Баланс мощностей

Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую N идеальных ис точников напряжения, М идеальных источников тока и Н идеализированных пас сивных элементов. Пусть ik , uk — ток и напряжение k то элемента цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю:

0 . 2.117

Группируя члены, соответствующие идеализированным активным (рk ист) и идеализированным пассивным (рk потр) элементам, уравнение (2.117) можно преоб разовать к виду

ист

потр .

2.118

Уравнение (2.118) называют уравнением (условием) баланса мгновенных мощностей. Принимая во внимание, что мгновенная мощность любого элемента ха рактеризует скорость потребления энергии этим элементом (потребляемая мощ ность), а мгновенная мощность, взятая со знаком минус,— скорость отдачи энергии этим элементом (отдаваемая мощность), условие баланса мгновенных мощностей может быть сформулировано следующим образом: сумма мгновенных мощностей,

отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей, потребляе­ мых всеми приемниками энергии (необходимо иметь в виду, что потребляется и от дается не мощность, а электрическая энергия).

Можно показать, что условие, аналогичное (2.118), выполняется и для ком плексных мощностей всех элементов:

ист

потр .

2.119

Уравнение (2.119) называется уравнением (условием) баланса комплексных мощностей.

Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализиро­ ванными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеали­ зированных пассивных элементов.

Для практических расчетов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующем виде:

. 2.120

154

	I	I
E	U J	U

a)б)

Рис. 2.29. К определению знака комплексной мощности, отдаваемой источниками напряжения (а) и тока (б)

Левая часть выражения (2.120) представляет собой алгебраическую сумму

комплексных мощностей, отдаваемых всеми активными элементами. Слагаемое есть произведение комплексного действующего значения ЭДС источника напряже

ния на комплексно сопряженный ток этого источника; слагаемое равно произ ведению комплексного напряжения на источнике тока на комплексно сопряженный ток этого источника. Слагаемые, стоящие в левой части выражения (2.120), берут со знаком плюс, если направления токов и напряжений источников выбраны в соот ветствии с рис. 2.29. В противном случае эти слагаемые берут со знаком минус. Пра

вая часть уравнения (2.120) есть сумма комплексных мощностейk всех идеализиро
ванных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида	Z	равно произведе

нию квадрата действующего значения тока k го идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление.

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса актив­ ных и реактивных мощностей: активная мощность, отдаваемая всеми источни­ ками, равна активной мощности, всех потребителей:

Re

Re

,

а реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потреби телей:

Im

Im

,

где rk, xk — вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления k гo элемента.

155

Пример2.8.Определим комплексный ток последовательной RL цепи рис. 2.18, а с

параметрами элементов R			8 кОм, L 4 мГн, к зажимам которой подключен источник ЭДС
√2·30	10	45	В. Проверим выполнение условия баланса мощностей.
Находим комплексное входное сопротивление цепи:
			8·10	4·10 8,94 , ° кОм .

Используя закон Ома в комплексной форме, определяем комплексный ток цепи:

30	°	3,36·10	, °	А .
8,94·10	, °

Комплексная мощность, отдаваемая источником напряжения,

ист

30

° 3,36·10

, ° 0,1

, ° В · А ,

равна комплексной мощности, потребляемой сопротивлением и индуктивностью:

потр

3,36·10

·8,94·10

, ° 0,1

, ° В · А.

Таким образом, условие баланса комплексных мощностей выполняется.

Коэффициент мощности

При проектировании электроэнергетических систем важное, с точки зрения экономики, значение имеет обеспечение передачи максимальной активной мощно сти в нагрузку при заданных действующих значениях токов и напряжений. Из вы ражения (2.106) следует, что повышение активной мощности РА при неизменных действующих значениях токов и напряжений может быть достигнуто путем увели чения cos φ, т. е. путем уменьшения сдвига фаз между током и напряжением. Макси мально возможное значение РА равно полной мощности PS и достигается при cos φ = 1. При уменьшении cos φ для получения заданной активной мощности в на грузке требуется увеличивать действующие значения токов и напряжений, что ве дет к росту потерь энергии в системе и требует увеличения мощности источников энергии.

Величина cos φ = PA / PS , характеризующая степень приближения активной мощности нагрузки к максимальному значению, называется коэффициентом мощ­ ности.

Очевидно, что наивысшее значение коэффициент мощности (cos φ = 1) имеет при чисто резистивном характере нагрузки. Если нагрузка имеет резистивно емкостный или резистивно индуктивный характер YH = gH + jbH то параллельно ей подключают компенсирующий элемент, проводимость которого выбирают равной по абсолютному значению и противоположной по знаку мнимой составляющей про водимости нагрузки:

к

к

н .

2.121

Комплексное входное сопротивление Z участка цепи, представляющего собой параллельное соединение нагрузки и компенсирующего элемента, будет иметь

чисто резистивный характер 1 н к что обеспечит максимально воз

н

можное значение коэффициента мощности.

156

Комплексное сопротивление большинства реальных приемников энергии (электродвигателей, электронагревательных элементов, осветительных приборов) имеет резистивно индуктивный характер: bH < 0.

Для компенсации мнимой составляющей проводимости нагрузки параллельно ей должны подключаться компенсирующие конденсаторы, емкость которых рассчи тывают в соответствии с условием

к

н

.

2.122

Пример2.9.В качестве нагрузки некоторого электротехнического устройства ис пользуется двухполюсник, рассмотренный в примере 2.7. Определим тип компенсирующего элемента и рассчитаем его основной параметр емкость СK или индуктивность LK .

Комплексная проводимость нагрузки

н		56,7·10	°	18,4 53,6 ·10	См
в данном случае имеет резистивно индуктивный характер					bH 0 , следовательно,

в качестве компенсирующего элемента необходимо использовать конденсатор. Емкость компенсирующего конденсатора может быть рассчитана по формуле 2.122 :

н53,6·10

к0,17·10 Ф .

314

Нетрудно убедиться, что аналогичный эффект можно достигнуть, подключая компенсирующие элементы последовательно с нагрузкой.

Согласование источника энергии с нагрузкой

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника энергии и нагрузки. Пусть источник энергии представлен последовательной схемой замещения (рис. 2.30), причем его внутреннее сопротивление имеет комплексный характер:

Zi = ri + jxi.

Рис. 2.30. Схема замещения источника энергии с нагрузкой

Задача согласования источника энергии с нагрузкой заключается в выборе та кого сопротивления нагрузки Zн = rн + jxн , при котором в цепи будут выполняться некоторые условия, называемые критериями согласования. Рассмотрим согласо вание источника с нагрузкой по критерию наибольшей активной мощности, переда ваемой в нагрузку, и по критерию наибольшего КПД.

Активная мощность нагрузки в соответствии с (2.115)

157

н н . 2.123

н н

Как следует из (2.123), активная мощность РA являете функцией двух перемен ных rн и xн. В связи с тем, что вещественная rн и мнимая xн составляющие сопротив ления нагрузки не зависят одна от другой, выбор значения каждой из этих величин, соответствующего максимуму РА, можно производить в отдельности.

Величина хН входит только в знаменатель выражения (2.123). Очевидно, что максимальное значение активной мощности по этой переменной РА max будет дос тигнуто, если

При этом max	| н	н	.	2.124
		н⁄	н .

Для определения значения rн , соответствующего максимально возможному значению (максимум максиморум) активной мощности нагрузки РA max max, продиф ференцируем РА max по rн и приравняем полученное выражение нулю

d	d н		н	2 н	н		0 ,
откуда				н
			н	2 н н	0.		2.125

Решая уравнение (2.125), находим значение вещественной составляющей со противления нагрузки:

н

,

2.126

при котором активная мощность РА достигает максимально возможного значения

(рис. 2.31, а):

maxmax max| н | н 4 . 2.127

н

Объединяя условия (2.124) и (2.126), находим, что максимально возможное значение активной мощности нагрузки РA max max соответствует случаю

н н н

или

н

,

2.128

где — величина, сопряженная с комплексным внутренним сопротивлением ис точника.

158

Рис. 2.31. Зависимости активной мощности нагрузки (а) и коэффициента полезного действия (б) от отношения rH / ri при xH = ― xi

Таким образом, для согласования источника энергии с нагрузкой по критерию максимума активной мощности, передаваемой в нагрузку, сопротивление нагрузки должно быть величиной, комплексно­сопряженной с внутренним сопротивлением источника.

В частном случае, когда внутреннее сопротивление источника имеет чисто ре зистивный характер (Zi = ri), сопротивление нагрузки должно выбираться равным

внутреннему сопротивлению источника: н

.

Коэффициент полезного действия цепи (см. рис. 2.30) равен отношению ак тивной мощности, потребляемой нагрузкой РA , к суммарной активной мощности, потребляемой в цепи:

н

н

.

нн

Зависимость КПД от резистивной составляющей сопротивления нагрузки по

казанаr /наri	рис. 2.31, б. Изηрисунка видноi, что КПД цепи монотонно возрастает с рос
том н приближаясь к		=	r	/ r	)	.
			1 при ( н			∞

Следовательно, для согласования источника с нагрузкой по критерию макси мума КПД необходимо, чтобы резистивная составляющая сопротивления нагрузки была намного больше резистивной составляющей внутреннего сопротивления ис точника (rн ri).

Рассмотренные критерии согласования источника энергии с нагрузкой явля ются несовместимыми, т. е. не могут выполняться одновременно. В частности, при согласовании источника с нагрузкой по критерию максимальной активной мощно сти, передаваемой в нагрузку, КПД цепи будет равен 0,5. Очевидно, что мощные электроэнергетические системы не могут работать с КПД, при котором половина выработанной энергии теряется на внутреннем сопротивлении источника, поэтому в электроэнергетике обычно стремятся к достижению максимально возможного значения КПД, выбирая rн ri. Согласование по критерию максимальной активной мощности, передаваемой в нагрузку, широко используется в маломощных радио

159