Книга 2. Линейные электрические цепи при гармоническом воздейст

вии

Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений

Цель модуля: введение понятия гармонических функций времени, изучение математических операций над гармоническими функциями времени, знакомство с дифференциальными уравнениями электрических цепей при гармоническом воз действии.

Понятие о гармонических функциях

Знакомство со свойствами электрических цепей и методами их анализа начнем с рассмотрения простейших линейных цепей при гармоническом воздействии. Если значения функции времени a(t) изменяются по синусоидальному или косинусои дальному закону

cos

sin

,

2.1

где ψ’=ψ+π/2 , то такую функцию будем называть гармонической.

Традиционно в электротехнической литературе используют синусную форму записи гармонической функции, а в радиотехнической — косинусную, которой и бу дем пользоваться в дальнейшем. Обе формы записи являются равноценными, отли чаются только началом отсчета значений функции и их можно проиллюстрировать одной и той же кривой (рис. 2.1, а).

Наибольшее значение гармонической функции Am называется амплитудой. Ее размерность совпадает с размерностью функции a(t). Наименьшее значение гармо

Рис. 2.1. Графики гармонической функции (a) и ее модуля (б)

87

нической функции равно ― Am. Аргумент θ = ωt + ψ функции, записанной в косинус ной форме, называется мгновенной фазой (фазой). Если гармоническая функция задана в синусной форме a(t) = Am sinθ’ = Am sin(ωt + ψ’), то ее фаза находится по фор муле θ = θ’ ­ π/2.

Величина ψ, равная значению мгновенной фазы θ при t = 0, называется на­ чальной фазой гармонической функции. Фаза и начальная фаза гармонической функции являются безразмерными величинами и выражаются в радианах (рад).

Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ее изменения ω = dθ/dt называется угловой частотой. Она выражается в радианах в се­ кунду (рад/с).

При выполнении практических расчетов начальную фазу гармонической функ ции ψ бывает удобно выражать в градусах (°). В этом случае при определении мгно венной фазы θ и мгновенного значения гармонической функции [значения функции a(t) в произвольный момент времени t] начальную фазу, выраженную в градусах, необходимо пересчитать в радианы:

рад 180 град.

Гармонические функции времени представляют собой один из видов периоди ческих функций. В общем случае функция времени называется периодической, ес ли ее значения повторяются через определенные промежутки времени. Наимень ший промежуток времени Т, через который наблюдается повторение значений функции, называется периодом. Таким образом, если а (t) ­ периодическая функция времени с периодом Т, то для нее должно выполняться равенство

,

2.2

где n — произвольное целое число.

Величина, обратная периоду T, называется частотой:

1. 2.3

Частота выражается в герцах (Гц).

Режим работы электрической цепи, при котором напряжения и токи всех вет вей цепи являются периодическими функциями времени или сохраняют неизмен ные значения, называется уcтановившимся. Строго говоря, электромагнитный процесс является периодическим только в том случае, когда условие периодичности (2.2) выполняется на неограниченно большом промежутке времени t ]­∞, ∞[ , т. е. если исследуемый процесс существует в цепи неограниченно длительное время. Ес ли процесс возник или прекратился при каком то конечном значении t, то в этот момент его периодичность нарушается. Постоянные токи и напряжения в ряде слу

88

чаев также удобно рассматривать как периодические с периодом Т = ∞ и частотой, равной нулю.

Очевидно, что процессы, имеющие место в реальных цепях, не могут быть бес конечно длительными, поэтому они могут считаться периодическими лишь при ближенно. Вследствие этого на практике принимают, что установившимся является такой процесс, при котором условие периодичности (2.2) выполняется на достаточ­ но большом интервале времени.

Если токи и напряжения цепи изменяются не по периодическому закону, то та кой режим работы цепи называется неустановившимся. Частным случаем процес сов, протекающих в таком режиме, являются переходные процессы, которые име ют место при переходе цепи от одного установившегося режима к другому. Теорети чески переходные процессы в цепи затухают бесконечно долго, и новый установив шийся режим наступает только при t ∞. Как будет показано далее (см. книгу 6), переходные процессы практически прекращаются (или, точнее, затухают до пренеб режимо малого уровня) через конечный промежуток времени, по истечении которо го процесс в цепи можно считать установившимся.

Таким образом, представление токов и напряжений в виде гармонических или других периодических функций времени (в том числе и в виде постоянных величин) следует рассматривать как приближенное математическое описание (математиче скую модель) реальных процессов, имеющих место в электрической цепи.

Определим период и частоту гармонической функции времени. Как известно, cos θ является периодической функцией θ с периодом, равным 2π. Следовательно, изменение времени на период Т соответствует изменению фазы θ на 2π:

2 .

2.4

Используя (2.3) и (2.4), находим Т = 2π/ω; ƒ = ω/(2π).

Выражения (2.3), (2.4) позволяют также определить угловую частоту гармони ческой функции по заданной частоте ƒ или периоду Т

2

2 .

2.5

Интервал времени, в котором значения гармонической функции положитель ны, например –[π/(2ω) + (ψ/ω)] < t < [π/(2ω) ― (ψ/ω)], называется положительным полупериодом, а интервал времени, в котором значения функции отрицательны, например [π/(2ω) ―(ψ/ω)] < t < [3π/(2ω) ― (ψ/ω)],― отрицательным. Совокупность значений функции на положительном полупериоде называется положительной, а совокупность значений функции на отрицательном полупериоде — отрицательной полуволной гармонической функции.

89

Рис. 2.2. Гармонические функции с положительной и отрицательной начальными фазами

При построении временных диаграмм (графиков) гармонических функций обычно бывает удобным откладывать по оси абсцисс не время t, а пропорциональ ную ему величину ωt (рис. 2.2).

В этом случае смещение начала координат относительноψближайшего макси

мума гармоническойt

функции будет равно ее начальной фазе

. Если начало коор

динат (точка ω

= 0) смещено вправо относительно ближайшего максимума гармо

нической функции, то начальная фаза

ψ

является положительной (кривая

0),

если влево (кривая

0) — отрицательной.

a (t)

=

Am

1 cos

(ωt + ψ )

и

a (t)

Если фазы

1 и 2 двух гармонических функций

1

1

=

Am

2 cos

(ωt + ψ )

отличаются на

2

2

0,

2.6

то говорят, что эти функции сдвинуты по фазе, причем функция a1(t) опережает по фазе функцию a2(t). Как следует из (2.6), разность фаз этих функций равна разности их начальных фаз и не зависит от времени. Две гармонические функции одинаковой частоты совпадают по фазе, если разность их начальных фаз равна нулю, и находят ся в противофазе, если φ = ± π.

Линейные операции над гармоническими функциями

Важнейшим свойством гармонических функций времени является то, что в ре зультате линейных операций, производимых над ними (умножение на постоянное число, дифференцирование, интегрирование, алгебраическое сложение нескольких гармонических функций одинаковой частоты), получают гармонические функции той же частоты.

Действительно, при умножении гармонической функции времени a1(t) = Am1 cos(ω1t + ψ1) на постоянный множитель α получаем новую гармоническую функ

цию

·

·cos

·cos

,

90

угловая частота ω и начальная фаза ψ которой совпадают с угловой частотой ω1 и начальной фазой ψ1 исходной функции, а амплитуда Аm = α ∙Am1 отличается от ам плитуды исходной функции в α раз.

После дифференцирования гармонической функции a1(t) = Am1 cos(ω1t + ψ1) по лучаем

d	d	cos		sin
d	d
		cos		cos
			2
гармоническую функцию той же частоты				, амплитуда и начальная фаза ко

торой определяются следующими выражениями:

,2 ·

Интеграл от гармонической функции a1(t) = Am1 cos(ω1t + ψ1)

d	cos		d			sin
	cos	2		cos

представляет собой гармоническую функцию той же частоты, а ее амплитуда и на чальная фаза определяются следующими выражениями (постоянная интегрирова

ния принята равной нулю):

Am = Am

/

,

ψ = ψ ―(π/ ).

1

1

2а (t)

=

Am

(ωt + ψ )

и

a (t)

=

Am

При(ωсложенииt

двух гармонических функций

1

1 cos

1

2

=

2 cos

+ ψ )

одинаковой частоты получают новую гармоническую функцию

a(t)

2

2.7

той же частоты [6]:

cos

,

где

2

cos

;

tg

sin

sin

·

cos

cos

Многократно применяя формулу (2.7), можно убедиться, что результат алгеб раического суммирования любого числа гармонических функций одинаковой часто ты представляет собой гармоническую функцию этой же частоты. Аналогичным об разом можно установить, что линейная комбинация произвольного числа n гармо нических функций времени одной частоты

cos

cos

,

91