раических уравнений. Для решения СЛАУ в программах автоматизированного ана лиза цепей наиболее часто применяют различные модификации метода исключения Гаусса, в частности методы, основанные на представлении матрицы коэффициентов СЛАУ в виде произведения нижней L и верхней U треугольных матриц (LU преобразование). Решение СНАУ обычно производится с помощью различных моди фикаций метода Ньютона или с помощью метода установления, при котором уста новившийся режим в цепи, описываемый СНАУ, рассматривается как предел, к кото рому стремится при затухании переходный процесс в рассматриваемой цепи.

Вопросы для самопроверки

1.Запишите систему узловых уравнений цепи для мгновенных значений то ков и напряжений в скалярной форме. Каков смысл входящих в уравнения физических величин?

2.Запишите систему узловых уравнений цепи в матричной форме. Разъясните смысл входящих в систему матриц и векторов.

3.Как выражается матрица узловых проводимостей через матрицу проводи мостей ветвей исследуемой цепи?

4.Какие компонентные и топологические матрицы исследуемой цепи нужны для формирования системы узловых уравнений?

5.Запишите систему контурных уравнений произвольной цепи в матричной форме. Как эта система формируется и применяется?

6.Почему компонентные матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей произвольной цепи содержат операторы дифференцирования и интегриро вания?

7.Почему узловые и контурные уравнения произвольной цепи для мгновен ных значений содержат производные и интегралы от неизвестных функций времени?

8.Выше было отмечено наличие в уравнениях электрического равновесия производных и интегралов от неизвестных функций времени. Какая из этих двух математических конструкций – производная или интеграл – наиболее сильно затрудняет решение упомянутых уравнений и почему?

9.Напряжения или токи некоторых элементов цепи называются переменны ми состояния. Какой смысл вкладывается в этот термин?

10.Какие независимые переменные используются при формировании уравне ний электрического равновесия цепи?

11.Охарактеризуйте положительные и отрицательные особенности метода пе ременных состояния.

12.Опишите методику формирования уравнений состояния.

13.В чём сущность явных методов численного интегрирования уравнений рав новесия?

14.Каково принципиальное отличие неявных методов численного интегриро вания уравнений от явных методов?

15.Дайте общую характеристику уравнениям электрического равновесия в форме Коши.

16.Какими особенностями обладает упомянутая форма Коши?

886

17.Какой из методов – узловых напряжений, контурных токов, переменных со стояния – позволяет получить уравнения электрического равновесия в форме Коши и почему?

18.Какие методы численного интегрирования уравнений электрического рав новесия – явные или неявные – получили преимущественное распростране ние в современных программах автоматизированного анализа цепей и по чему?

Задачи*

10.10р. Постройте вектор (матрицу столбец) узловых токов для цепи, схема которой показана на рис. Т10.1 двумя методами: 1) путем операций над топологиче скими и компонентными матрицами; 2) непосредственно по схеме цепи.

10.11р. Найдите матрицу узловых проводимостей

цепи, рассмотренной в

задаче 10.10р, двумя методами: 1) путем операций над матрицами проводимостей Y

иузлов А; 2) непосредственно по схеме цепи.

10.12.Используя результаты решения задач 10.10р и 10.11р, запишите систему узловых уравнений цепи, схема которой изображена на рис. Т10.1 в матричной и скалярной формах.

10.13.Составьте систему узловых уравнений цепи, изображенной на рис. Т10.2, в, двумя методами: 1) путем операций над компонентными и топологическими мат рицами; 2) непосредственно по схеме.

10.14.Составьте узловые уравнения относительно изображений по Лапласу токов и напряжений для цепи, приведенной на рис. Т10.2, в. Начальные условия не нулевые. Сравните результат с решением задачи 10.13.

10.15.Цепь (см. рис. Т10.2, в) находится в установившемся режиме при гармо ническом внешнем воздействии частоты . Используя результаты решения задач 10.13 и 10.14, запишите узловые уравнения цепи относительно комплексных дейст вующих значений напряжений и токов.

10.16р. Постройте вектор контурных ЭДС для цепи, изображенной на рис. Т10.3, двумя методами: 1) путем операций над топологическими и компонентными матрицами; 2) непосредственно по схеме цепи. В качестве ветвей дерева возьмите ветви 4 и 5.

* В задачах 10.10 – 10.22 раздела 10.3, посвященных рассмотрению матричных вариантов мето дов узловых напряжений и контурных токов, предполагается использование одного из вариантов расширенного топологического описания, при котором идеализированный активный двухполюсник, содержащий источник напряжения или тока и соответствующее внутреннее сопротивление, рас сматривается в качестве одной ветви. В последующих задачах этого раздела (метод переменных со стояния) используется расширенное топологическое описание цепи, при котором каждый элемент цепи, в том числе идеальный источник тока или напряжения, рассматривается в качестве отдельной ветви.

887

10.17р. Найдите матрицу контурных сопротивлений

цепи, рассмотренной

в задаче 10.16р, двумя методами: 1) путем операций над матрицами сопротивлений Z и главных контуров В; 2) непосредственно по схеме цепи.

10.18.Используя результаты решения задач 10.16р и 10.17р, составьте систему контурных уравнений для цепи, изображенной на рис. Т10.3, в матричной и скаляр ной формах.

10.19.Составьте систему контурных уравнений для цепи, схема которой при ведена на рис. Т10.2, е, двумя методами: 1) путем операций над топологическими и компонентными матрицами; 2) непосредственно по схеме цепи. В качестве ветвей дерева возьмите ветви 3 — 5.

10.20.Составьте систему контурных уравнений относительно изображений по Лапласу токов и напряжений для цепи, рассмотренной в задаче 10.19. Начальные ус ловия ненулевые. Сравните результат с решением задачи 10.19.

10.21.Цепь (см. рис. Т10.2, е) находится в установившемся режиме при гармо ническом внешнем воздействии частоты . Используя результаты решений задач

10.19и 10.20, запишите контурные уравнения цепи относительно комплексных дей ствующих значений напряжений и токов.

Рис. Т10.5

10.22м. Составьте контурные уравнения цепи, схема которой изображена на рис. Т10.1. В качестве ветвей дерева возьмите ветви1, 3, 5.

10.23р.* Постройте собственные деревья графа цепи, схема которой приведена на рис. Т10.5, а. Составьте матрицу сечений — хорд, соответствующую одному из собственных деревьев.

10.24. Решите задачу 10.23р для цепи рис. Т10.5, б.

* В задачах 10.23 – 10.32 раздела 10.3 используется расширенное топологическое описание це пи, при котором каждый элемент цепи, в том числе идеальный источник тока или напряжения, рас сматривается в качестве отдельной ветви.

888

10.25р. Постройте нормальные деревья графа цепи, представленной на рис.

Т10.6.

10.26. Решите задачу 10.25р для цепи, изображенной на рис. Т10.7.

10.27м. Составьте матрицы сечений хорд для цепей, схемы которых приведены на рис. Т10.6 и Т10.7.

Рис. Т10.6 Рис. Т10.7

10.28р. Используя матрицу сечений хорд, составьте уравнения баланса токов и напряжений цепи, схема которой приведена на рис. Т10.5, а.

10.29. Используя результаты решения задач 10.24, 10.27м, составьте уравне ния баланса токов и напряжений для цепей рис. Т10.5, б, Т10.6, Т10.7.

10.30р. Составьте уравнения состояния для линейной инвариантной во време ни цепи (рис. Т10.8).

Рис. Т10.8

10.31. Составьте уравнения состояния для цепей, схемы которых изображены на рис. Т10.5, а, б.

10.32м. Составьте уравнения состояния для электрических цепей с топологи ческими вырождениями (рис. Т10.6 и Т10.7).

889