Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

V, 1941 и 1944

Если мы теперь прочтем сконструированное предложение (или цифру) как предложение математического языка (например, порусски), то оно выразит нечто противоположное тому, что мы как раз считали доказанным. То есть, продемонстрируй мы его конструкцию как доказательство, полученное, исходя из принятых аксиом, с помощью принятых правил вывода — мы бы продемонстрировали ложность действительного смысла предложения и одновременно доказали его.

Упрекни нас кто-либо в невозможности таких предположений на том основании, что они были бы логическими или математическими допущениями, мы бы ответили! достаточно лишь предположить, что в вычисление вкралась ошибка, которую пока не удается найти и за счет которой и был получен «предполагаемый» нами результат.

Здесь мы снова возвращаемся к выражению «доказательство убеждает нас». Притом нас интересует не выражение убеждения голосом или жестом, не связанное с ним чувство удовлетворения или что-то в этом роде, а подтверждение убеждения при использовании доказанного.

Правомерно спросить, каково значение доказательства ГЕДЕЛЯДЛЯ нашей работы. Ведь никакой фрагмент математики не может решить ни одну из тех проблем, что волнуют нас. — Ответ таков: интерес представляет ситуация, в которую нас вводит такое доказательство. «Что мы должны тут сказать?» — такова наша тема.

Как бы странно это ни звучало, моя задача в связи с теоремой ГЕДЕЛЯ состоит, по-видимому, лишь в том, чтобы выяснить, что означает в математике предложение типа «Предположим, что это можно доказать».

20. Представляется совершенно естественным спрашивать «сколько?» и затем считать и вычислять!

Считаем ли мы потому, чта считать практично? Да, считаем! — И таким же образом вычисляем.

На основе эксперимента — или как еще его назовешь — иногда можно верно определить размеры измеряемого, а иногда даже надлежащую меру.

Тогда, выходит, единица измерения есть, таким образом, результат измерений? И да, и нет. Не результат измерения, а, пожалуй, следствие измерений.

Возможен такой вопрос: «Учил ли нас опыт производить вычисле-

187

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ния таким образом!» — или другой: «Является ли вычисление экспериментом?>

21. Почему бы не сказать, например, что противоречие „гетерологический" е гетерологический = ~ („гетерологический" е гетерологический) обнаруживает некое логическое свойство понятия «гетерологический»?

Предложения: «„Двухсложный" — это гетерологический» или «„Трехсложный" — это не гетерологический» представляют собой эмпирические предложения. Может быть, в некоторых крнтекстах было бы важно выяснить, обладают ли прилагательные теми же свойствами, которые они обозначают *, или нет. Тогда в языковой игре применяли бы слово „гетерологический". Но неужели при этом полагали бы, что предложение .«„/г" е h>> является эмпирическим предложением? Оно явно таковым не является, и нам не следовало бы допускать его в нашу языковую игру в качестве предложения, даже если бы мы и не обнаружили указанного противоречия.

,,/г" G /i =~(„/i" e h) можно назвать „истинным противоречием". — Но ведь это противоречие не является осмысленным предложением! Прекрасно, но ведь логические тавтологии тоже не предложения.

«Противоречие истинно» означает здесь: оно доказано; выведено из правил для слова «/г». Его использование заключается в демонстрировании того, что «„/г"» принадлежит к тем словам, которые, будучи включены в „ξ е /г", не создают предложения.

«Противоречие истинно» значит: это действительно противоречие,

инеправомерно использовать слово «„/г"» как аргумент в „ξ е /ι".

22.Я устанавливаю некую игру и говорю: «Если ты сделаешь этот ход, то я пойду так, а если ты сделаешь такой ход, то я буду ходить так. — Теперь играй!» И вот он делает ход или нечто, что я должен признать ходом, а когда я хочу в ответ на это ходить по моим правилам, то оказывается, что бы я ни делал, это не соответствует правилам. Как могло это случиться? Устанавливая правила, я что-то сказал: я следовал известному обычаю. Я не предвидел, что мы будем делать дальше, или видел лишь некую определенную возможность. Это похоже на то, как если бы я сказал кому-то: «Прекрати игру; этими фигурами ты не можешь поставить мат» — и проглядел существующую возможность мата.

Различные, полушутливые обличья логического парадокса интересны лишь постольку, поскольку напоминают о том, что для понимания подлинной функции парадокса необходимо его серьезное

188

V, 1941 и 1944

оформление. Спрашивается: какую роль может играть в той или иной языковой игре подобная логическая ошибка?

Например, кого-то инструктируют, как он должен действовать в том или ином случае; а впоследствии эти указания оказываются

бессмысленными.

23. Логический вывод — это часть языковой игры. И тот, кто делает логические заключения в языковой игре, следует определенным инструкциям, которые были заданы при изучении самой языковой игры. Если, например, подмастерье строит дом, руководствуясь данными ему указаниями, то ему приходится время от времени прерывать доставку стройматериалов и т. д. и выполнять определенные операции со знаками на бумаге; после чего он, соответственно результату, снова берется за строительную работу.

Представь себе процесс, по ходу которого тот, кто толкает тележку, приходит к выводу, что он должен очистить ось колеса, поскольку толкать тележку стало слишком тяжело. Я имею в виду не то, что он говорит себе: «Всегда, когда слишком тяжело тол-

кать тележку ...» — а то, что он просто действует		так. И случа-
ется, что	он кому-то крикнет: «Тележка не	идет; очисти
ось!»	или же: «Тележка не идет. Значит, надо очистить ось».

Это ведь и есть некий вывод. Правда, не логический.

А нельзя ли сказать: «Не-логическое заключение может оказаться ложным; а логическое — нет»?

Является ли логическое заключение верным, если оно сделано в соответствии с правилами или если оно сделано в соответствии с правильными правилами? Если бы, например, говорилось, что из ~р всегда должно следовать р, — разве это было бы неверно? А почему бы не предпочесть этому другое утверждение: такое правило придало бы знакам „~р" и „р" необычное для них значение?

Я хочу сказать: можно понимать это так, что правила вывода придают знакам их значение, потому что они являются правилами использования этих знаков. Потому что правила вывода причастны к определению значения знаков. В этом смысле такие правила не могут быть верными или неверными.

Некто А в процессе строительства измерил длину и ширину како- го-то участка и отдает В приказ: «Принеси 15 х 18 плит». В приучен умножать и в соответствии с результатами отсчитывать то или иное число плит.

Конечно же, произносить предложение «15 χ 18 = 270» при этом никогда не требуется.

189

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Можно сказать: эксперимент — вычисление служат полюсами, между которыми движутся человеческие действия.

24. Мы тренируем человека таким-то образом, затем ставим перед ним вопрос и в ответ получаем числовой знак. Этот знак мы затем используем в своих целях, и он оказывается практичным. Это и есть вычисление? — Пока еще нет! Это могло бы быть весьма целесообразным процессом, — однако не быть тем, что мы называем вычислением. Так, можно было бы представить себе, что для целей, которым служит сегодня наш язык, издавались бы звуки, не образующие, однако, никакого языка.

Для вычисления характерно то, что все, вычисляющие правильно, получают одну и ту же картину вычисления. И «производить вычисления правильно» означает не: в здравом уме или без помех, — но: производить вычисления таким образом.

Каждое математическое доказательство дает новую опору математическому зданию. (Я думал об опорах стола.)

25. Я задался вопросом: разве математика, имей она чисто фантастическое применение, не являлась бы все же математикой? — Но спрашивается: не называем ли мы это математикой лишь потому, что видим здесь переходы, мостики от фантастического применения к нефантастическому? То есть можно ли сказать, что люди, использующие вычисления, оперирующие знаками только

воккультных целях, владеют математикой?

26.А в таком случае разве не правильно все-таки сказать: в математике существенно то, что она образует понятия? — Ведь математика — это в конце концов антропологический феномен. Значит, можно признать это главным для большей части математики (для того, что называется «математикой») и вместе с тем сказать, что это не играет никакой роли в других областях. Само по себе данное усмотрение, конечно, не окажет какого-то влияния на тех, кто учится теперь смотреть на математику таким образом. Ведь математика — это некое семейство; но это не говорит о том, что нам безразлично, что бы в него ни включалось.

Можно сказать: если бы ты не разбирался в каком-нибудь математическом предложении лучше, чем ты понимаешь аксиому умножения, то ты бы не понимал математики.

27. — Здесь есть противоречие. Но мы его не видим и делаем из него выводы. Например, выводим математические предложения, в том числе ложные. Но мы признаем эти выводы. — Если же построенный по нашим расчетам мост разваливается, то мы нахо-

190

V, 1941 и 1944

дим для этого другую причину или говорим, что это было угодно Богу. Было ли тут наше вычисление ложным или оно вообще не было вычислением?

Конечно, если мы в научной экспедиции наблюдаем людей, действующих таким образом, то, пожалуй, можем сказать: эти люди вообще не производят вычислений. Или: в их вычислениях есть элемент произвола, который отличает суть их математики от сути нашей. И все же мы не сможем отрицать, что у этих людей есть своего рода математика.

Какие правила должен установить король *, чтобы впредь избежать той неприятной ситуации, которую создал для него его пленник? — Какого типа эта проблема? — Она ведь подобна следующей: как нужно изменить правила этой игры, чтобы та или иная ситуация не могла сложиться? А это математическая задача.

Но может ли это быть математической задачей — сделать математику математдкой?

Можно ли сказать: «Люди стали по-настоящему считать только после того, как была решена эта математическая задача,»?

28. Разве это надежность, если она основана на том, что наши банки действительно в общем и целом не подвергаются набегу всех своих клиентов сразу; хотя случись это, они бы обанкротились?! Что ж, это иной тип надежности, чем более примитивная надежность; но все-таки это некая надежность.

Я полагаю, будь в арифметике действительно найдено противоречие, это доказывало бы лишь, что арифметика с таким противоречием может вполне успешно справляться со своими задачами; и было бы предпочтительнее видоизменить наше понятие требуемой надежности, чем утверждать, что это еще не было бы по сути подлинной арифметикой.—«Но ведь это же не идеальная надежность!» — Идеальная для какой цели?

Правила логического вывода — это правила языковой игры.

29. Какого рода вот это предложение: «Класс львов — это ведь не лев, а класс классов — это класс»? Как оно верифицируется? Как можно его использовать? Насколько я вижу, его можно использовать только как грамматическое предложение. Чтобы обратить чье-либо внимание на то, что слово «лев» употребляется принципиально иначе, чем имя льва; а вот родовое слово «класс» употребляется подобно обозначению одного из классов, например класса львов.

191

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Даже признав, например, РАССЕловскую теорию типов, все же можно сказать, что слово «класс» употребляется рефлексивно. Ибо оно ведь и в ней употребляется рефлексивно.

Конечно, утверждать в этом смысле, что класс львов не есть лев и т. д., равносильно утверждению, будто кто-то, сочтя е за а, принял белку за балку.

Внезапная смена восприятия схемы куба и невозможность узреть «льва» и «класс» в качестве сопоставимых понятий.

Противоречие гласит: «Прими во внимание...» А что, если какому-то определенному льву (например, царю

львов) дать имя Лев? Тут ты скажешь: ведь очевидно, что в предложении «Лев — это лев» слово «лев» употребляется двумя разными способами. (Логико-философский трактат.) А нельзя ли причислить их к одному типу употребления?

А что, если бы предложение «Лев — это лев» употреблялось таким образом, что привлекало бы внимание к различию в использовании обоих «львов», и*ни к чему больше?

Можно исследовать какого-то зверя с целью понять, не является ли он кошкой. Но понятие «кошка» так, во всяком случае, исследовать нельзя.

«Класс львов — это не лев» кажется бессмыслицей, в которой лишь из вежливости можно усмотреть какой-то смысл: я же хочу истолковать это предложение иначе — как настоящее предложение, если только оно правильно понято. (То есть не так, как в

Логико-философском трактате.) Стало быть, моя концепция здесь иная. А это значит, что я говорю: существует языковая игра и с этим предложением.

«Класс кошек — это не кошка». — Откуда ты это знаешь?

В басне о зверях говорится: «Лев пошел гулять с лисом», не некий лев с неким лисом; и не лев такой-то с лисом таким-то. И здесь действительно получается так, будто род «лев» рассматривается как какой-то один лев. (Но это не то, о чем говорит Лессинг, когда место какого-то льва занимает вполне конкретный лев. «Бар- сук-Гримбарт не означает барсук по фамилии Гримбарт» *.

Вообрази себе язык, в котором класс львов называют «львом всех львов», класс деревьев — «деревом всех деревьев» и т. д. — Потому что тут как бы представляется, что все львы образуют одного большого льва. (Мы говорим: «Бог создал человека».)

Тогда можно было бы установить парадокс о том, что не сущест-

192

V, 1941 и 1944

вует определенного множества всех львов. И т. д.

Но разве нельзя было бы считать и производить вычисления на таком языке?

30.Можно задаться вопросом: какую роль способно играть в человеческой жизни предложение типа «Я всегда лгу»? И тут вообразимы самые разнообразные варианты.

31.Является ли пересчет длины из дюймов в сантиметры логическим заключением? «Цилиндр имеет длину 2 дюйма. — Значит, его длина

примерно 5 см». Является ли это логическим заключением?

Да, но разве правило не нечто произвольное? Не что-то такое, что устанавливают? А можно установить, что умножение 18 χ 15 не должно давать 270? — Почему бы и нет? — Но тогда оно происходило бы не по тем правилам, что были установлены вначале и употреблять которые привычно?

Является ли то, что следует из правила, в свою очередь правилом? А если нет, то предложением какого типа его следует назвать? «Для людей... невозможно признать какой-то предмет отличным от самого себя». Ну, уж имей я хоть какое-то понятие о том, как это делается, я бы тотчас же попытался! — Но если для нас невозможно признать, что предмет отличен от самого себя, то вполне ли возможно признать, что два предмета отличны друг от друга? Например, передо мной два кресла, и я признаю, что их два. Но при некоторых условиях я все же могу поверить, что это только одно кресло; и в этом смысле я могу считать одно двумя. — Но тем самым я ведь не признаю кресло отличным от самого себя! Пусть так, но тогда я не признаю и отличия двух кресел друг от друга. Тот, кто полагает, что мог бы это сделать, играет в своего рода психологическую игру, переводит ее в игру жестов. Имея перед собой два предмета, он левой рукой указывает на один из них, а правой — на другой, как бы желая подчеркнуть, что они автономны. Будь же перед ним только один предмет, он указывал бы на него обеими руками, как бы подчеркивая, что нельзя делать никакого различия между ним и ним самим. — Ну, а почему бы не поиграть теперь в эту игру обратным способом?

32. Слова «верно» и «неверно» употребляют при обучении тому, как действовать по правилу. Словом «верно» побуждают ученика продолжать действие, словом «неверно» удерживают его. Ну, а можно ли объяснить эти слова ученику, предписав: «Это соответствует правилу, то — нет»? Вполне можно, если только он имеет понятие о соответствии. А что, если это понятие еще лишь долж-

193

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

но быть сформировано? (Все зависит от того, как он реагирует на слово «соответствует».)

Мы учимся следовать правилу, предварительно не обучаясь употреблению слова «соответствие».

Скорее, мы усваиваем значение слова «соответствие», учась следовать правилу.

Тот, кто хочет понять, что значит «следовать правилу», уже сам должен уметь следовать правилу.

«Если ты принимаешь это правило, то должен делать это». — Это может означать: правило не предоставляет здесь тебе двух открытых путей. (Математическое предложение.) Я же имею в виду: правило ведет тебя, как коридор с твердыми стенами. Но ведь против этого можно возразить, что правило поддается толкованию всеми возможными способами. — Правило устанавливается здесь

как приказ; и действует оно тоже как приказ.
33. Языковая игра: принести что-нибудь другое; принести то	же
самое. Ну, и можно представить себе, как в нее играют. —	Но

как объяснить ее кому-то? Можно обучить его этому. А откуда он знает, что нужно приносить в следующий раз в качестве «того же самого», — что позволяет мне сказать, принес ли он то, что нужно, или нет? — И я прекрасно знаю, конечно, что в ряде случаев люди явно выразили бы мне свое несогласие.

И все же предполагает ли это, что «то же самое» определялось бы примерно так: то же самое — это то, что все люди или большинство из них согласованно считают таковым? — Конечно же, нет.

Ведь для констатации тождества я же не использую согласие людей. А тогда какой критерий ты применяешь? Вообще никакого. Употреблять слово без обоснования не значит употреблять его неправильно.

Проблема предыдущей языковой игры существует, конечно, и здесь: принеси мне что-нибудь красное. Ибо откуда я узнаю, что это что-то красного цвета? Благодаря совпадению цвета с неким образцом? — По какому праву я говорю: «Да, это красное»? Ну я так говорю; и это не обосновывается. Причем для этой языковой игры, так же как и для предыдущей, характерно то, что она совершается при бесспорном согласии всех людей.

Неразрешимое предложение математики — это нечто, что не признано ни как правило, ни как противоположность правилу; оно имеет форму математического высказывания. — Но является

194

V, 1941 и 1944

ли эта форма четко описанным понятием?

Um

Представь себе п _>О0фп = е как свойство музыкального фрагмента

(например). Но конечно же, не так, будто фрагмент длится бесконечно, а как свойство фрагмента, распознаваемое на слух (как бы алгебраическое свойство).

Представь себе уравнения, используемые в качестве орнаментов (узор обоев), а затем проверку этих орнаментов на то, какого рода кривым они соответствуют. Эта проверка походила бы на выявление контрапункта в музыкальном отрывке.

34. Доказательство, которое показывает, что сочетание „777" появляется в разложении π, но не показывает где. Что ж, доказанное таким образом это «предложение существования» не было бы правилом для определенных целей. Но разве оно не могло бы служить, например, средством классификации правил разложения? Аналогичным образом было бы доказано, например, что „777" не появляется в π2, но появляется в π χ е и т. д. Вопрос состоял бы лишь в том: разумно ли говорить о соответствующем доказательстве, что оно доказывает существование „777" в этом разложении? Это может запросто сбить с толку. В этом-то исостоит проклятие прозы, и особенно РАССЕЛОВСКОЙ прозы, в математике.

Что за беда, например, сказать, что Бог знает все иррациональные числа? Или: что они все уже наличествуют, хотя нам и известны лишь некоторые из них? Почему эти картины небезвредны? Прежде всего, они скрывают определенные проблемы.

Предположим, люди рассчитывают разложение π все дальше и дальше. Так что лишь всеведующий Бог знает, придут ли они до конца света к сочетанию «777». Но может ли его всеведение решить, было ли бы достигнуто такое сочетание после конца света? Этого оно не может. Я бы сказал: и Бог может решать математические вопросы только с помощью математики. И для него простое правило разложения не может решить ничего из того, что оно не решает для нас.

Это можно выразить так: при заданном правиле разложения неко- е вычисление может показать нам, что на пятом месте стоит цифра «2». В состоянии ли Бог знать это без вычисления, просто исходя из правил разложения? Я склонен сказать: нет.

35. Если я говорю, что предложения математики образуют понятия, то это как-то туманно; ибо „2 + 2 = 4" образует понятие в ином смысле, чем „р D p", „(x) · fic з / α " или теорема ДЕДЕКИН

195

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

да. Существует именно семейство случаев.

Понятие правила образования бесконечной десятичной дроби не

является, конечно, специфически	математическим	понятием.
Это — понятие, связанное со строго	определенной	деятельнос-

тью в человеческой жизни. Понятие такого правила является математическим не в большей мере, чем понятие следования правилу. Или же: это последнее определено не менее точно, чем понятие самого такого правила. — Да, выражение правила и его смысл — это только часть языковой игры: следования правилу.

С тем же правом можно вообще говорить о таких правилах как о деятельности следования им.

Конечно, о правиле, например, говорят: «Все это уже заложено в нашем понятии», — но ведь это означает: мы склонны к этим определениям понятий. Ибо что же есть у нас в голове такого, что уже содержит все эти определения?!

Число, как говорит ФРЕГЕ, есть свойство понятия,			но в мате-
матике	оно есть	признак математического понятия. К о — это
признак	понятия	кардинального числа и свойство	некоей техни-

ки. 2^ о — это признак понятия бесконечной десятичной дроби, но свойством чего является это число? То есть: о понятии какого типа его можно эмпирически высказать?

36. Доказательство предложения надоумливает меня, какую сделать ставку на его истинность. И различные доказательства вполне могут подсказать мне то же самое.

Нечто поразительное, некий парадокс в особом, как бы искаженном окружении. Надо дополнить его окружение таким образом, чтобы то, что выглядело парадоксом, больше не казалось таковым. Доказав, что 18 χ 15 = 270, я тем самым доказал и геометрическое предложение о том, что, применяя к знаку „18 χ 15" определенные правила преобразования, мы получим знак 270. — Теперь предположим, что люди, у которых под действием какого-нибудь яда нарушена четкость зрения или правильность запоминания (как мы склонны теперь выражаться), получали бы при этом вычислении не 270. — Разве вычисление не бесполезно, если по нему нельзя правильно предсказать, что получается в итоге при обычных обстоятельствах? Что ж, если даже оно бесполезно, это не означает, что предложение „18 χ 15 = 270" является эмпири-

196