Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

III, 1942

вернуто верно, но мы знаем, что у слова имеется только один перевертыш.

«Да, если это должен быть обратный порядок в этом смысле, то он может быть только один». Означает ли здесь <<в этом смысле»: по этим правилам, или: с этим обличьем? В первом случае предложение было бы тавтологично, во втором ему не обязательно быть истинным.

51. Представь себе машину, которая «сконструирована так», что переворачивает ряд букв. И представь себе, что мы имеем предложение, утверждающее, что в случае

но

результатом будет он.— Правило, каким оно на самом деле предполагалось, представляет-

ся некой движущей силой, которая переворачивает идеальный ряд τηακιΐΛί образом, — что человек всегда может сделать с реальным рядом.

Стало быть, это механизм, являющийся мерилом, идеалом реального масштаба.

И это понятно. Ведь если результат переворачивания становится критерием того, что ряд действительно был перевернут, и если мы выражаем это, как бы имитируя идеальную машину, то эта машина должна безошибочно порождать этот результат.

52. А нельзя ли в таком случае сказать, что понятия, создаваемые математикой, просто удобны, что, в сущности, все шло бы своим чередом и без них?

Прежде всего, признание этих понятий выражает уверенное ожидание определенного опыта.

Например, мы не признаем, что умножение не каждый раз дает тот же результат.

А то, чего мы с уверенностью ожидаем, существенно для всей нашей жизни.

53.Почему же в таком случае не заявить, что математические предложения выражают именно такие определенные ожидания, а стало быть, и опыт? Только потому, что как раз этого они не делают. Принятие того или иного понятия есть признание некой меры, которую я, вероятно, не постиг бы, не ожидай я столь определенно появления соответствующих фактов; вот почему установление этой меры не эквивалентно высказыванию ожиданий.

54.Трудно поместить реальное тело в верную плоскость: рассмат-

137

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ривать данность как данное. Трудно разместить тело иначе, не так, как мы привыкли его видеть. Стол в чулане вполне может лежать на столешнице, например из соображений экономии места. Вот так и я всякий раз видел, что данное реальное тело по разным соображениям располагалось так; и вот я должен считать нечто другое его началом и нечто другое его концом. Это трудно. Оно как бы не желае^г так стоять, пусть даже его поддерживают в этом положении другие сооружения.

55.Одно дело — употреблять математическую технику, рассчитанную на то, чтобы избегать противоречия, и совсем другое — философствовать, выступая против противоречия в математике.

56.Противоречие. Почему именно оно является неким призраком? Это ведь очень подозрительно.

Почему вычисление, созданное для практической цели и приведшее к противоречию, не должно просто говорить мне: «Действуй по своему усмотрению, я, вычисление, здесь ничего не решаю».

Противоречие можно понимать как знак богов, говорящий мне, что надо действовать, а не размышлять.

57. «Почему в математике противоречие не должно иметь прайа на существование?» — А почему оно не имеет права на существование в наших простых языковых играх? (Ведь тут наверняка есть взаимосвязь.) Является ли это основным законом, управляющим всеми мыслимыми языковыми играми?

Предположим, что противоречие, например, в приказе вызывает удивление и нерешительность, — и вот мы говорим: в этом и состоит цель противоречия в данной языковой игре.

58. Некто приходит к людям и говорит: «Я всегда лгу». Они отвечают: «Что же, тогда мы можем тебе доверять!» — Но мог ли он иметь в виду то, что сказал? Разве не создается впечатления, что он неспособен сказать что-либо действительно истинное, что бы это ни было?

«Я всегда лгу!» — Так что же делать с этим предложением? — «Это тоже была ложь». — Но тогда ты, значит, лжешь не всегда! — «Нет, все ложь!» Мы, вероятно, сказали бы, что под словами «правда» и «ложь»

этот человек имеет в виду нечто иное, чем мы. Возможно, он имеет в виду примерно следующее: то, что он говорит, слишком зыбко, или же что ничего не идет действительно от сердца.

Можно также сказать: его «я всегда лгу» не было, собственно го-

138

III, 1942

воря, утверждением. Это было, скорее, восклицанием.

Выходит, можно утверждать: «Если он высказал это предложение не бездумно, то он должен толковать эти слова как-то иначе, он не мог толковать их обычным образом, не так ли?»

59. Почему бы не трактовать РАССЕловское противоречие как нечто сверхпропозициональное, нечто, возвышающееся над предложениями и одновременно смотрящее, как голова Януса, в обе стороны! NB. Предложение F(F) — в котором ¥(ξ) = ~ξ(ξ) — не содержит переменных и потому могло бы считаться чем-то сверхлогическим, чем-то несомненным, отрицание чего лишь вновь утверждало бы его же. В самом деле, разве нельзя было бы даже начать логику с этого противоречия? И от него как бы спуститься к предложениям.

Противоречащее само себе предложение стояло бы, подобно памятнику (с головой Януса), над предложениями логики.

60. Не страшно: если противоречие возникает в той области, где ни последовательное, ни противоречивое предложения не выполняют никакой работы; опасно другое: не знать, как добраться туда, где противоречие уже ничему не вредит. «Если мое понимание исчисления должно в какой-то момент измениться, если благодаря окружению, которого я сейчас не вижу, должен измениться его аспект — тогда продолжим разговор об этом».

139

IV 1942-1943

1.Ясно, конечно, что математик, поскольку он действительно «играет в игру», не делает выводов. Ибо «играть» должно означать здесь: действовать в соответствии с определенными правилами.

Идаже если бы он сделал вывод, что, согласно общему правилу, он может действовать здесь таким образом, это уже былобы выходомза пределы простой игры.

2.Вычисляет ли счетная машина?

Представь себе, что вычислительная машина появилась случайно; и Bot кто-то случайно нажимает на ее кнопки (или же какое-то животное пробегает по ним), и она вычисляет результат 25x20 . —

Я хочу сказать: для математики существенно, чтобы ее знаки применялись и в гражданской жизни.

Именно употребление вне области математики, то есть значение знаков [их отнесенность к объектам], делает знаковую игру математикой.

Ведь мы же не будем считать логическим выводом преобразование одной структуры (скажем, расположения стульев) в другую, если такие упорядочения не имеют языкового употребления вне этой трансформации.

3. А разве не мог бы кто-то, не имеющий никакого понятия о значении РАССЕЛОВСКИХ знаков, повторно просчитать за РАССЕЛОМ его доказательства? То есть в каком-то существенном смысле проверить, истинны они или ложны?

Можно было бы так отладить человеческую вычислительную машину, показав ей правила вывода и продемонстрировав их действие на примерах, чтобы она считывала доказательства математической системы (например, РАССЕловские) и после каждого правильно сделанного вывода кивала головой, а в случае ошибки качала головой и прекращала вычисления. Во всем же остальном

140

III, 1942

это существо можно было бы себе представить полным идиотом. Доказательством мы называем то, что может быть повторно просчитано, равно как и скопировано.

4. Если математика — это игра, то играть в такую игру — значит заниматься математикой, а почему бы тогда не быть математикой и танцу?

Представь себе, что вычислительные машины встречаются в природе, но их корпуса непроницаемы для людей. И тогда люди использовали бы эти устройства примерно так же, как мы — вычисление, хотя о таковом они совершенно ничего не знают. Так, с помощью вычислительных машин они бы клали предсказания, но их обращение с этими странными предметами носило бы характер экспериментирования.

У этих людей отсутствовали бы понятия, имеющиеся у нас; но что бы их заменяло? — Вспомни механизм, движение которого мы рассматривали как ге-

ометрическое (кинематическое) доказательство: очевидно, что в нормальной ситуации никто не скажет о человеке, вращающем колесо, что он что-то доказывает. Разве не так же обстоит дело с тем, кто ради игры выстраивает знаки в ряд и изменяет эти ряды; даже если то, что он получает, и можно рассматривать как доказательство?

Утверждение, что математика — игра, должно означать: в ходе доказательства никогда не следует апеллировать к значению знаков, то есть к их внематематическому применению. Но что значит вообще: апеллировать к нему? Как возможно, чтобы такая апелляция была плодотворной?

Означает ли это — выйти за пределы математики и вновь вернуться к ней или же это означает — перейти от одного способа математического вывода к другому?

Что значит — приобрести новое понятие о поверхности шара? В какой степени это будет тогда понятием о поверхности шара! Лишь в той степени, в какой это понятие применимо к реальным шарам.

Насколько необходимо иметь понятие о «предложении», чтобы представлять себе РАССЕловскую математическую логику?

5. Если предполагаемое применение математики существенно, то как тогда обстоит дело с теми разделами математики, применение которых — или же то, что математики считают применением, —

141

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

совершенно ирреально? В таких случаях — мы это видим в теории множеств — занимаются какой-либо областью математики, имея совершенно ложное понятие о ее применении. Но разве тем не менее при этом занимаются не математикой?

Если бы арифметические операции служили исключительно для конструирования шифра, то их применение было бы, конечно, принципиально отлично от нашего. Но можно ли было бы тогда вообще назвать эти операции математическими?

Можно ли сказать о том, кто применяет правило дешифровки, что он совершает математические операции? И все же его преобразования можно толковать и так. Ибо он ведь мог бы сказать, что рассчитывает результат, получаемый при дешифровке знака...

в соответствии с тем или иным ключом. А предложение: знаки...

дешифрованные в соответствии с этим правилом, дают... — является математическим. Так же как и предложение о том, что в шахматах от этой позиции можно прийти к той.

Представь себе, что геометрией четырехмерного пространства занимаются с целью познакомиться с условиями жизни духов. Разве из-за этого она перестает быть математикой? И можно ли тогда утверждать, что она определяет понятия?

Разве не странно звучало бы утверждение, что какой-то ребенок уже способен выполнять тысячи операций умножения, — а это должно подразумевать, что ему уже доступны вычисления в неограниченной числовой области. Хотя это можно было бы считать еще весьма скромным способом выражения, так как вместо «бесконечно много» говорилось бы только о «многих тысячах».

Можно ли представитьсебе людей, которые в обычной жизни производили бы вычисления лишь в пределах 1000, а все, что сверх того, сохраняли для математических исследований мира духов?

«Верно это или нет для реальной поверхности шара — для математической поверхности шара это верно» — тем самым создается впечатление, будто особое отличие математического предложения от эмпирического состоит в том, что истина этого последнего приблизительна и шатка, математическое же предложение описывает свой объект точно и, безусловно, истинно. Как если бы «математический шар» как раз и был шаром. И тогда можно было бы, скажем, спросить себя, существует ли только один такой шар или же несколько (ФРЕГЕвская постановка вопроса).

Причиняет ли вред вычислению как разделу математики неправильное понимание возможностей его применения?

142

III, 1942

А помимо неверного понимания, как обстоит дело просто с неясностью?

Допустим, некто полагает, что математики открыли странный предмет V-1, который, будучи возведен в квадрат, дает -1. Разве он не мог бы достаточно четко производить вычисления с комплексными числами и применять такие вычисления в физике? И становятся ли они из-за этого в меньшей степени вычислениями?

В одном отношении его понимание, конечно, хромает; но он, несомненно, сделает свои выводы с полной уверенностью, и его исчисление будет прочно стоять на ногах.

Ну, а разве не смешно было бы утверждать, что этот человек занимается не математикой?

Когда кто-то расширяет границы математики, предлагает новые определения и находит новые теоремы, то в известном смысле можно сказать, что он не ведает, что творит. — У него есть смутное представление о том, что он что-то открыл, как бы некое пространство (при этом он думает о некоем помещении), освоил какую-то новую область, а если его спросить об этом, он наговорит много ерунды.

Представим себе простейший случай, что кто-то выполнил невиданные умножения, чтобы, как он говорит, завоевать тем самым новые огромные области мира чисел.

Представь себе, будто система вычислений с V-I изобретена чудаком, которого привлекла просто парадоксальность идеи и он занимается вычислением как своего рода богослужением или храмовой службой абсурда. Он воображает, что фиксирует невозможное и оперирует им.

Иными словами: тот, кто верит в математические объекты и их странные свойства, — разве не может он все-таки заниматься математикой? Или же: разве он не занимается и математикой?

«Идеальный объект». Высказывание «Знак а обозначает идеальный объект» должно, очевидно, говорить что-то о значении, то есть об употреблении а. А это, конечно, означает, что такое употребление в известном отношении сходно с употреблением знака, имеющего свой предмет, но что оно не соответствует никакому предмету. Однако интересно, что извлекается из этого факта для выражения «идеальный объект».

6. При известных условиях можно говорить о бесконечном ряде шаров. — Представим себе такой прямой бесконечный ряд шаров

143

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

с равными промежутками и рассчитаем силу, с которой все эти шары по закону притяжения действуют на определенное тело. Число, получаемое вычислением, мы будем рассматривать как идеал точности для известных измерений.

Ощущение странности проистекает здесь от неправильного понимания. От того типа неверного понимания, который порожден ловушками рассудка — икоторому я хочу положить конец.

Возражение, что «конечное не может постичь бесконечное», по сути, направлено против идеи психологического акта постижения или понимания.

Или представь себе, что мы просто говорим: «Эта сила соответствует притяжению бесконечного ряда шаров, размещенных определенным образом и действующих на тело согласно этому закону притяжения». Или же: «Рассчитай силу, с которой бесконечный ряд шаров с определенными свойствами действует как некое тело!» — Этот приказ все же имеет определенный смысл. В нем описано особого рода вычисление.

А как быть с такой задачей: «Рассчитай вес колонны, состоящей из стольких положенных одна на другую плит, сколько имеется кардинальных чисел; самая нижняя плита весит 1 кг, каждая последующая — половину предыдущей»?

Трудность заключена не в нашей неспособности составить некое представление. Довольно легко представить себе, например, бесконечный ряд. Вопрос в том, что дает нам это представление.

Представь себе, что бесконечные числа использованы в сказке. Гномы сложили башню из стольких кусков золота, сколько существует кардинальных чисел, — и т. д. То, что может произойти

вэтой сказке, должно же иметь смысл. —

7.Представь себе, что теория множеств изобретена неким сатириком как своеобразная пародия на математику. — Затем в ней углядели бы разумный смысл и включили ее в математику. (Ведь, если кто-то один может считать ее раем для математиков, почему бы кому-то другому не признать ее шуткой?)

Вопрос в следующем: разве не очевидно, что она и в качестве шугки является математикой? — А почему очевидно, что она является математикой? — Не потому

ли, что это знаковая игра по правилам?

Но разве возможно иметь некое понятие и не обладать ясным представлением о его применении?

144

III, 1942

8. Возьми построение многоугольника сил: разве это не элемент прикладной математики? А где же предложение чистой математики, которое привлекают на помощь при этом графическом расчете? Разве это не такой же случай, как с тем племенем, которое для известных предсказаний использует вычислительную технику, но не предложения чистой математики?

Вычисление, которое служит для проведения некой церемонии. Например, в соответствии с определенной техникой из возраста отца и матери и числа их детей выводится число слов для некой формы благословения их семейного очага. Описание процедуры вычисления можно было бы представить себе в виде некоего подобия Моисеева закона. И разве нельзя было бы представить себе, что народ, обладающий этими церемониальными вычислительными предписаниями, в практической жизни никогда не вычисляет?

Это было бы все-таки прикладным	вычислением, но оно не слу-
жило бы целям предсказания.	ч

А что удивительного было бы в том, если бы технические приемы вычислений имели некое семейство применений?

9. Сколь странен вопрос: появится ли при бесконечном десятичном разложении числа π сочетание φ (некая особая последовательность цифр, скажем „770")? — Понятно лишь при попытке рассуждать совершенно заземленно: люди приучены при вычислении располагать знаки по известным правилам. И тут они действуют в согласии с тем, к чему приучены, а мы говорим, что проблематично, запишут ли они когда-нибудь, следуя заданному правилу, сочетание φ.

А о чем говорят, утверждая, что здесь ясно одно: в ходе бесконечного разложения мы либо придем, либо не придем к φ?

Мне кажется, что тот, кто это говорит, сам уже устанавливает некое правило или же постулат.

Что, если бы на какой-то вопрос отвечали: «На этот вопрос пока еще нет ответа»?

Так мог бы ответить, скажем, писатель, если бы спросили, есть ли у героя его романа сестра или нет, а он бы еще не решил этот вопрос сам для себя.

Вопрос — хочу я сказать — изменяет свой статус, если становится решаемым. Ибо тогда устанавливается взаимосвязь, которой прежде не было.

О человеке, обученном чему-то, можно спросить: «Как он будет

145

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

толковать правило применительно к этому случаю?» —- или же: «Как должен он толковать правило применительно к этому случаю?» А что, если на этот счет не принято никакого решения? — Что ж, тогда ответом не служило бы: «Толкование должно быть таким, чтобы при разложении появилось φ» или: «Толкование должно быть таково, чтобы φ не появилось», но ответом было бы: «С этим еще не решено».

Как странно звучит утверждение, что дальнейшее разложение некоего иррационального числа есть дальнейшее развитие математики. Математика осуществляется в понятиях. — И в определенных понятиях в большей мере, чем в других.

Я хочу сказать: кажется, будто основа для решения уже имеется; между тем ее еще надо изобрести.

Не сводится ли дело к следующему: обращаясь мыслью к усвоенной нами технике разложения, мы используем ложный образ завершенного разложения (того, что обычно называют «рядом»), и это вынуждает нас ставить не имеющие ответа вопросы?

Ведь любой вопрос о разложении V2 должен быть сводим в конечном счете к практическому вопросу, касающемуся техники разложения. И здесь речь идет, конечно, не только о случае разложения како- го-то действительного числа или же вообще о получении математических знаков, но о любом аналогичном процессе, будь то игра, танец и т. д. и т. д.

10. Если кто-то вдалбливает нам в голову закон исключенного третьего, толкуя о его непреложности, — то ясно, что с предметом его обсуждения что-то не в порядке.

Если кто-то выдвигает закон исключенного третьего, то он как бы предлагает нам на выбор две картины, говоря, что одна из них должна соответствовать факту. А что, если сомнительна сама применимость здесь этих картин?

Заявляя, что бесконечное разложение π должно либо содержать, либо не содержать сочетание φ, нам предлагают как бы картину уходящего вдаль необозримого ряда.

А что, если изображение на большом удалении начинает терять четкость контуров?

11. Говорить о бесконечном ряде, что он не содержит определенного сочетания, имеет смысл только в совершенно особых условиях. Это значит: такое предложение обретает смысл лишь в известных случаях.

146