Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

полностью поглотила Рассела, сделавшись важнейшим делом его жизни чистая математика. Теоретик взял в нем верх, и, возможно, это произошло не без влияния философии.

7Подверженность разным философским влияниям — вообще одна из характерных черт интеллектуальной биографии Рассела. Пожалуй, в его лице мы имеем дело не столько с философом в собственном смысле слова, сколько с ученым, пришедшим к философии через осмысление оснований своей области науки (математики).

8Эта работа легла в основу первой книги Рассела Исследование по основаниям

геометрии (закончена в 1896 году).

9В предисловии Витгенштейна в к Логико-философскому трактату читаем: «Доставь она (книга — М. К.) удовольствие одному, прочитавшему ее с пониманием человеку, »ч· цель будет достигнута». Корректируя перевод труда для первого британского издания, автор пояснил эту фразу: «... Под „Einem" я действительно понимал одного (единственного) человека.» Если предположить на момент, что имелся в виду конкретный человек, то невольно думаешь о Расселе. Во всяком случае в мире не существовало никого, кто был бы ближе приобщен к творческой лаборатории создания этого произведения, чем Рассел.

10Φ ρ е й н м а н Л. С. Творцы высшей математики. М., 1968, с. 83—84.

11 Μ е д в е д е в Ф. А. Развитие теории множеств в XIX веке. М.,1965. С. 35—36.

12Смутными оставались понятия «бесконечно малого», «производной», «сходимости рядов» и др.

13 Д е д е к и н д . Что такое числа и для чего они служат? Казань. 1905. С. 5.

14Натуральное число — одно из основных понятий математики. Натуральными называют целые положительные числа (1, 2, 3...), образующие естественный порядок, именуемый натуральным рядом.

15Действительными, или вещественными, числами называют любые положительные, а также отрицательные числа или нуль. Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные. Множество всех действительных чисел называют числовой прямой. Теория действительных чисел занимает важнейшее место в математике: свойства числовой прямой служат фундаментом, на котором строится теория пределов, а вместе с ней и все здание современного математического анализа.

16	См.: М е д в е д е в Ф , А. Развитие теории множеств в XIX веке, М., 1965. С.
	19.
17	Е > у р б а к и Н . Очерки по истории мктематики. М., 1934. С, 14.
18	См.: R ц s s е 1 В. Mysticism and logic and other essays. L, 1954., p. 76.

19В дальнейшем название этой работы будет даваться сокращенно — РМ.

20В е й л ь Г. О философии математики. М--Л-, 1934. С. 16.

21Об этом стало известно в 1932 г. после опубликования его переписки.

22См.: К а ρ ρ и X. Основания математической логики. М., 1969. С. 22—23.

23 Они приведены, например, в книге С. К л и н и· Введение в метаматематику. Ц., 1957, с. 40-43.

24 Г и л ь б е р т Д. Основания геометрии, М.-Л.,1948. С. 349.

25Такое представление неявно заключало в себе посылку философского реализма платоновского типа, отсутствие четкой границы между конкретными и абстракт-

XXIX

Μ. С. Козлова

ными объектами, или индивидуалиями и универсалиями.

26Это наиболее распространенный тип множеств: племя не есть отдельный челдовек, созвездие не есть отдельная звезда, коллекция минералов не есть отдельный образец минерала и т. д.

27В качестве примеров таких множеств обычно приводятся каталог каталогов, список списков, класс классов и т.п.

28Такую классификацию предложил в 1925 г. английский логик ученик Б. Рассела

Ф.Рамсей.

21)К л и н и С. Введение в метаматематику. С. 42. 30 К а р ρ и X. Цит соч. С. 26

31	R ü s s e l	В.	and W h i t e h e a d			Α. N. PHncipia	Mathematica, vol.		I—III.
	Cambridge, 1910-1913.
32	Важным	научным		результатом	Гильберта было строго аксиоматическое			построе-
	ние геометрии		Эвклида (1899),		определившее дальнейший ход исследований по
	аксиоматизации научного знания.
33	См.: Г и л ь б е р т			Д., Б е р н а й с		П. Основания	математики,	Т.	1—2,
	1934-39,	рус. перевод — Т. 1-2, Μ., 1979--82.

34Критические замечания в связи с использованием идеи актуальной бесконечности высказывал еще Гаусс. Резко выступал против Кантора и ставил под сомнение методы классической математики также Л. Кронекер (1823—1891). Предшественником интуиционизма можно считать также А. Пуанкаре (1854-1912).

35	См.: М а р к о в		А. А. Конструктивная		математика /	Математический эн-
	циклопедический словарь. М., 1988, С. 285.
36	Цитируется	по: А.		Ф р е н к е л ь , И.	Б а р - Х и л л е л .	Основания теории
	множеств.	М.,	1968.	С. 15.

37Данное обстоятельство подчеркнул, в частности, венгерский исследователь А. Сабов в статье О превращении математики в дедуктивную науку (См. сб.: Исто- рико-математические исследования, вып. 12. М., 1959.

38	А р и с т о т е л ь . Метафизика. С. 63. Дальнейшее развитие эта мысль получит
	у Лейбница, разъяснявшего, что все аксиомы доказуемы посредством принципа
	противоречия.
39	В и т г е н ш т е й н Л. Логико-философский трактат.

40См. там же. 3.331—3.333 и др.

41Там же. 5.4731, 5.4732.

42Там же. 4.462.

43Известно, что среди обстоятельств, способствовавших возвращению Витгенштейна в философию и формированию его нового мышления, была и лекция теорети-

ка интуиционизма Брауэра, прочитанная в Вене в 1927 (?) году. Стоит отметить и то, что во время визита в Москву в 1935 году Витгенштейн встречался с Колмогоровым, одним из создателей конструктивистского направления в обосновании математики.

ххх

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЧАСТЬ I

1—5.

Следование

правилу

(Ср. Философские

исследования

189,

190, и далее . ) . ——

Переходы определяются формулой (1—2).

Продолжение ряда (3) . Неумолимость математики; математи-

ка и истина (4—5), Замечание об измерении (5) .

6—23.

Логический

вывод.

Слово «все»; умозаключение от <<(х).

/χ»

κ «/α»

( 1 0 - 1 6 ) . Логический вывод и истина

( 7 - 2 3 ) .

24—74.

Доказательство.

Доказательство как образец или модель,

норматив. Пример: рука — пентаграмма (25 и далее). Дока-

зательство как картина эксперимента (36). Пример: 100 ша-

ров

(36

и

далее).

Конструирование

фигур

из

их

частей

(42—72). Математическое удивление. Доказательство и убеж-

дение. Математика и сущность (32, 73, 74). Глубина сущнос-

ти: глубокая потребность в конвенции (74).

75—105.

Вычисление

и

эксперимент.

«Развертывание»

математи-

ческих свойств. Пример 100 шаров (75, 86, 88).

Развертыва-

ние свойств многоугольника (76), цепи (79, 80, 91, 92). Из-

мерение (93, 94). Геометрические примеры (96, 98). Внут-

ренние свойства

и отношения (102—105); примеры из логики

цвета.

106—112.

Математическая

вера.

113—141.

Логическая

принудительность.

В каком смысле логичес-

кий аргумент

принудителен? (113—117). Неумолимость логики

в сравнении с неумолимостью закона (118). «Логическая ма-

шина» и кинематика твердых тел (119-125). «Жесткость» ло-

гического долженствования» (121). Машина как символ ее об-

раза действия

(122). Применение слова, схваченного мгновен-

но

(123—130).

Возможность как тень действительности

(125).

Применение неверно понятого слова, толкуемого как некий

необычный процесс (127). (К 122—130 см. Философские

ис-

следования

191—197.) Законы логики как «законы мышления»

(131-133). Ошибка

в вычислении (134-136).

Замечание об

измерении (139). Логическая невозможность (140). «То, что

мы предлагаем,

это на самом деле заметки по естествен-

ной истории человека» (141).

142—155.

Основание

процесса

вычисления

и логического

вывода.

Вычисление, в котором не прибегают к предложениям

(142—144).

Пример с продажей

бревен

(142—151). Являются

ли наши законы вывода вечными и неизменными?» (154). Ло-

XXXI

		Оглавление
	гика предшествует истине (155).
156—169.	Математика, логика		и опыт.	Доказательство и экспери-
	мент (156—161). Что представляет			собой логика в математике:
	она	действует через	правила нашего языка		(164). Математик
	—	изобретатель, не открыватель (167).
ПРИЛОЖЕНИЕ I
1—4.	Типы предложений.		Арифметика, осуществляемая без
	предложений (4).
5—7.	Истина и доказуемость в системе Principia				mathematica.
8—19.	Дискуссия о предложении «Р», утверждающем свою собствен-
	ную недоказуемость в системе Principia Mathematica.
	Роль противоречия в языковой игре			(11—14,	17).

20.Предложения логики. «Предложение» и «предложение-форма».

ПРИЛОЖЕНИЕ II
1-3.	Диагональный метод.	Понятие	«несчетного» (2).	Сравне-
	ние понятий действительного числа		и кардинального	числа

(3).

4.Болезнь времени.

5.Обсуждение предложения «Не существует наибольшего кардинального числа».

6-7	Иррациональные числа.
8-9.	К 0
10—13.	Обсуждение предложения «Дроби невозможно упорядочить в

последовательность по их величине».

14.Сравнение разных игр.

15—16. Обсуждение тезиса, что дроби (пары чисел) можно упорядочить в бесконечный ряд.

17.Слово «бесконечный».

18.Финитизм, бихевиоризм. Общие замечания.

ЧАСТЬ и
1-2.	Доказательство.	Математическое доказательство должно
	быть обозримым. Роль определений (2).
3—8.	РлссЕЛовская логика и идея сведения арифметики к символи-
	ческой логике,	Применение исчисления должно само за-
	ботиться о себе (4). Доказательство в РАССЕЛОВСКОМ исчисле-
	нии, в десятичном исчислении и в исчислении черточек.
9—11.	Доказательство.	Доказательство как запоминающаяся кар-
	тина (9). Воспроизведение доказательства-образца (10-11).
12—2Ö-	РАССЕЛОвская логика	и проблема соотношения различных тех-
	ник вычисления.	Что значит изобретение десятичной систе-

XXXII

		ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
	мы?	(12) Доказательство в РАССЕЛОВСКОМ исчислении и в деся-
	тичной системе		(13). Наглядные и ненаглядные знаки для чи-
	сел	(16). Соотношение между		сокращенными и несокращен-
	ными техниками вычисления (17—20).
21-44.	Доказательство.		Идентичность и воспроизводимость дока-
	зательства (21). Доказательство как образец. Доказательство и
	эксперимент (22-44). Доказательство и математическое убеж-
	дение (25—26).		Путем доказательства мы пробиваемся к за-
	ключению (27). Доказанное предложение как правило. Оно
	призвано показывать нам, что			имеет смысл говорить				(28).
	Предложения математики как «инструменты языка»						(29). До-
	казательство вводит новое понятие (31). Какое понятие дает
	«р р»? (32). <<р р» как центр тяжести языкового способа пред-
	ставления (33). Доказательство как часть некой институции
	(36). Важность различия определения смысла и						употреб-
	ления смысла (37). Признание доказательства;					«геометричес-
	кая»	концепция доказательства		(38—40). Доказательство				как
	принятие определенного применения знаков (41).						«Доказа-
	тельство должно быть наглядной процедурой»				(42). «Логика не
	проходит как основание всей математики, поскольку убеди-
	тельность логического доказательства всецело зиждется на его
	геометрической		убедительности.	(43). В математике можно
	избежать логических доказательств (44).
45—64.	РАссЕЛОвская логика. —— Соотношение обычной и						РАССЕЛОВ-
	ской техники доказательства (45). Критика концепции логики
	как	«основания» математики. Математика — пестрая мешани-
	на вычислительных техник. Сокращенная техника как новый
	аспект несокращенной (46—48). Замечание				о тригонометрии
	(50). Десятичная система обозначений независима от вычис-
	ления единичных черточек (51). Почему РАссЕЛОвская логика
	не учит нас делению? (52). Почему математика — не логика?
	(53). Рекурсивное доказательство (54). Доказательство и эк-
	сперимент (55). Соответствие вычислений в штриховой и в
	десятичной системах обозначений (56—57). Несколько доказа-
	тельств одного и того же предложения; доказательства и смысл
	математического предложения (58—62). Точное соответствие
	убедительного перехода в музыке и математике (63).
65—76.	Вычисление и эксперимент.			Являются	ли	предложения
	математики антропологическими предложениями?					(65). Мате-
	матические предложения как предсказания				соответствующих
	результатов вычисления (66). Согласие — часть феномена вы-
	числения (67). Если вычисления — эксперимент, то что такое
	ошибка в вычислении? (68). Вычисления как эксперимент и
	как	путь (69). Доказательства способствуют взаимопонима-
	нию.	Эксперимент предполагает его (71). Математика и наука
	об условных рефлексах вычисления (72). Понятие вычисле-

XXXIII

2—1923

	Оглавление
	ния исключает неразбериху (75—76).
77—90.	Противоречия.	Игра, в которой делается первый		ход,
	всегда выигрывает (77). Вычисления с использованием		(а	—
	а). В вычислении нет провалов (Abgrunde), если я их		не ви-
	жу (78). Обсуждение	парадокса гетерологического (79). Про-
	тиворечие, рассматриваемое с точки зрения языковой		игры.
	Противоречие как «скрытый недуг» вычислений (81). Проти-
	воречие и пригодность	вычисления (81). Непротиворечивость
	доказательства и неверное применение идеи механических			га-
	рантий от противоречия (82—89). «Моя цель — изменить точку
	зрения на противоречия и непротиворечивость доказательства»
	(82). Роль предложения: «Я должно быть ошибся в вычисле-
	нии» — ключ к пониманию «оснований» математики (90)

ЧАСТЫН

1—7. Об аксиомах. — Самоочевидность аксиом (1—3). Самоочевидность и применение (2—3). Аксиома и эмпирическое предложение (4—5). Отрицание аксиомы (5). Математическое предложение стоит на четырех, — не на трех — ногах (7).

8—9. Следование правилу. — Описание с помощью правила (8).

10.Арифметическое допущение не привязано к опыту.

11—13. Понимание арифметики как естественной истории чисел. — Это суждение с помощью картины (12).

14.Внешнее отношение логического (математического) предложе-

ния.

15—19. Возможность осуществления прикладной математики в отсутствие чистой математики. — Математика не обязательно осуществляется в предложениях; центр тяжести может заключаться в действии (15). Коммутативный закон как пример

(16-17).

20. Вычисление как механическая деятельность. •21. Картина как доказательство.

22-27. Интуиция.

28.Какова разница между не-вычислением и ошибочным вычис-

лением?

29—33. Доказательство и математическое формирование понятия. — Доказательство изменяет формирование понятия. Формирование понятия как граница эмпирии (29). Доказательство не принуждает, а ведет (30). Доказательство направляет наш опыт в определенные русла (31, 33). Доказательства и предвидение (33).

34.Философская проблема такова: как возможно говорить истину

ив то же время усмирять прочные предрассудки?

35—36. Математическое предложение. — Мы признаем его тем, что поворачиваемся к нему спиной (35). Эффект доказательства:

XXXIV

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

вверяешься новому правилу 936).

39—42. Синтетический характер математических предложений. — Распределение (дистрибуция) простых чисел как пример (42).

40.Результат предполагается эквивалентным операции.

41.То, что доказательство должно быть наглядным, означает, что причинность не играет в доказательстве никакой роли.

43—44. Интуиция в математике.

47.Математическое предложение как определение понятия, которое следует за открытием новой формы.

48.Работа математической машины всего лишь картина работы машины.

49.Картина как доказательство.

50—51. Переворачивание слова.

52—53. Математическое предложение и эмпирическое предложение. Принятие математического понятия выражает уверенное ожидание определенного опыта; однако установление этой ме-

ры не эквивалентно высказыванию этого ожидания (53). 55—60. Противоречие. Лжец (58). Толкование противоречия как

чего-то сверх-пропозиционального, как бы памятника с головой двуликого Януса, возвышающегося над предложениями логики (59).

ЧАСТЫУ
1—4.	Математика как игра и как машинообразная деятельность.
	Вычисляет ли вычислительная машина?		(2) В какой мере че-
	ловеку необходимо иметь понятие о «предложении»,			чтобы по-
	нимать РАссЕЛОвскую математическую логику? (4) .
5—8.	Причиняет ли вред вычислению	как достоянию математики
	неправильное понимание возможностей его применения?
	Теория множеств (7).
9—13.	Закон исключенного третьего в математике. — Там, где для
	решения с помощью закона достаточного		основания отсутству-
	ет база, ее приходится изобретать, — дабы применение этого
	закона обрело некий мифический смысл.
14—16,	«Алхимия» понятия бесконечного и других математических по-
21—23.	нятий с непонятным применением.		Бесконечные предска-
	зания (23).
17—20.	Закон исключенного третьего. Математическое предложение
	как требование. Математическое	существование.
24—27.	Доказательство существования в математике.			«Гибельное
	вторжение логики в математику»	(24; см. также		43 и 48).
	Математически общее соотносится с математически особенным
	не так, как обычно соотносится общее с особенным			(25). До-
	казательство существования, не допускающее построения того,
	что [согласно доказательству] существует		(26—27).
2*

XXXV

Оглавление

29—40. Об экстенсиональном и интенсиональном в математике; ДЕДЕ киндово сечение. Геометрическая иллюстрация анализа (29). Теорема ДЕДЕКинда без иррациональных чисел (30). Каково глубокое содержание этой теоремы? Картина числовой прямой (32, 37). Обсуждение понятия сечения (23—34). Общность функций неупорядоченной общности (77). Обсуждение математического понятия функции, экстенсия и интенсия в анализе (39-40).

41.Понятия, встречающиеся в «необходимых» предложениях, должны иметь значение и в предложениях не-необходимых

42—46. О доказательстве и понимании математического предложения Доказательство, понимаемое как движение от одного понятия к другому (42). Понимание математического предложе ния (45—46). Доказательство вводит новое понятие. Доказа тельство призвано убеждать кого-то в чем-то (45). Доказа-

тельство существования' и конструирование (46).

47.Понятие по сути не является предикатом.

48.«Математическая логика» совершенно заморочила мышление математиков и философов.

49.	Числовой знак сопутствует знаку понятия и служит мерой
	только вместе с ним.

50.О понятии общего.

51.Доказательство показывает как достигается результат.

52—53. Общие замечания. Философ — тот, кто должен излечиться от многих недугов рассудка, прежде чем сможет достичь понятий здравого человеческого разумения.

ЧАСТЬ V

1.Роль предложений, толкующих о мерах и не являющихся эмпирическими предложениями. Такого рода предложение (например, «12 дюймов = 1 футу») встроено в некую технику и, стало быть, принадлежит к условиям этой техники, но не как высказывание об этих условиях.

2.* Роль правила. Оно может применяться и для предсказания.

Это зависит от свойств средств измерения и от людей их применяющих.

3.Математическое предложение — преобразование определенного выражения. Правило, рассмотренное с точки зрения полезности и — с точки зрения его ранга. Как допустить, что два арифметических выражения говорят одно и то же. Эквивалентными их делает арифметика.

4.Некто изучает арифметику просто следуя моим примерам. Если я говорю: «Действуй с этими числами так, как я действовал

с теми, и ты получишь такой-то результат» это представляется одновременно и предсказанием и математическим пред-

XXXVI

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ложением.

5.Не стирается ли незаметно, с той и другой стороны, контраст между правилами описания и дескриптивными предложениями?

6.Что является тем общим для математического предложения и математического доказательства, на основе чего и то и другое следует называть «математическим»? Доказательство как картина. Эту картину превращает в вычисление не одно согласие, а согласие согласий.

7.Меняется ли смысл предложения с нахождением доказательства? Новое доказательство дает предложению место в новой системе.

8.РлссЕловское «ДО».

Предположим, мы получили какие-то свои результаты за счет скрытого противоречия. Делает ли это их незаконными? Могли бы мы не допустить противоречивую позицию?

9.«Метод механического предотвращения противоречия». Здесь не совершенствуется плохая математика, а изобретается новый фрагмент математики

10.Должны ли логические аксиомы быть всегда убеждающими?

11.Люди, которые иногда делают сокращение с помощью выражений значения 0.

12.Допустим, исчисление утратило для меня смысл, поскольку я узнал, что из него можно получить какой угодно результат — разве оно не имело смысла до тех пор, пока я не узнал это?

Считается, что противоречие должно быть бессмысленным.

13.Для чего математике нужно основание?

14.Практическое значение вычисления. Вычисление и эксперимент.

15.Предполагается ли, что математика проясняет факты? Разве математика не призвана определять характер того, что называется «фактом»? Разве она не должна научить нас вопрошать о фактах?

В математике нет причинных связей, а только структурные (модельные) связи.

16.Примечания.

17.Сеть соединений в стене. Почему мы называем это математической проблемой? Осуществляет ли математика эксперименты над единицами?

18.«Предложение, которое говорит о самом себе, что оно недока-

зуемо»

как это нужно понимать?

19.Конструирование знака-предложения, исходя из аксиом и в соответствии с правилами; выявляется: мы одновременно и доказали предложение, и продемонстрировали, что его действительный смысл должен быть ложным.

20.Вычисление и эксперимент.

XXXVII

Оглавление

21.Показывает ли противоречие «гетерологический» логический характер этого понятия?

22.Некая игра. А после определенного хода любая попытка про-

должить игру оборачивается нарушением правил.

23.Логический вывод — часть языковой игры. Логический вывод

инелогический вывод. Правила логического вывода не могут быть ни ошибочными, ни верными. Они определяют значение соответствующих знаков.

24.Разумным действиям с числами не обязательно быть тем, что мы называем «вычислением».

25.Не является ли математика с абсолютно фантастическим применением всё-таки математикой?

26.Формирование понятий может быть существенным для большой части математики; и не играть никакой роли в других частях.

27.Люди не замечающие противоречия и выводящие из него заключения. Преобразовать такую математику в математику, — разве это не может быть математической задачей?

28.Если бы в арифметике действительно было найдено противоречие, это показало бы, что арифметика с таким противоречием может прекрасно служить нам.

29.«Класс львов не есть лев, класс же классов есть класс».

30.«Я всегда лгу». Какую роль способно играть это предложение в человеческой жизни?

31.Логическое следование. Не является ли правило чем-то условным? «Для человека невозможно признать, что объект отличен от себя самого».

32.«Верное — т.е. соответствующее правилу».

33.«Принести то же самое» — как я могу объяснить это кому-то?

34.Когда при разложении следует говорить о доказательстве существования «777»?

35.«Формирование понятия» может означать разные вещи. Понятие правила формирования бесконечной десятичной дроби.

36.Существенно ли для понятия вычисления то, что обычно люди получают этот результат?

37.Если я спрашиваю, например, движется ли определенное тело согласно уравнению параболы, — что делает в этом случае математика?

38.Вопросы о пути формирования понятий в математике.

39.Можно ли в конечном счете не прибегать в математике к эксперименту?

40.Сочетание форм. Возможности складывания листа бумаги. Предполагается ли что мы не разделили геометрическую и физическую возможность? Не может ли быть, что люди при некоторых обстоятельствах не получают при цифровых вычислениях соответствующего результата?

XXXVIII