эк	;	1	1		,	2.136
		эк

где N — число параллельно включенных двухполюсников.

Используя (2.136), получим выражение для комплексного входного сопротив ления участка цепи, представляющего собой параллельное соединение двух элемен тов с комплексными сопротивлениями Z1 и Z2:

эк		.	2.137

Участки цепей со смешанным соединением элементов

Правила преобразования участков цепей с параллельным или последователь ным соединением элементов могут быть применены и для преобразования пассив­ ных участков цепей со смешанным соединением элементов. Преобразование таких участков, представляющих собой сочетание групп параллельно или последователь но включенных элементов, обычно производят в несколько этапов, на каждом из которых группу параллельно включенных элементов заменяют одним двухполюс ником, комплексная проводимость которого равна сумме комплексных проводимо стей параллельно включенных элементов, а группу последовательно включенных элементов — одним двухполюсником, комплексное сопротивление которого равно сумме комплексных сопротивлений всех последовательно включенных элементов.

Пример2.11. Рассмотрим преобразование участка идеализированной цепи со сме шанным соединением элементов рис. 2.34, а , содержащего группу параллельно включен ных элементов Z3, Z4 и группу последовательно включенных элементов Z1, Z2.

I

Z1

I

Z1

I

U

Z3

Z4 U

Zэк1 U

Zэк2

Z2

Z2

a)

б)

в)

Рис. 2.34. К примеру 2.11

Заменяя параллельно включенные элементы Z3 и Z4 одним элементом с комплекс

ным сопротивлением

эк

⁄

, получим преобразованную схему цепи

рис. 2.34,

б с тремя последовательно включенными элементами Z1, Z2 и Zэк1. Вводя вместо этих эле

ментов один с комплексным

⁄

, приходим к простейшей преобразован

ем

эк

эк

ной схеме рассматриваемого участка цепи с одним элементом Zэк2

рис. 2.34, в .

L3 L4

Пример2.12. Определим эквивалентную индуктивность цепи при L1 L2

300 мкГн рис. 2.35 .

L2

L3

Участок цепи с тремя параллельно включенными одинаковыми индуктивностями

L4, обладает эквивалентной индуктивностью, в три раза меньшей, чем каждая из

параллельно включенных индуктивностей: Lэк1

100 мкГн. Этот участок включен последо

168

вательно с индуктивностью L1, поэтому искомая эквивалентная индуктивность Lэк2

L1 Lэк1 400 мкГн.

Рис. 2.35. К примеру 2.12

Пример2.13. Найдем комплексное входное сопротивление участка цепи с парамет рами элементов R 1,5 кОм, С1 40 пФ, С2 10 пФ, С3 50 пФ на частоте ƒ 1,2 МГц рис. 2.36, а .

Рис. 2.36. К примеру 2.13

Параллельно включенные емкости С2 и С3 могут быть заменены одной эквивалент

ной емкостью Сэк1	С2 С3 60 пФ.
Емкости С1 и Сэк1, включенные последовательно, заменим одной емкостью Сэк2
C1Cэк1/ C1 Сэк1	24 пФ. Получаем преобразованную цепь рис. 2.36, б , комплексное
входное сопротивление которой на частоте ƒ		1,2 МГц равно
	2 эк	1,5 5,53 кОм .

Таким образом, в результате объединения групп последовательно и параллель­ но включенных элементов происходит постепенное «сворачивание» цепи, причем уча­ сток со смешанным соединением пассивных элементов, имеющий два внешних вывода (пассивный двухполюсник), в конечном счете, может быть заменен одним элемен­ том, комплексное сопротивление которого равно входному сопротивлению данного участка цепи.

К цепям со смешанным соединением, элементов относятся цепные, или лест­ ничные, цепи, входное сопротивление или входная проводимость которых могут быть представлены в виде цепной (непрерывной) дроби, т. е. с помощью выражения типа

1	1	1/	.	2.138

Коэффициенты а1, а2,…, aN называются элементами цепной дроби. Число эле ментов дроби N может быть конечным (конечная цепная дробь) или бесконечным (бесконечная цепная дробь).

169

Для большей компактности изображения условимся записывать цепную дробь

(2.138) в виде

; ; ;…;

.

2.139

Рассмотрим простейшую лестничную цепь (рис. 2.37).

Рис. 2.37. Схема простейшей лестничной цепи

Нетрудно установить, что входное сопротивление этой цепи

1 1 1 .

Заменяя в этом выражении сопротивление элемента Z2 его проводимостью Y2=1/Z2, окончательно получаем

1

1/

или в форме (2.139)

;; .

Таким образом, входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть представлено в виде конечной цепной дроби, элементы которой а1, а2, а3 равны со ответственно Z1, Y2, Z3. Используя аналогичные преобразования, можно представить в виде цепной дроби и входное сопротивление лестничной цепи более общего вида

(рис. 2.38, а):

1	1	1	; ; ;…;	;	.	2.140
1

Как следует из (2.140), число элементов цепной дроби равно числу идеализиро­ ванных двухполюсных элементов, образующих лестничную цепь, причем элементами дроби являются комплексные сопротивления двухполюсников, образующих продоль­ ные ветви лестничной цепи (Z1, Z3, ..., ZN) и комплексные проводимости двухполюсни­ ков, входящих в поперечные ветви (Y2, Y4, …, YN­1).

170

Рис. 2.38. Схема лестничных цепей общего вида

Если лестничная цепь содержит поперечную ветвь, подключенную непосредст венно к внешним зажимам цепи (рис. 2.38, б), то в виде цепной дроби может быть представлена входная проводимость:

; ; ;…;

;

.

2.141

Таким образом, для того чтобы выражения для входных сопротивлений или входных проводимостей лестничных цепей могли быть записаны в виде цепных дробей типов (2.140), (2.141), необходимо элементы, образующие продольные ветви, представить их комплексными сопротивлениями, а элементы, входящие в попереч ные ветви,— их комплексными проводимостями.

Для определения тока или напряжения произвольной ветви лестничной цепи (рис. 2.38) по заданному значению напряжения или тока на входе этой цепи можно воспользоваться простым приемом, известным из литературы как метод

пропорциональных величин метод пропорционального пересчета,

метод единичного

тока, метод подобия

(

N

уда

ленной от входныхN N N

). В соответствии с этим методом ток

й ветви (наиболееN

зажимов) обозначим, например,

N.NВыразимN

черезN N

N

напряжениеN N

N

ветвиN N

=

Z

,

напряжение

и Nток

N

1 ветви

1 =

= Z

,

1 =

Y

1

1 =

YйN

1

=

1Z

, ток

и

напряжение

―2

ветви

,

1и т. д. вплоть до напряжения и тока первой

ветви. Так как рассматриваемая цепь являетсяNлинейной, то напряжения и токи всех
ветвей окажутся прямо пропорциональными					. В том случаеN	, когда заданным явля
ется напряжение на			входе цепи,	для определения тока , приравняем напряжение
сумме напряжений			первой и	второй ветвей (рис. 2.38, а) или напряжению
первой ветви (рис. 2.38, б). Если Nзадано комплексное действующее значение тока
на входе двухполюсника , то ток				находим,	приравнивая ток току первой вет
ви (рис. 2.38, а) или сумме токовN				первой и второй ветвей (рис. 2.38, б). Подстав
ляя полученное значение , в выражение для тока или напряжения интересующей
ветви, выражаем искомую величину через напряжение или ток на входе цепи.
Пример2.14. Найдем ток iчерез входные зажимы цепи, схема которой приведена на
рис. 2.39. Параметры элементов:
		√2·50cos10 В ;		500 пФ ;		4 мГн .

Задача может быть решена двумя способами.

1. Определим комплексную входную проводимость цепи с помощью 2.141 :

171

Рис. 2.39. К примеру 2.14

1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1

0,25·10 ; 2·10 ; 0,25·10 ; 2·10 ; 0,25·10 1,25·10 См .

Комплексное действующее значение тока находим, используя закон Ома в ком плексной форме:

откуда	1,25·10			·50	62,5	° мА ,
			√2·62,5cos 10	90°	мА .

2. Обозначим комплексное действующее значение тока пятой ветви 5 i5. Ком плексное действующее значение напряжения этой ветви

4·10 .

Выразим через , комплексные ток и напряжение:

четвертой ветви		1
;				2·10				;
третьей ветви						1
2·10			;					0,5	;
второй ветви				1
1,5	;							3·10	;
первой ветви					1
·10			;					0,25	;
и комплексные напряжение и ток на входе цепи								1,25 .
·10			;

Принимая во внимание, что комплексное действующее значение напряжения на входе цепи известно 50 В , определяем комплексное действующее значение тока пя той ветви:

·10

50 мА .

172