Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников

Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами

Цель модуля: Ознакомление с основными понятиями теории многополюсни ков и изучение основных методов анализа линейных цепей с многополюсными эле ментами.

Задача анализа цепей с многополюсными элементами

Известно два подхода к анализу цепей, содержащих многополюсные элементы (лампы, транзисторы, трансформаторы, интегральные микросхемы и др.).

Первый заключается в замене всех входящих в цепь элементов (в том числе и многополюсных) моделирующими цепями, составленными только из идеализиро ванных двухполюсников, с последующим исследованием процессов в полученной идеализированной цепи с помощью рассмотренных ранее методов. Основной недос таток такого подхода заключается в том, что число неизвестных токов и напряже ний моделирующей цепи может значительно превышать число интересующих реак ций цепи — токов и напряжений на зажимах реальных элементов.

Второй подход заключается в представлении многополюсных элементов в виде многополюсников. (Аналогичным образом можно рассматривать не только отдель ные многополюсные элементы, но и любые участки цепи, имеющие несколько вы водов, с помощью которых они соединяются с остальной частью цепи.) Уравнения электрического равновесия идеализированных цепей, содержащих многополюсни ки, могут быть сформированы на основании соотношений, связывающих токи и на пряжения на зажимах многополюсников, причем, как будет показано далее, число этих соотношений определяется только числом внешних выводов многополюсника и не зависит от его внутренней структуры. Очевидно, что такой подход дает воз можность устранить из рассмотрения участки идеализированной электрической це пи, токи и напряжения которых не представляют интереса в рамках решаемой зада чи, и, следовательно, существенно уменьшить число одновременно решаемых урав нений электрического равновесия. Для реализации такого подхода необходимо раз работать методику получения соотношений, связывающих между собой токи и на пряжения на зажимах многополюсников, и методику формирования уравнений электрического равновесия идеализированных цепей на основе этих соотношений. Решение указанных задач составляет основное содержание общей теории многопо люсников, развитой главным образом в работах Ю.Т. Величко, Р.А. Воронова, Э.В. Зе ляха, Г.Е. Пухова, В.П. Сигорского и В.И. Коваленкова. Рассматриваемые далее поло жения общей теории многополюсников в основном содержат результаты, получен ные в работах Э.В. Зеляха и В.П. Сигорского.

Классификация и схемы включения многополюсников

Напомним (см. модуль 1.4), что многополюсником называется участок идеа лизированной электрической цепи, соединяющийся с остальной частью цепи с по мощью нескольких внешних выводов (полюсов). Будем считать, что схема многопо люсника и параметры входящих в него элементов известны, хотя это в общем случае

573

не является обязательным. Более того, теория многополюсников позволяет полу чать схемы замещения устройств, внутренняя структура которых неизвестна. О та ких устройствах обычно говорят, что они представляются в виде «черного ящика». Ограничимся рассмотрением только линейных многополюсников, т. е. многопо люсников, в состав которых не входят идеализированные нелинейные пассивные и активные элементы.

В соответствии с классификацией цепей (см. модуль 1.5), многополюсники де лятся на активные и пассивные. Пассивные многополюсники не содержат идеали зированных активных элементов, активные включают в себя управляемые или не управляемые идеализированные источники энергии. Установить, есть ли в рассмат риваемом многополюснике неcкомпенсированные независимые источники тока или напряжения, можно путем измерений, производимых на внешних выводах многопо люсника.

Если все выводы многополюсника, содержащего неуправляемые источники энергии, соединены между собой (закорочены), то токи, хотя бы части выводов, бу дут отличны от нуля. Если внешние выводы этого многополюсника находятся в ре жиме холостого хода, то напряжения хотя бы между некоторыми парами полюсов не будут равны нулю. Многополюсники, удовлетворяющие таким условиям, называют ся автономными. Если в состав многополюсника входят только идеализированные пассивные элементы или идеализированные пассивные элементы и управляемые источники, то токи короткого замыкания всех выводов многополюсника и напряже ния холостого хода между его любыми полюсами равны нулю. Многополюсники та кого типа называются неавтономными.

Таким образом, к неавтономным многополюсникам относятся все пассив­ ные многополюсники, а также те активные многополюсники, которые не содержат неуправляемых источников тока или напряжения.

Анализ неавтономных многополюсников занимает особое место в теории це пей, так как большинство реальных многополюсных элементов, в частности элек тронные лампы и транзисторы могут быть представлены как неавтономные много полюсники.

В зависимости от того, удовлетворяет или не удовлетворяет теореме взаимно сти исследуемый многополюсник, различают взаимные и невзаимные многопо люсники. В соответствии с доказанной ранее теоремой взаимности (см. модуль 4.2) любые линейные многополюсники, составленные только из идеализированных пас сивных элементов, являются взаимными. Многополюсники, содержащие идеализи рованные управляемые источники, как правило, являются невзаимными.

Трудоемкость анализа цепей, содержащих многополюсники, так же как и цепей, составленных только из идеализированных двухполюсных элементов, в значитель ной степени зависит от выбора системы независимых токов или напряжений. При описании процессов, протекающих в цепях с многополюсными элементами, в систе му уравнений электрического равновесия включают только токи или напряжения,

574

которые можно измерить на полюсах многополюсников, т. е. связанные с их внеш ними выводами.

Систему независимых токов и напряжений многополюсника можно выбрать различными способами в зависимости от схемы включения многополюсника, т. е. от того, каким образом он соединен с остальной частью цепи. Одна из возможных схем включения многополюсника была рассмотрена в модуле 3.1, когда все внешние вы воды были разбиты на пары, образующие стороны (порты) многополюсника. Мно гополюсник, полюсы которого разбиты на пары, образующие n сторон, называют n­ сторонним или 2 x n­полюсником (рис. 7.1, а). Внутри многополюсника отдельные полюсы могут быть соединены между собой так, что они являются общими для раз личных сторон многополюсника. Например, в многополюснике, схема которого при ведена на рис. 3.25, а, соединены между собой полюсы 1' и 3', а также полюсы 1 и 2. Многополюсник, у которого один из полюсов является общим для всех n сторон, на зывается n + 1­полюсником (рис. 7.1, б). Заметим, что представление многополюс ника в виде 2 х n или n + 1 полюсников не связано с его внутренней структурой, а определяется только способом соединения многополюсника с остальной частью це пи. Любой многополюсник может быть включен и как 2 х n , и как n + 1 полюсник. В качестве примера, на рис. 7.2, а, б показано, как многополюсник с четырьмя внеш ними выводами (четырехполюсник) может быть включен как 2 x 2 или 3 + 1 полюсник.

Рис. 7.1. Включение многополюсника в качестве 2 х n (a) и n +1 (б) полюсников

Представление многополюсника в виде 2 х n полюсника обычно используют, если выводы многополюсника могут образовывать стороны только единственным образом. Если стороны могут быть выделены различными способами, то представ ление многополюсника в виде 2 х n полюсника неудобно, так как не позволяет про стым способом переходить от системы уравнений, соответствующих одному сочета нию пар полюсов, к уравнениям для другого сочетания. Представление многопо люсника в виде n + 1 полюсника также неуниверсально, поскольку один из его по люсов поставлен в неравноправное положение по отношению к другим.

575

Рис. 7.2. Включение четырехполюсника в качестве 2х2 (а) и 3+1 (б) полюсников

Очевидно, что наиболее общий характер носит такая система задания напря жений и токов многополюсника, при которой все его выводы равноправны по отно шению к образованию внешних соединений. Этому условию удовлетворяют два спо соба задания токов и напряжений (рис. 7.3). В первом (рис. 7.3, а) напряжения всех полюсов многополюсника отсчитываются относительно некоторого базисного узла, находящегося вне многополюсника, а токи всех выводов считаются направленными внутрь многополюсника. Такой выбор токов и напряжений удобен при формирова нии уравнений электрического равновесия цепи по методу узловых напряжений, поскольку токи и напряжения выводов многополюсника могут быть отождествлены с узловыми токами и узловыми напряжениями тех узлов цепи, к которым подклю чены соответствующие выводы многополюсника. Второй способ задания токов и напряжений многополюсника (рис. 7.3, б) удобен при использовании метода кон турных токов. Процессы в многополюснике характеризуются в этом случае напря жениями между выводами многополюсника и токами контуров, образованных сто ронами многополюсника и остальной частью цепи. Рассмотренные схемы включе ния многополюсников будем называть обобщенными (неопределенными).

Рис. 7.3. Обобщенные (неопределенные) схемы включения многополюсника

Анализируя обобщенные схемы, нетрудно установить, что напряжения полю сов многополюсника относительно базисного (u10, u20, … , uN0) не связаны между со бой какими либо соотношениями и могут задаваться независимо. В то же время из

576

второго закона Кирхгофа следует, что напряжения между выводами многополюсни ка u1, u2, … , uN выражаются через напряжения полюсов относительно базисного с помощью соотношений

;

;

. . . . . . . . .

, .

7.1

Из этих выражений следует, что напряжения между полюсами многополюсни ка не изменятся, если все напряжения полюсов относительно базисного будут изме нены на одно и то же значение. Таким образом, напряжения между полюсами не за­ висят от выбора базисного узла. Суммируя уравнения (7.1), находим, что напряже ния между выводами многополюсника связаны соотношением

...

0.

7.2

Таким образом, только N — 1 напряжений между выводами многополюсника могут быть заданы независимо.

Аналогично можно установить, что токи выводов многополюсника i1, i2, … , iN не зависят от абсолютных значений контурных токов i11, i22, … , iNN и определяются только их разностью:

;

;

. . . . . . . .

;

а токи всех выводов связаны соотношением

...

0.

7.3

Таким образом, несмотря на то, что все N контурных токов i11, i22, … , iNN являют ся независимыми, только N — 1 токов внешних выводов многополюсника могут быть заданы независимо.

В общем случае каждая пара внешних выводов многополюсника может рас сматриваться как его сторона (вход или выход), следовательно, для многополюсни

N	внешних выводов, можно выделить	—1 /2 сторон (число
ка, имеющегоN
сочетаний из	по 2). Стороны многополюсника, напряжения (токи) которых могут

быть заданы независимо от напряжений (токов) других сторон, называются незави симыми.

577