Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

Π, 1939-1940

ческое исчисление еще только должно быть найдено?

Я играл в игру и следовал при этом четким правилам, но как я им следовал — это зависело от обстоятельств, и эта зависимость не была записана черным по белому. (Это представление в некоторой степени вводит в заблуждение.) И вот я захотел так играть в эту игру, чтобы «механически» следовать правилам, и «формализовал» игру. При этом, однако, я дошел до таких ситуаций, где игра утратила всякий смысл: я хотел поэтому их «механически» избежать. — Формализация логики не вполне удалась. Но зачем вообще ее пытались провести? (Зачем она была нужна?) Не исходила ли эта потребность и мысль о том, что она должна удовлетворяться, из неясности в другом месте?

Вопрос «Зачем она была нужна?» был очень существенным вопросом. Ибо исчисление было придумано не для практической цели, а для того, чтобы «обосновать арифметику». Но кто говорит, что арифметика есть логика; или же что надо сделать с логикой, чтобы превратить ее в каком-то смысле в фундамент арифметики? Если нас подталкивают к таким попыткам, например, эстетические соображения, то кто говорит, что в этом можно преуспеть? (Кто говорит, что это английское стихотворение может быть, к нашему удовлетворению, переведено на немецкий?!)

(Даже если и ясно, что для каждого английского предложения, в каком-то смысле есть перевод на немецкий.)

Философская неудовлетворенность исчезает благодаря тому, что мы больше понимаем.

Благодаря тому, что я считаю позволительным сокращение (3 — 3), этот тип вычисления утрачивает свой смысл. А что, если, например, ввести новый знак равенства, который должен был бы выражать: «равно, после этой операции»? Но разве уместно было бы говорить: «Выиграл в этом смысле», — если в этом смысле я выигрывал бы каждую игру?

Исчисление провоцировало меня в определенных случаях на упразднение его самого. Теперь я стремлюсь к такому исчислению, которое этого не делает, и исключаю такие ситуации. — Но означает ли это, что любое исчисление, в котором такое исключение не происходит, является ненадежным? «Что же, выявление этих случаев было для нас предостережением». — А не ошибочно ли понял ты это «предостережение»?

86. Можно ли доказать, что ничего не пропущено? — Конечно. А не придется ли кому-нибудь позже признать: «Да, я что-то пропус-

117

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

тил; но не в той области, для которой имеет силу мое доказательство»?

Доказательство непротиворечивости должно дать нам основания для предсказания; и в этом его практическая цель. Это не значит, что такое доказательство принадлежит физике нашей вычислительной техники — стало быть, прикладной математике, — но это значит, что тем ближайшим его применением, ради которого мы ценим это доказательство, служит некое предсказание. Это предсказание не таково: «Этим способом не получится беспорядка» (ведь это было бы не предсказанием, а математическим выражением). Предсказывается другое: «Не произойдет никакого беспорядка».

Я хотел сказать: доказательство непротиворечивости может успокоить нас только тогда, когда оно является убедительным основанием для этого предсказания.

87. Там, где мне достаточно доказательства, что противоречие или трисекцию нельзя соорудить таким способом, там индуктивное доказательство дает то, чего от него требуют. Однако если я должен опасаться, что что-то тем или иным образом когда-то может быть истолковано как порождение противоречия, то никакое доказательство не может избавить меня от этого смутного опасения. Ограда, которую я возвожу вокруг противоречия, не (м^ть сверхограда.

Как исчисление может быть в принципе упорядочено путем того или иного доказательства?

Разве оно могло не быть верным исчислением до тех пор, пока не нашли этого доказательства?

«Это доказательство чисто механическое; его могла бы выполнить машина». Что за машина? Машина, изготовленная из обычных материалов, или же сверхмашина? Не путаешь ли ты твердость правила с твердостью материала?

Мы увидим противоречие в разном свете, если рассмотрим его появление и его последствия как бы антропологически или же если взглянем на него с возмущением математика. То есть мы увидим его по-разному, если попытаемся просто описать, как противоречие влияет на языковые игры, и если посмотрим на него с позиции математического законодателя.

88. Но стоп! Разве не ясно, что никто не хочет прийти к противоречию? Что, стало быть, тот, кому ты укажешь на возможность

118

И, 1939-1940

противоречия, сделает все, чтобы противоречие было невозможно? (Что, следовательно, тот, кто этого не сделает, простофиля.) А, допустим, он ответил: «Я не могу представить себе противоречия в моем исчислении. — Ты, правда, показал мне противоречие

вдругом исчислении, но не в этом. В этом нет противоречия, и

яне вижу здесь возможности для него»?

«Если мое понимание исчисления в какой-то момент с необходимостью изменится, если благодаря окружению, которого я сейчас не вижу, непременно изменится его аспект — тогда и продолжим разговор об этом».

«Я не вижу возможности противоречия. Так же не вижу, как и ты, по-видимому, не видишь возможности такового в твоем доказательстве непротиворечивости».

Знаю ли я, что мне покажется опасным противоречие, столкнись

яоднажды с таковым там, где сейчас считаю его невозможным?

89.«Чему учит меня доказательство, помимо его результата?» — Чему учит меня новая мелодия? Разве я не чувствую искушения сказать, что она учит меня чему-то? —

90.Роль ошибки в расчете я еще не объяснил. Роль предложения: «Должно быть, я ошибся в вычислении». Это, по сути, ключ к пониманию «оснований» математики.

1923

Ц9

III 1942

1. «Аксиомы в математической системе аксиом должны быть самоочевидны». Как же это получается?

Как в тех случаях, когда я говорю: вот так я могу это представить себе легче всего.

Причем слова «представить себе» означают здесь не особый душевный процесс, при котором обычно закрывают или прикрывают руками глаза.

2. Что говорят, когда предлагается, например, такая аксиома, как аксиома о параллельных прямых? Опыт ли показал нам, что они ведут себя таким образом? Что .ж, возможно; но какой опыт? Я имею в виду: опыт, конечно, играет роль; но не ту, какой можно было бы непосредственно ожидать. Ведь мы же не устанавливали экспериментально, что действительно только одна прямая, проходящая через данную точку, не пересекает другую прямую. И все-таки предложение очевидно. — В связи с этим я бы сказал: совершенно безразлично почему оно очевидно. Достаточно того, что мы принимаем его. Важно только то, как мы его используем. Предложение описывает картину. В частности, такую:

Эта картина для нас приемлема. Так же как для нас приемлемо обозначать приблизительное значение некоего числа, округляя его до числа, кратного 10.

«Мы принимаем это предложение». Но в каком качестве мы его принимаем?

3. Я хочу сказать: если дана, например, формулировка аксиомы о

120

III, 1942

параллельных прямых (и мы понимаем этот язык), то этим еще отнюдь не определен тип использования данного предложения и, соответственно, его смысл. А если мы говорим, что оно очевидно, это значит, что мы уже выбрали, неосознанно, определенный тип использования такого предложения. Предложение не является математической аксиомой, если мы его не используем именно для этого. Иными словами, то, что мы здесь не ставим экспериментов, а принимаем нечто как самоочевидное, уже задает определенное использование. Ибо мы ведь не столь наивны, чтобы принять очевидность за эксперимент.

Математическим предложением его делает не то, что нам очевидна его истинность, а то, что мы принимаем его за самоочевидное. 4. Опыт ли учит нас тому, что между каждыми двумя точками можно провести прямую? Или же тому, что два разных цвета не могут быть на одном и том же месте?

Можно сказать: представление учит нас этому. И в этом заключена истина; нужно только правильно понять это.

До формулировки предложения понятие еще податливо.

А не может ли опыт заставить нас отказаться от аксиомы? Может. И тем не менее она не играет роль эмпирического предложения. Почему ньютоновские законы не являются аксиомами математики? Потому что совсем нетрудно представить себе, что все происходит иначе. Но — хочу сказать — это отводит таким предложениям просто определенную роль в противоположность другой. То есть сказать о предложении: «Это можно представить себе и иначе» или «Можно представить себе и нечто прямо противоположное этому» — значит отвести ему роль эмпирического предложения. Предложение, которое, как полагают, невозможно представить себе иначе, как истинным, имеет другую функцию, чем то, что проявляет себя иначе.

5. Математические аксиомы функционируют таким образом, что, если опыт заставил бы нас отказаться от какой-либо аксиомы, от этого не стало бы аксиомой противоположное ей утверждение.

„2 χ 2 Φ 5"	не означает, что
„ 2 x 2 = 5"	оказалось непригодным.

Можно было бы предпосылать аксиомам, так сказать, специальный утвердительный знак.

Нечто является аксиомой не благодаря тому, что признается в

121

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

высшей степени вероятным, даже достоверным, а благодаря тому, что ему приписывается особая функция, притом такая, которая противостоит функции эмпирического предложения.

Мы оказываем аксиоме признание иного рода, чем эмпирическому предложению. И под этим я отнюдь не подразумеваю, что «душевный акт признания» здесь иной.

Аксиома — это как бы другая часть речи.

6. Слыша математическую аксиому, гласящую, что то-то возможно, мы безоговорочно принимаем как известное то, что означает здесь «быть возможным»; ведь это привычная для нас форма предложения.

Не осознается, сколь различным может быть использование высказывания «... это возможно!». И. поэтому не приходит в голову спрашивать об особом использовании его в этом случае.

Без целостного, подробного обзора применений мы здесь никак не можем усомниться в том, что понимаем данное предложение. Относится ли предложение об отсутствии дальнодействия к разряду математических предложений? Здесь опять-таки я бы сказал: данное предложение предназначено не для выражения какого-то опыта, а для выражения того, что мы не можем представить себе что-то другое.

Сказать, что между двумя точками всегда возможна — с геометрической точки зрения — прямая, значит: предложение «Точки...

лежат на одной прямой» является высказыванием о положении точек лишь в том случае, если повествует более чем о двух точках. Вот также не задаются и вопросом, что в конкретном случае означает предложение типа «Не существует...» (например, «Не существует доказательства этого предложения»). На вопрос о том, что оно означает, отвечают кому-то другому и самому себе примером несуществования.

Ί, Математическое предложение стоит не на трех, а на четырех ногах; оно срерхопределенно.

8. Описывая поступок какого-то человека, например, с помощью того или иного правила, мы хотим, чтобы тот, кому адресовано это описание, благодаря применению этого правила знал, что происходит в данном конкретном случае. Ну, а даю ли я ему в этом правиле косвенное описание?

Существует же предложение, гласящее: если умножить числа.!, по таким-то правилам, то получится...

122

III, 1942

Использование математического предложения само всегда должно быть вычислением. Это определяет отношение вычислительной деятельности к смыслу математических предложений.

О равенстве и соответствии судят по результатам вычислений, вот почему нельзя объяснить вычисления с помощью соответствия. Описание осуществляется с помощью правила. Для чего? Почему? — Это другой вопрос.

«Правило, примененное к этим числам, дает те числа» — это могло бы означать: выражение правила позволяет человеку получать из одних чисел другие.

Возникает совершенно верное ощущение, что это не было бы математическим предложением. Математическое предложение определяет некий путь; прокладывает для нас тот или иной путь.

В том, что оно является правилом, однако не просто устанавливается, а выводится по правилам, нет противоречия.

Используя правило для того или иного описания, и сам знаешь не больше, чем говоришь. То есть и не предвидишь использования этого правила в особом случае. Говоря «и т. д.», и сам знаешь не больше, чем «и т. д.».

9. Как можно объяснить человеку, что нужно делать, когда предписано следовать некоему правилу?

Пытаются объяснить: прежде всего делай самое простое (если правило заключается, например, в том, чтобы все время повторять одно и то же). И в этом, конечно, кое-что есть. Имеет смысл утверждать, что проще записать ряд чисел, в котором каждое число равно предыдущему, чем ряд, в котором каждое число на 1 больше предыдущего, и далее, что это более простой закон, чем закон попеременного прибавления 1 и 2.

10. Не слишком ли поспешно применять предложение, опробованное на палочках и бобах, к длинам световых волн? Я имею в виду, что 2 χ 5000 = 10 000.

Неужели мы в самом деле рассчитываем, что нечто, доказавшее свою истинность в столь многих случаях, должно быть верным и для этих случаев? Разве это не свидетельствует в гораздо большей степени о том, что мы себя еще вовсе не связали арифметически предположением?

11. Арифметика— как натуральная история (минералогия) чисел. А кто о ней так говорит? Все наше мышление пронизано этой идеей.

123

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Числа (я имею в виду не числовые знаки) суть формы (Gestalten), а арифметика говорит нам о свойствах этих форм. Трудность, однако, заключается в том, что свойства таких образов — не отраженные свойства такого рода вещей; они являют собой возможности. А эти возможности в свою очередь оказываются физическими или психическими возможностями (разложения, составления и т. д.). Формы же просто играют роль картин, используемых так или иначе. И мы даем не свойства форм, а их преобразования, конструируемые как своего рода парадигмы.

12. Судим мы не о картинах, а с помощью картин. Мы исследуем не их, а с их помощью нечто другое.

Ты подводишь кого-то к решению принять эту картину. Ну, например, путем доказательства, то есть путем демонстрации ряда изображений или просто показывая ему изображение. Что склоняет его к данному решению, здесь безразлично. Главное заключается в том, что речь идет о принятии какой-то картины.

Картина складывания не есть сложение; картина разложения — не деление; картина соответствия — не соответствие. И все же

эти	картины имеют огромное значение. Когда складывают, делят
и т.	д., это выглядит вот так.

13. Что было бы, если бы звери, кристаллы имели столь же превосходные свойства, что и числа? Тогда существовал бы, например, ряд форм, одна из которых всегда была бы на единицу больше, чем другая.

Попытаюсь показать, как получается, что математика кажется нам то натуральной историей чисел, то собранием правил.

А разве нельзя было бы изучать преобразования форм зверей (например^? А как изучать? Я имею в виду вот что: разве не было бы полезно продемонстрировать самим себе преобразования форм зверей? И все же это не было бы разделом зоологии. — Математическим предложением было бы тогда (например) то, что это преобразование переводит эту форму в эту. (При том что формы и их преобразования узнаваемы.)

14. Мы должны, однако, помнить о том, что математическое доказательство с помощью своих преобразований доказывает не только знаково-геометрические предложения, но и предложения самого различного содержания.

Так, преобразование любого РАССЕЛОВСКОГО доказательства доказывает вместе с тем, что это логическое предложение может быть

124

III, 1942

образовано с помощью таких правил из основных законов. А само доказательство рассматривается как доказательство истинности вывода или же как доказательство того, что вывод /ш о чем не говорит.

Это же возможно только через отношение предложения к чему-то вне его самого; то есть, скажем, через его отношение к другим предложениям, к их использованию.

«Тавтология («ρ ν ~р», например) не говорит ни о чем» — это предложение, относящееся к языковой игре, где используется предложение ρ (например: «Идет дождь или не идет дождь» — это не сообщение о погоде).

РлссЕловская логика ничего не говорит о типах предложений и об

их использовании. — Я имею в	виду	не логические предложе-
ния. — И все же логика обретает	весь	свой смысл лишь благода-

ря ее предполагаемому применению к предложениям.

15. Можно представить себе, что у людей есть прикладная математика без чистой математики. Они могут, допустим, рассчитать траекторию, которую описывают определенные движущиеся тела, и предсказать их местонахождение в заданное время. Для этого они используют систему координат, уравнения кривых (форму описания действительного движения) и технику вычислений в десятичной системе. Идея предложения чистой математики может быть им совершенно чужда.

Таким образом, у этих людей есть правила, по которым они преобразуют соответствующие знаки (в частности, например, числрвые знаки) с целью предсказания определенных событий.

А разве, например, умножая, они не придут к предложению, гласящему, что от перестановки множителей местами результат умножения не меняется? Это не будет первичным знаковым правилом, но также не будет и предложением об их физике.

Ну, им не обязательно получать такое предложение — даже если они допускают перестановку множителей.

Мне представляется, что эта математика всецело используется в форме предписаний. «Ты должен делать то-то», — в частности, чтобы получить ответ на вопрос: «Где будет находиться это тело в то или иное время?» (То, как эти люди пришли к такому методу предсказания, совершенно безразлично.)

Центр тяжести математики лежит для этих людей целиком и полностью в действии.

125

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

16. Но возможно ли это? Возможно ли, чтобы они не провозглашали коммутативный закон (например) как предложение?

Смею сказать: эти люди не обязательно придут к пониманию того, что они делают математические открытияj — а не только физические.

Вопрос: должны ли они делать математические открытия как открытия? Что они потеряют, если не сделают таковых? Разве они не могли бы использовать (например) доказательство коммутативного закона, не понимая, что его финалом служит некое предложение, что оно, таким образом, имеет результат, так или иначе сравнимый с их физическими предложениями?

17. Простое изображение

О

рассмотренное то как 4 ряда по 5 кружков, то как 5 колонок по 4 кружка, могло бы убедить кого-то в наличии коммутативного закона. И в итоге он мог бы выполнять умножения то в одном, то в другом направлении.

Взгляд на образец и фишки убеждают его, что он сможет выложить с их помощью фигуру, то есть что он затем осуществит такой расклад.

«Да, но лишь при условии, что фишки не изменятся». — Если они не изменятся и если мы не совершим какой-то непонятной ошибки или же если фишки невзначай не исчезнут и не прибавятся.

«Но ведь существенно то, что фигуру действительно каждый раз можно выложить из фишек! А что, если ее нельзя было бы выложить?» — Вероятно, тогда мы полагали бы, что нам что-то мешает. Но что же дальше? — Пожалуй, мы приняли бы все так, как оно есть. И ФРЕГЕ мог бы тогда сказать: «Здесь мы столкнулись с новым типом безумия!»

18.Ясно, что математика как техника преобразования знаков с целью предсказывания не имеет ничего общего с грамматикой.

19.Предполагается, что люди, чья математика представляет собой лишь такую технику, должны также признавать доказательст-

126