Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

ΙΙί 1939-1940

систему предполагает рекурсивное определение. Это определение не вводит, однако, сокращения одного выражения через другое. Индуктивное доказательство в десятичной системе не содержит, конечно, множества всех знаков, которые переводились бы через рекурсивное определение в систему знаков-черточек. Потому это общее доказательство не может быть переведено путем рекурсивного определения в некое доказательство в системе черточек»?

Рекурсивное определение вводит новую технику знаков.— Оно должно, следовательно, осуществлять переход к новой «геометрии». Нам преподается новый метод опознания знаков. Вводится новый критерий идентичности знаков.

55. Доказательство показывает нам, что должно получиться. — И поскольку каждое воспроизведение доказательства должно демонстрировать именно это, то оно должно автоматически воспроизводить, с одной стороны, результат, а с другой — обязательность его сохранения.

Это значит: мы воспроизводим не только условия, в которых был получен однажды данный результат (как при эксперименте), но и сам результат. И все же доказательство не является игрой с заранее оговоренными условиями, поскольку оно должно быть способно снова и снова вести нас [указывать нам путь]., Мы должны быть способны, с одной стороны, совершенно автома-

тически воспроизводить доказательство, а с другой — это воспроизведение всегда должно оставаться доказательством результата. «Доказательство должно быть обозримым» — это положение, по сути, обращает наше внимание на различие понятий: «повторить доказательство» и «повторить эксперимент». Повторить доказательство не означает воспроизвести условия, в которых однажды был получен определенный результат; это значит повторить каждую ступень доказательства и его результат. Стало быть, доказательство должно быть чем-то, допускающим совершенно автоматическое воспроизведение, но при всем том каждое такое воспроизведение должно обладать доказательной силой, заставляющей признать данный результат.

56. В каком случае мы говорим: одно логическое исчисление «соответствует» другому, пусть даже оно является его сокращенной формой? — «В том случае, если его результаты путем соответствующих дефиниций могут быть переведены в результаты этого другого исчисления». Но разве оговорено, как нужно производить расчет при помощи этих определений? Что позволяет нам приз-

97

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

нать этот перевод? Является ли он в конечном счете игрой с заранее оговоренными правилами? Он становится таковой, если мы готовы признать только тот перевод, который приводит к привычному результату.

Почему мы называем некую часть логических исчислений РАССЕла соответствующей дифференциальному исчислению? — Потому что в ней доказываются предложения дифференциального исчисления. — Но ведь не в конечном же счете, не post hoc? — А разве это не безразлично? Достаточно того, что эти доказательства можно найти в системе рАССЕла! Но не являются ли они доказательствами этих предложений лишь в том случае, если их результаты можно перевести только в эти предложения? И будет ли это верным даже в случае умножения *в системе черточек при наличии нумерации черточек?

57. Здесь следует вполне определенно сказать, что расчеты в записи при помощи черточек всегда совпадают с расчетами в десятичной записи. Возможно, для того чтобы добиться надежного совпадения, мы в какой-то момент будем вынуждены прибегнуть к тому, чтобы заставить несколько человек повторить расчеты с черточками. И то же самое мы предпримем при расчетах с еще большими числами в десятичной системе.

А это, конечно, свидетельствует уже о том, что не доказательства в системе черточек делают убедительными доказательства в десятичной системе.

«Но ведь если бы даже не было вторых, то можно было бы использовать первые доказательства, чтобы доказать то же самое». — То же самое? Что значит «то же самое»? — Это значит, что доказательство с помощью черточек убедит меня в том же самом, хотя и не тем способом. — Ну, а если бы я сказал: «То, к чему нас ведет доказательство, не может быть определено независимо от этого доказательства»? — Убедился ли бы я при помощи доказательства в системе черточек в том, что доказанное предложение обладает потенциалом использования, которым его наделило доказательство в десятичной системе, — показала ли бы, на пример, система черточек то, что это предложение может быть доказано и в десятичной системе?

58. Разумеется, было бы бессмысленно говорить, что одно предложение не может иметь больше одного доказательства, — именно это мы и утверждаем. Но нельзя ли сказать: это доказательство показывает, что ... получается, если делать это; другое доказательство по-

98

II, 1939-1940

казывает, что это выражение получается, если делать нечто иное? Ибо разве, например, математический факт, что 129 делится на 3, независим от того, что этот результат получается при этом расчете? Я подразумеваю: существует ли факт этой делимости независимо от логического исчисления, в ходе которого получается такой результат; или это является фактом именно данного исчисления?

Представь себе, что говорилось бы: «Путем счета мы познаем свойства чисел».

Но существуют ли свойства чисел вне счета?

«Два доказательства доказывают одно и то же, если они меня убеждают в одном и том же». — В каком же случае они убеждают меня в одном и том же? Откуда я знаю, что они убеждают меня в одном и том же? Конечно же, не в результате интроспекции. К принятию этих правил можно подвести разными путями.

59. «Каждое доказательство демонстрирует не только истинность доказанного предложения, но и то, что оно может быть доказано таким образом». — Но ведь оно может быть доказано и другим способом. — «Да, но доказательство доказывает это определенным способом и при этом доказывает, что это может быть продемонстрировано именно этим способом». — Но и это можно показать с помощью какого-то другого доказательства. — «Да, но не именно этим способом». —

Это означает примерно следующее: данное доказательство есть математическая сущность, которая не может быть заменена никакой другой; можно сказать, что оно способно убедить нас в чем-то таком, в чем не в состоянии убедить ничто иное и что можно выразить неким предложением, не соотнесенным ни с каким другим доказательством.

60. Но не допускаю ли я грубой ошибки? Для арифметических предложений и предложений логики РлссЕла как раз существенно то, что к ним ведут различные доказательства. Более того, что к каждому из них ведет бесконечно много доказательств.

Верно ли, что каждое доказательство убеждает нас в чем-то таком, в чем может убедить нас только оно? Не стало ли бы тогда доказанное предложение как бы избыточным, а само доказательство тем, что уже доказано?

Убеждает ли меня доказательство лишь в доказанном предложении? Что значит: «Доказательство является математической сущностью,

99

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

которая не может быть заменена никакой другой»? Это означает ведь, что каждое из доказательств имеет свое собственное значение, каким не обладает ни одно другое. Можно было бы сказать: «— что каждое доказательство, даже уже доказанного предложения, вносит определенный вклад в математику». Почему говорится о вкладе, если дело состоит лишь в доказательстве предложения? Ну, можно сказать: «Новое доказательство выявляет (или создает) новую связь». (Но тогда разве не существует математического предложения, говорящего о наличии этой связи?)

О чем мы узнаем, когда видим новое доказательство. — помимо предложения, которое и без того уже знали? Узнаем ли мы нечто такое, что не может быть выражено в математическом предложении?

61. Насколько использование какого-то математического предложения зависит от того, что позволено считать его доказательством, а что нет?

Можно же сказать: если выражение „137 χ 373 = 46792" в обыч-

ном смысле верно, то должна существовать такая схема ум-

ножения, в крайних точках которой находятся стороны этого равенства. И такая схема является образцом, удовлетворяющим определенным правилам.

Берусь утверждать: не признай я схему умножения одним из доказательств предложения, это означало бы, что и применение этого предложения выпало из схем умножения.

62.Подумаем вот о чем: недостаточно того, чтобы два доказательства приводили к одному и тому же знаку-предположению! Ибо откуда мы знаем, что этот знак оба раза говорит об одном и том же? Это должно вытекать из других взаимосвязей.

63.Точное соответствие верного (убедительного) перехода в музыке и математике.

64.Представь себе, что я даю кому-нибудь задание: «Найди доказательство предложения...» — решение должно было бы заключаться в предъявлении мне определенных знаков. Прекрасно, а каким условиям должны удовлетворять эти знаки? Они должны быть доказательством такого предложения — но является ли это геометрическим условием? Или психологическим? Иногда это можно назвать геометрическим условием; там, где средства доказательства заранее предписаны и ведется поиск определенной их комбинации.

65.Являются ли предложения в математике антропологическими предложениями, которые говорят о том, как мы, люди, умозак-

100

И, 1939-1940

лючаем и вычисляем? — Является ли свод законов сочинением по антропологии, которое сообщает нам, как люди, принадлежащие к этому народу, обращаются с вором и т. д.? Можно ли сказать: «Судья справляется в книге по антропологии и в соответствии с этим приговаривает вора к тюремному заключению»? Так ведь судья ИСПОЛЬЗУЕТсвод законов не как руководство по антропологии.

66. Предсказание говорит не о том, что человек, следующий при преобразовании этому правилу, получит именно это, а о том, что он получит такой результат в том случае, когда мы говорим, что он следует этому правилу.

А что, если бы мы сказали, что математические предложения в этом смысле являются предсказаниями: они предсказывают, чего достигнут члены того или иного общества, которые обучились этой технике, в ходе совместных согласованных действий "с остальными членами этого общества? „25 χ 25 = 625" означало бы тогда, что люди, если они, по нашему мнению, следуют правилам умножения, при умножении 25 χ 25 придут к результату 625. — То, что это — верное предсказание, никаких сомнений не вызывает; как и то, что счет, по сути, основывается на таких предсказаниях. Это значит, что мы не называли бы нечто словом «считать», если бы не могли с уверенностью высказать подобное предположение. Это означает, собственно: счет — некая техника и все сказанное относится к сущности техники.

67. Это согласие принадлежит счету по самой		его сути, посколь-
ку он надежен.	,	•

В технике счета должны быть возможны предсказания.

Аэто делает технику счета похожей на технику игры наподобие шахмат.

Но как в таком случае обстоит дело с согласием — не означает ли оно, что один человек сам по себе не мог бы считать? Ну, во всяком случае, один человек не смог бы считать лишь однажды в своей жизни.

Можно было бы сказать: все возможные позиции в шахматах позволительно понимать как предложения, гласящие, что они (сами но себе) являются возможными игровыми позициями; или же как предсказания: люди могут достичь этих позиций в результате определенных ходов, которые они единодушно объясняют согласно правилам. Тогда полученная таким образом игровая позиция является доказанным предложением этого рода.

«Счет есть некий эксперимент». Счет может быть экспери-

10!

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ментом. Учитель просит ученика произвести некий расчет, чтобы понять, умеет ли он считать; это эксперимент.

Когда утром в печке разводят огонь, является ли это экспериментом? Может являться в том или ином случае.

Вот так же и шахматные ходы не являются доказательствами, а положения фигур не являются предложениями. И математические предложения не являются игровыми позициями. И, таким обра зом, они не являются также предсказаниями.

68.Если расчет — некий эксперимент, что является тогда ошибкой в расчете? Ошибка в эксперименте? Конечно же, нет; ошибка в эксперименте появилась бы в том случае, если бы не соблюдались условия эксперимента, если бы, например, кого-то заставили считать при страшном шуме.

Апочему не скажешь: хотя ошибка в расчете — это не ошибка в эксперименте, но это все же неверный ход эксперимента — иногда объяснимый, иногда необъяснимый.

69.«Расчет, например умножение, является экспериментом: мы

не знаем,		что	получится,	и узнаем это лишь тогда, когда будет
выполнено умножение». —				Конечно, так же как нам неизвестно,
когда	мы	идем	гулять, в каком месте окажемся через		пять	ми-
нут —	но разве		это делает	прогулку экспериментом? —	Нет;	но

при расчете я же хотел заранее знать, что получится, ведь меня интересовало именно это. Мне любопытно знать, каков будет результат. Но не в том смысле, что я намереваюсь сказать, а то, что я должен сказать.

Но разве на примере этого умножения ты интересуешься не тем, как именно будет считать большинство людей? Нет, во всяком случае, в обычной ситуации — нет, если даже я устремляюсь вместе со всеми в какой-то общий пункт назначения.

Но ведь расчет как раз и показывает мне экспериментально, где находится этот пункт. Он позволяет мне мысленно отправиться в путь и уяснить, куда я попаду. А правильное умножение есть образец того, как мы все проделываем этот путь, когда нас направляют таким образом.

Опыт учит, что мы все признаем такой расчет верным.

Мы осуществляем расчет и получаем результат. Но я хочу сказать, что нас здесь интересует не достигнутый — скажем, при тех

или иных	условиях	— результат,	нас	интересует картина
действия,	разумеется,	действия убедительного,		так сказать, согла-

102

Η,1939-1940

сованного, но картина не итога эксперимента, а пути к нему.

Мы не говорим: «Значит, мы действуем вот так!» — а говорим: «Значит, это происходит вот так!»

70. Наше согласие проявляется в одинаковых действиях, — но мы пользуемся этой тождественностью только для предсказания того, с чем согласятся люди. Так же как предложением «Эта тетрадь красная» мы пользуемся не только для того, чтобы предсказать, что большинство людей назовет эту тетрадь «красной».

«И это мы называем „тем же самым"». Если бы не существовало совпадения в том, что мы называем «красным» и т. д. и т. д., язык перестал бы существовать. Каково же положение дел с согласием относительного того, что мы называем «согласием»?

Мы можем описать феномен языковой путаницы; но что является для нас ее симптомом? Это не обязательно должна быть сумятица и хаотичность в действиях. Скорее уж, это тот случай, когда я не разбираюсь в том, что говорят люди, не могу реагировать согласованно с ними.

«Это для меня не языковая игра». В таком случае я мог бы также сказать: хотя они сопровождают свои действия произнесением звуков и я не могу назвать эти действия «путаными», но все же у них нет языка. — Но, может быть, их действия стали бы путаными, если бы им помешали издавать эти звуки.

71. Можно сказать: доказательство служит пониманию. Эксперимент предполагает это.

Или даже: математическое доказательство формирует наш язык. Но все же нельзя отрицать того, что посредством математического доказательства можно делать научные предсказания относительно доказательств, выполняемых другими людьми. — Если у меня кто-то спрашивает: «Какого цвета эта книга» — и я от-

вечаю: «Она зеленая», — то не могу ли я с тем же успехом ответить: «Люди, говорящие по-немецки, называют ее „зеленой" („grün")»? А разве он не мог бы при этом спросить: «А как называешь ее ты?» Ведь он хотел услышать мой ответ.

«Границы эмпиризма.>>

72. Но ведь существует наука об условных рефлексах счета; является ли это математикой? Такая наука должна опираться на эксперименты: и этими экспериментами будут вычисления. Но что, если эта наука стала бы весьма точной и, наконец, даже «математической» наукой?

103

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Ну, а является ли результатом этих экспериментов совпадение расчетов людей или же их согласие в том, что они называют «согласием»? И т. д.

Можно сказать: такая наука не функционировала бы, если бы у нас не было согласия в понимании идеи совпадения.

Понятно, что можно использовать математические работы для изучения антропологии. Но не вполне тогда ясно одно: должны ли мы говорить, что «этот текст показывает нам, как у этого народа принято оперировать знаками», или же мы должны говорить: «Этот текст показывает нам, какие разделы математики освоил этот народ»?

73. Могу ли я, закончив операцию умножения, сказать: «Итак, с этим я согласен — »? — Но могу ли я то же самое сказать, сделав лишь одно действие в умножении? Например, произведя умножение „ 2 x 3 = 6"? Не более чем, глядя на этот лист бумаги, я могу сказать: «Итак, это я называю „белым"»?

Это, на мой взгляд, было бы аналогично такому заявлению: «Вызывая в своей памяти то, что делал сегодня, я провожу своего рода эксперимент (я заставляю себя проделать все сначала), и воспоминание, которое затем проявляется, призвано показать мне, что ответят на вопрос о моих действиях другие, видевшие меня люди».

Что произошло бы, если бы мы чаще оказывались в такой ситуации: мы выполняем расчет и находим его правильным; затем выполняем его еще раз и обнаруживаем, что результат неверен: мы полагаем, что раньше допустили ошибку, — если затем мы произведем его снова, то нам покажется неверным наш второй расчет и т. д. ?

Ну, а надо ли все это называть расчетом или нет? — В любом случае невозможно применить этот расчет для предсказания того, что некто в следующий раз придет к тому же результату. — А нельзя ли сказать, что он неверно вычислил в этот раз, так как в следующий раз так же он уже не сосчитает? Я мог бы сказать: там, где существовала бы такая неуверенность, не было бы счета.

Но с другой стороны, я все-таки говорю: «Счет правилен — в том виде, как он выполнен». Не может быть ошибки в счете „12 χ 12 = = 144". Почему? Это предложение включено в наши правила.

Является ли „12х 12 = 144" высказыванием о том, что все люди, умножающие таким образом 12 на 12, непременно получают 144? 74. Допустим, я многократно произвожу один и тот же расчет,'

104

II, 1939-1940

чтобы удостовериться в том, что делал его правильно, и в конце концов признаю его верным. — Разве я повторял эксперимент не с целью убедиться в том, что и в следующий раз все будет протекать так же? — Но почему троекратное пересчитывание должно меня убеждать в том, что и в четвертый раз ход процесса будет тем же самым? — Я бы сказал: я пересчитывал, чтобы быть уверенным в том, что «я ничего не пропустил».

Опасность здесь в том, что мы ищем, как мне думается, оправдание своему действию там, где этого оправдания не требуется и где мы должны просто сказать: мы делаем это вот так.

Если кто-то снова и снова проводит эксперимент «постоянно с одним и тем же результатом», он тем самым делает эксперимент, который учит его тому, что называть «одинаковым результатом», то есть как использовать слово «одинаковый». Измеряет ли тот, кто измеряет стол дюймовой линейкой, и саму линейку тоже? Если он измеряет линейку, то он не может при этом измерять стол.

А что, если бы я сказал: «Измеряя стол дюймовой линейкой, человек проводит эксперимент, который учит его тому, что получается при измерении этого стола всеми другими дюймовыми линейками». Ведь нет сомнения, что, исходя из измерения одной линейкой, можно предсказать, что даст измерение другими линейками. Как несомненно и то, что невозможность такого предсказания разрушила бы всю нашу систему измерения.

Ни одна линейка, можно сказать, не была бы верной, если бы все линейки в общем не совпадали. — Но, говоря это, я не имею

ввиду, что они были бы тогда все неверными.

75.Счет потерял бы смысл, если бы наступила неразбериха. Подоб-

но тому как потеряли бы свой смысл слова «зеленый» и «голубой». И все же кажется нелепым утверждать, что предложение арифметики говорит: сумятица не наступит. — Не сводится ли решение этой проблемы просто к тому, что в случае наступления сумятицы предложение арифметики стало бы неложным, а бесполезным?

Подобно тому как утверждение, что длина этой комнаты 16 футов, не стало бы ложным в том случае, если бы наступила неразбериха в масштабах и измерениях. Его смысл, а не его истинность основывается на упорядоченном осуществлении измерений. (Но не будем здесь догматичны. Есть переходные случаи, затрудняющие рассмотрение.)

А что, если я скажу: математическое предложение выражает уверенность в том, что неразберихи не будет? —

105

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Тогда и употребление всех слов выражает уверенность в том, что неразберихи не будет.

Но ведь нельзя же сказать, что употребление слова «зеленый» свидетельствует, что путаницы не будет, поскольку тогда употребление слова «путаница» в свою очередь должно было бы утверждать то же самое об этом слове.

Если „25 χ 25 = 625" выражает уверенность в том, что здесь мы всегда легко придем к согласию, что путь, который заканчивается этим предложением, вполне приемлем, то почему оно не выражает уверенности в чем-то ином — скажем, в том, что мы всегда сможем прийти к согласию относительно его употребления?

С этими двумя предложениями мы играем не в одну и ту же языковую игру.

Можем ли мы быть равно уверены в том, что там увидим тот же цвет, что и здесь, и в том, что будем склонны назвать цвет тем же самым, если он будет тем же самым?

Вот что я хочу сказать: математика как таковая является всегда мерой, а не измеряемым.

76. Понятие счета исключает неразбериху. Что получилось бы, если бы кто-то, производя умножение в разное время, получал бы разные результаты, понимал это, но считал бы, что все в порядке? — Но тогда он не смог бы использовать умножение для тех же целей, для которых используем его мы! Почему же нет? А разве не ясно, что у него тогда ничего не должно было бы получаться.

Интерпретация счета как эксперимента представляется нам единственно реалистичной.

Все остальное, полагаем мы, просто вздор. В эксперименте мы имеем нечто вполне осязаемое. Это почти то же, как если бы утверждалось: «Поэт, когда он пишет стихи, проводит психологический эксперимент. Только так можно объяснить то, что стихотворение может иметь ценность». Сущность эксперимента искажается, если думать, что каждый процесс, результат которого нас очень интересует, является тем, что мы называем «экспериментом».

Каким-то обскурантизмом представляется заявление, что вычисление — это не эксперимент. Точно так же, как и утверждение, что математика не оперирует знаками или — боль не является формой поведения. Но происходит это только потому, что люди полагают, будто тем самым утверждается существование некоего неуловимого, то есть подобного тени, предмета наряду с предметами,

106