расширенного топологического описания к сокращенному число контуров в рас сматриваемой цепи не изменяется.

Контур характеризуется направлением обхода (порядком перечисления вет вей), которое выбирают произвольно и указывают изогнутой стрелкой (см. рис. 1.22,

б).

В отличие от электрических элементов моделирующих цепей ветви, узлы и контуры называются топологическими элементами. Сложность исследования процессов в электрических цепях во многом определяется числом топологических элементов. В зависимости от этого различают простые и сложные цепи. К простым цепям относятся одноконтурная (см. рис. 1.21, а) и двухузловая (см. рис. 1.21, б) цепи, к сложным — цепи с числом узлов более двух и числом контуров более одного.

Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа

Математическое описание процессов в электрических цепях базируется на уравнениях двух типов: компонентных и топологических.

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) представляют собой матема тические модели соответствующих ветвей и выражают ток или напряжение каждой ветви через параметры элементов этой ветви. Число таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т. е. от входящих в нее идеализированных двухполюсных элементов. При расширенном топологическом описании число ветвей и, следовательно, число компонентных уравнений равны числу идеализированных двухполюсных элементов, а компонентные уравнения имеют наиболее простой вид — они вырождаются в рассмотренные ранее уравне ния, связывающие между собой ток и напряжение на зажимах идеализированных активных и пассивных элементов. Таким образом, уравнения, составленные на осно вании закона Ома (1.9), (1.10), представляют собой компонентные уравнения (мате матические модели) ветви, содержащей один идеализированный пассивный эле мент — сопротивление, выражения (1.26), (1.28) — это компонентные уравнения ветвей, содержащих источник напряжения или тока, а выражения (1.34), (1.36) — компонентные уравнения ветви с линеаризованным источником. При сокращенном топологическом описании число компонентных уравнений уменьшается в соответ ствии с уменьшением числа ветвей, но сами уравнения принимают более сложный вид.

Пример1.1.Запишем компонентные уравнения цепи, схемы которой для расширен ного и сокращенного топологических описаний изображены на рис. 1.22, а, б. В первом слу чае цепь см. рис. 1.22, а содержит семь ветвей, компонентные уравнения которых совпа дают с компонентными уравнениями входящих в цепь идеализированных двухполюсных элементов:

;

;		d		;
		d
d	;		;
d

53

1

; d .

При переходе к сокращенному топологическому описанию см. рис. 1.22, б число компонентных уравнений сокращается до четырех, но вид компонентных уравнений со ставных ветвей ветвей, представляющих собой последовательное соединение нескольких идеализированных двухполюсных элементов значительно усложняется считаем, что на правления напряжения и тока всех ветвей совпадают :

d

d ;

;

d d ;

1

d .

По виду компонентных уравнений ветви электрической цепи делятся на выро жденные и невырожденные. Компонентные уравнения невырожденной ветви уста навливают связь между ее током и напряжением и могут быть записаны в двух фор мах:

1)ток ветви определяется через напряжение ветви [см. (1.10), (1.13), (1.23) и

(1.36)];

2)напряжение ветви находится через ее ток [см. (1.9), (1.16), (1.22) и (1.34)].

Компонентное уравнение вырожденной ветви задает напряжение (1.26) или ток (1.28) ветви, но не позволяет по известному напряжению ветви найти ее ток или по заданному току определить напряжение. Другими словами, ток и напряжение вырожденной ветви не зависят друг от друга. Ветви, составленные только из идеа лизированных пассивных элементов, а также ветви, состоящие из идеализирован ных пассивных элементов и источников напряжения, являются невырожденными. Ветви, составленные только из идеальных источников напряжения (напряжение та кой ветви равно алгебраической сумме задающих напряжений всех источников), и ветви, содержащие источник тока (ток такой ветви равен задающему току источни ка), являются вырожденными.

Топологические уравнения устанавливают связь между токами или напря жениями различных ветвей, причем вид и число топологических уравнений не зави сят от того, какие именно элементы входят в состав ветвей цепи. К топологическим уравнениям относятся, в частности, уравнения, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, под­ ключенных к каждому из узлов моделирующей цепи, в любой момент времени равна нулю.

54

В соответствии с первым законом Кирхгофа для каждого из узлов идеализиро ванной цепи (как при расширенном, так и при сокращенном топологическом описа нии) может быть составлено уравнение баланса токов:

0,

0,1,2, ,

1,

1.39

где l, k — номера узлов и ветвей; q и р — число узлов и ветвей. Коэффициент аlk = 1, если k я ветвь подключена к l­му узлу и ток ветви направлен от узла; аlk = — 1, если k я ветвь подключена к l му узлу и ток ветви направлен к узлу; аlk = 0, если k я ветвь не подключена к l му узлу. Другими словами, в уравнение баланса токов, составлен ное для l го узла, входят только токи ветвей, подключенных к этому узлу, причем токи ветвей, направленных к узлу, берутся со знаком минус, а токи ветвей, направ ленных от узла,— со знаком плюс.

Такой выбор знаков не носит принципиального характера, а сделан только для удобства последующего изложения, поскольку одновременное изменение знаков, приписанных токам всех ветвей, подключенных к какому либо узлу, соответствова ло бы умножению правой и левой частей (1.39) на —1. Токи ветвей, в которых со держатся управляемые или неуправляемые источники тока и напряжения, учиты ваются в уравнении (1.39) наравне с токами других ветвей.

Пример1.2.Составим уравнения баланса токов для всех узлов цепи, схема которой

изображена на рис. 1.25, а:				0;
для узла	1	―	―
для узла	2	―	―	0;
для узла	3	―i5	i6	i7 0;
для узла	0	i1	i2 ― i6	0.

Если сгруппировать токи, направленные к узлу, и перенести их в правую часть уравнения (1.39), а в левой части оставить токи, направленные от узла, то первый закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: сумма мгновенных значений токов, направленных к любому узлу цепи, в любой момент времени равна сумме то­ ков, направленных от этого узла.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда (урав нения непрерывности) и отражает тот факт, что в узлах идеализированной электри ческой цепи заряды не возникают и не исчезают.

На основании первого закона Кирхгофа можно составить уравнение баланса токов и для так называемого обобщенного узла, который представляет собой часть моделирующей цепи, охваченную произвольной замкнутой поверхностью. В этом случае в уравнении (1.39) алгебраически суммируются токи ветвей, входящих в обобщенный узел, т. е. токи ветвей, пересекаемых указанной замкнутой поверхно стью. Так, для обобщенного узла, выделенного штриховой линией на рис. 1.25, а, уравнение баланса токов ― i3 ― i4 + i6 = 0.

55

Нетрудно убедиться, что это уравнение вытекает из уравнений баланса токов, составленных для узлов рассматриваемой цепи (см. пример 1.2).

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей,

входящих в произвольный контур: алгебраическая сумма мгновенных значений на­ пряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, в каждый мо­ мент времени равна нулю.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого контура можно со ставить уравнение баланса напряжений ветвей:

0,

0,1,2, , ,

1.40

где k, l — номера ветвей и контуров; р, N — число ветвей и контуров. Коэффициент blk = 1, если k я ветвь входит в l й контур и направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура; blk = —1, если k я ветвь входит в l й контур и на правление ее напряжения противоположно направлению обхода контура; blk = 0, ес ли k я ветвь не входит в l й контур. Таким образом, суммирование напряжений про изводится с учетом их положительных направлений и выбранного направления об хода контура. Если положительное направление напряжения ветви совпадает с на правлением обхода контура, то оно входит в (1.40) со знаком плюс, в противном слу чае — со знаком минус. Изменение направления обхода контура соответствует ум ножению левой и правой частей (1.40) на —1.

Пример1.3.Составим уравнения баланса напряжений ветвей для всех контуров це пи, схема которой приведена на рис. 1.25, б номера напряжений ветвей совпадают с номе рами соответствующих токов :

для контура 1	u1 u2		0;
для контура 2	u2	u3	0;
для контура 3	u1	u3	0.

Уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить не только для напря жений ветвей, но и для напряжений элементов, входящих в ветви каждого контура.

Рис. 1.25. К примерам 1.2 — 1.6

56

Представляя напряжение каждой ветви в виде алгбраической суммы напряжений элементов этой ветви и принимая во внимание, что положительное направление напряжения источника ЭДС противоположно направлению ЭДС, систему уравнений (1.40) можно преобразовать к следующему виду:

,

1.41

где ui, — напряжения каждого из элементов рассматриваемого контура, за исключе нием напряжений источников ЭДС; еj — ЭДС источников напряжения, действующих в контуре.

Используя (1.41), можно несколько видоизменить формулировку второго зако на Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжения всех элемен­ тов любого контура моделирующей цепи, за исключением источников напряжения, в каждый момент времени равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС ис­ точников напряжения, действующих в этом контуре.

Напряжения элементов контура и ЭДС источников напряжения входят в (1.41) со знаком плюс, если положительные направления напряжений элементов и на правления ЭДС источников напряжения совпадают с направлением обхода контура. В противном случае соответствующие слагаемые в (1.41) берутся со знаком минус.

Пример1.4.Запишем уравнения баланса напряжений элементов всех контуров цепи рис. 1.25, б :

;

0;

.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии и от ражает тот факт, что энергия, затраченная сторонними силами на перенос произ вольного заряда внутри источников, входящих в контур, равна энергии, затрачивае мой источниками на перенос этого заряда через пассивные элементы контура.

Следует подчеркнуть, что закон сохранения энергии выполняется при переносе заряда по любому замкнутому пути (не обязательно полностью проходящему через ветви цепи). Поэтому уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить для любой совокупности элементов, образующих путь для электрического тока от про извольно выбранного узла (а) электрической цепи к узлу (б) с учетом напряжения между конечными точками этого пути uаб.

Пример1.5.Для ветвей 2 и З рис. 1.25, а , образующих путь для электрического то ка между узлами 2 и 0 электрической цепи, уравнение по второму закону Кирхгофа с учетом напряжения u20 между этими узлами запишется в виде

0.

57