в том и другом случаях к неконкретизируемым далее объектам (предложениям или числам)» 1 7 . И с середины XIX в., когда эта аналогия была осознана, начала создаваться математическая, или символическая, логика, разработка которой связана с именами БУЛЯ, МоРГАна, ДжЕвонса, Пирса, ПЕАНО, ШРЕДЕРа, ПОРЕЦКОГО, ФРЕГЕ Иряда других математиков.

Известно, что традиционной логической теории не хватало формальной строгости. К тому же ее формулы выражали лишь субъектно-предикатные суждения, оставляя без анализа отношения. Развивающаяся наука нового времени не скрывает неудовлетворенности АРИстотЕлевской логикой. Другие же логические доктрины были мало известны. Но вот с середины XIX в., с внедрением математических методов, наступает ренессанс формальной логики. По словам рАссЕла, с 1850 г. в формальной логике в каждое десятилетие достигается больше, чем за весь период от АРИСТОТЕЛЯ ДО ЛЕЙБНИЦД 18. Математическая логика, общие идеи которой были высказаны еще ЛЕйвницем, отличалась от традиционной аристотелевской логики, доминировавшей в западном мышлении около 2000 лет, более последовательным применением искусственной

XIII

Μ. С. Козлова

символики (не только для обозначения логических переменных, как у АРИСТО ТЕЛЯ, но и логических постоянных) и повсеместным применением метода формализации.

Первый этап становления символической логики называют периодом алгебры логики. Введя в логику вместо обычного языка систему символов, ирланд-

ский математик Дж. БУЛЬ И его последователи Э. ШРЕДЕР И П. ПОРЕЦКИЙ за-

менили суждения уравнениями, а процесс дедуктивного умозаключения — решением логических равенств. Введя символику, в которой все переменные обозначали классы, БУЛЬ построил строго доказуемую систему формул, применимую к классам и их отношениям. Впоследствии через обобщения этой системы была создана общая логическая теория отношений (МОРГАН, ПИРС И др.). Логические связи между суждениями и понятиями были выражены в математических формулах, а получение логических следствий предстало как формальное преобразование исходных формул по фиксированным правилам. Такое применение математического формализма позволило существенно раздвинуть рамки традиционной формальной логики.

Исследования по математической логике на первых порах производились вне связи с основными направлениями чисто математических исследований. Многие математики о них, как правило, просто не знали или же не осознавали их значения. Между тем потребность в применении логики и расширении ее средств была столь настоятельной, что математики вынуждены были прийти к логике еще с одной стороны — по линии теории множеств. В Лекциях по алгебре логики ШрЕДЕРа (1890, 1895) теория множеств и алгебра логики во многом слились в нечто единое. Этот огромный труд подытожил развитие математической логики XIX столетия и открыл широкие горизонты для исследований XX в.

Сближению математической теории множеств с логикой способствовала невиданная еще в истории математики степень абстрактности новой дисциплины. Уже у Клнтора многие понятия относились к всевозможным объектам мышления (понятия множества, подмножества, взаимооднозначного соответствия, мощности и т. д.) и вследствие этого ставились в один ряд с общелогическими понятиями. У ДЕДЕКинда операции над множествами и законы этих операций превратились в формально-логические операции и их законы. Этот процесс сближения теории множеств с логикой углублялся и далее.

Сведение математики к арифметике, обоснование последней с помощью абстрактной теории множеств, понятия которой ранвозначны по своей общности с понятиями логики, означало выход к логическому обоснованию математики. Этому немало способствовали успехи самой логики. Выдающееся место в ее развитии принадлежит Основаниям арифметики и Основным законам арифметики, полученным при помощи исчисления понятий Г. ФРЕГЕ, а также ряду работ ПЕАНО, Пирса и других математических логиков. Новая ло

XIV

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙМАТЕМАТИКИ

гика привлекает все большее внимание математиков, столкнувшихся в ходе исследований по основаниям математики с рядом собственно логических проблем. Это — задача логического обоснования числа как фундаментального понятия всей математики, вопросы непротиворечивости, независимости и полноты аксиоматики и др.

Использование идей математической логики для систематизации и обоснования математики знаменовало начало второго периода развития символической логики в отличие от первого периода, который характеризовало применение математики к логике.

Одной из главных идей нового периода, получившего название «логистики», была мысль об изложении оснований математики на языке логики, что диктовалось возросшей необходимостью более строгого обоснования результатов математических исследований. Перед лицом этой задачи существенной перестройке подвергается сама логика. В этот период различные логические исчисления объединяются во всеохватывающую систему символической логики. Принципы и теоремы логики удается вывести из минимального набора аксиом. Так ФРЕГЕ осуществил дедуктивное аксиоматическое построение самой математической логики, придав ей вполне современный вид (исчисление высказываний, исчисление предикатов). Иными словами, происходит дальнейшая формализации самой логики. Она принимает вид системы символов, допускающих определенные преобразования на основе четко сформулированных правил. Осуществляется синтаксический подход к логике. Она рассматривается как язык. Формируется мощный аппарат формализованного логического анализа.

Если в предыдущий период символическая логика мыслилась как отрасль математики, то теперь, наоборот, доминирует идея выводимости математики из логики. Крупнейший немецкий математик и логик ФРЕГЕ применяет математическую логику в качестве метода обоснования арифметики. Так, средствами расширенного исчисления предикатов он формализовал теорию множеств. Определив математические понятия «числа» и «количества» в терминах чисто логических понятий «класса» и «отношения», ФРЕГЕ представил математику как продолжение логики. Дальнейшим развитием и наивысшей точкой этих усилий явилось трехтомное исследование Prindpia Mathematica (1910-1913 гг.) РлссЕла и УАйтхЕда. 19 Для многих вопросов обоснования математики, которые прежде исследова-

лись достаточно умозрительно, были найдены строгие решения с помощью логико-математических методов. С этого времени символическая логика становится незаменимым средством исследования оснований математики.

XV

Μ. С. Козлова

Кризис логических оснований математики.

К концу XIX в. были достигнуты уже настолько большие успехи в систематизации и строгом обосновании математики, что казалось: эта трудная работа близка к завершению. После работ Г. Клнтора математиками, по словам ВЕЙЛЯ, владело убеждение, что «грандиозное здание анализа приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях» 2°. Эта картина напоминает ситуацию в физике, где к началу 90-х годов установилось мнение, будто стройное здание классической физики почти полностью завершено и остается подработать лишь коекакие детали. И вопреки ожиданиям вскоре разразился «кризис в физике», поставивший под сомнение ее обоснование на базе механики Ньютона. Не менее драматическими были события в математике.

Не успела теория множеств сформироваться в качестве самостоятельной научной дисциплины и реализовать свои возможности в деле обоснования математики, как возникло неожиданное препятствие. Уже при жизни Клитора, в период, когда ожидался небывалый триумф теории множеств, в ней обнаружили парадоксы или антиномии. Первый парадокс в 1895 г. установил сам

КАНТОР И сообщил о нем в письме к ГИЛЬБЕРТУ21. Спустя два года БУРАЛИ-

ФОРТИ независимо приходит к тому же парадоксу и делает его достоянием всех математиков. Этот исторически первый парадокс теории множеств носит довольно специальный характер и относится в теории трансфинитных порядковых чисел2 2 . В 1899 г. КАНТОР же открывает еще один парадокс и сообщает о нем в письме ДЕДЕКИНДУ.

За открытием этих двух парадоксов абстрактной теории множеств последовала целая серия других 23. Одной из задач своей научной деятельности КАНТОР считал устранение парадоксов, но это ему не удавалось: число парадоксов с течением времени не только не уменьшалось, но, напротив, продолжало возрастать. Подавленный неудачей, КАНТОР В течение последних двух десятилетий жизни ничего не публиковал. Весьма шокирован был открытием парадоксов и ДЕДЕКИНД. Ситуация в самом деле была обескураживающей. Вот как это выразил крупнейший математик первой половины XX столетия Д. Гиль. БЕРТ: «...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?» 24 Парадоксы фиксировали внутренние логические трудности теории множеств,

лежащие в самих ее основах — фундаментальных понятиях и способах рассуждения. Возникшую ситуацию называют кризисом оснований математики.

XVI

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

Парадоксы выявились именно в абстрактной теории множеств, которая по сути дела срастается с формальной логикой. В связи с этим не удивительно, что вскоре после парадоксов теории множеств был обнаружен целый ряд их логических «двойников». Под ударом обнаруженных парадоксов оказалась логико-математическая система ФРЕГЕ. В 1902 г. в первом томе Основных законов арифметики, было найдено противоречие, получившее название парадокса РлссЕла-ЦЕРМЕЛо. Дело в том, что определение множества, предложенное КАНТОРОМ, ПОЗВОЛЯЛО рассматривать в качестве элементов множества объекты любой природы 25. Таковыми — помимо индивидуальных предметов — могли выступать и всевозможные множества, в том числе допускалось, что множество может включать в качестве своего элемента и самое себя. В связи с этим возможно подразделить множества на такие, которые не содержат себя в качестве своего элемента (нормальные множества) 26, и такие, которые включают в число своих элементов и себя (ненормальные множества) 27. Трудность возникает, если поставить вопрос, к какому из двух типов относится множество всех нормальных множеств, поскольку возможны два взаимоисключащих ответа. РАССЕЛ установил, что такое множество будет одновременно и нормальным, поскольку не содержит себя в качестве своего элемента, и ненормальным, поскольку оно есть множество всех нормальных множеств и потому должно включать себя в качестве нормального множества. Получается логическая ловушка: если множество является нормальным, то оно является ненормальным. Этот парадокс легко представить и в терминах классов. В популярном объяснении этот парадокс иллюстрируют на примере с брадобреем. В некотором селении парикмахер бреет тех, и только тех мужчин, которые не бреются сами. Должен ли он брить себя? На этот вопрос нельзя дать непротиворечивого ответа.

Кризис оснований математики поставил на повестку дня ряд важных философских, методологических и логических проблем математики. Наиболее острым из них был вопрос о причинах и способах устранения парадоксов. Вначале полагали, что парадоксы не составляют сколько-нибудь серьезной опасности и их вскоре удастся преодолеть. Ведь постоянное возникновение и разрешение противоречий-антиномий — общеизвестный факт истории науки. Но в данном случае дело оказалось серъезнее: вместо устранения трудностей, как бы в насмешку над математиками, обнаруживались все новые и новые парадоксы. Помимо парадоксов логики и математики (их обычно называют логическими) был открыт также ряд семантических (иногда их называют эпистемологическими) парадоксов. 28 Антиномии этой группы содержат понятия именования, определения, истины и другие, принадлежащие гносеологии, семантике и т. д.

Безуспешные попытки разрешить парадоксы постепенно укрепили убежде-

XVII

Μ. С. Козлова

ние, что дело упирается в переосмысление ряда принципиальных идей математики и отказ от некоторых старых концепций. Прежде всего парадоксы поставили математиков «перед проблемой перестройки теории множеств на совершенно измененной основе» 29, в частности потребовали уточнения понятия множества. Более того, возникла необходимость самого тщательного анализа логики рассуждения, логических механизмов языка, ибо сам собой напрашивался вывод: «...логика в том интуитивном виде, какой она имела в конце прошлого столетия, не годится в качестве четкого критерия строгости математического доказательства» 30.

Программы обоснования математики. Позиции Витгенштейна.

Обнаружение в конце XIX — начале XX в. парадоксов теории множеств и их логических «дубликатов» неожиданно выявило шаткость логического фундамента всей столь добротно выстроенной к тому времени классической математики. Это послужило новым стимулом для тщательной логической экспликации ее основ. Если в XIX столетии исследования оснований математики стимулировались потребностями ее теоретической проработки, систематизации, — то в XX веке ситуация драматизируется обстоятельствами кризиса оснований математики, — и тут уже главным делается разрешение возникших трудностей, восстановление былой надежности и достоверности математического знания. Возникают различные направления обоснования математики. Вскоре определились три ведущие программы: логицизм, связанный

с именами ФРЕГЕ И РАССЕЛЭ, формализм		(по сути близкий логицизму), пер-
сонифицированый ГИЛЬБЕРТОМ, Иинтуиционизм,			теоретиком которого высту-
пил	БРАУЭР. Позже набирает вес конструктивное		направление.
Исходный импульс программе логицизма		дал ФРЕГЕ. Опубликовав		в послес-
ловии ко второму тому Основных законов арифметики антиномию				РАССЕЛЭ.
он	впервые указал на связь такого рода противоречий с характером			употреб-

ления языка. Постепенно эта связь осозновалась все отчетливее. Если в логических парадоксах, включающих только логические и математические термины, эта связь несколько завуалирована, то в семантических антиномиях она выступает явственно. Такие парадоксы возникают из-за двусмысленных и неопределенных выражений естественного языка и потому требуют особого логического анализа языка. Этот верно поставленный «диагноз» недуга побудил к скрупулезному логическому анализу оснований математики и активному поиску средств ее логического «врачевания». РАССЕЛ, изучая открытый им в системе ФРЕГЕ парадокс, пришел к построению оригинального варианта аксиоматической теории множеств и к последующей попытке сведения математики к логике. Изучение причин парадоксов и поиск выхода из них РАССЕЛ

XVIII