Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей

Цель модуля: введение понятия операторных характеристик цепей, выясне ние физического смысла и ознакомление с методами нахождения операторных ха рактеристик.

Реакция цепи на экспоненциальное воздействие

Выясним, какой физический смысл имеет оператор р, входящий в выражения для операторных сопротивлений и проводимостей. С этой целью найдем реакцию цепи на экспоненциальное внешнее воздействие

,

6.72

где и — некоторые комплексные числа.

Коэффициент =A имеет размерность внешнего воздействия, его называ ют обобщенной комплексной амплитудой. Величина = +jω — имеет размер ность с―1; ее называют обобщенной (комплексной) частотой.

Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздействия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их числа. Действительно, при Im = 0, Im =0 выражение (6.72) описы вает экспоненциально затухающее ( < 0), экспоненциально нарастающее ( > 0) или неизменное ( = 0) внешнее воздействие. Полусумма экспоненциальных воздей ствий с комплексно сопряженными амплитудами и комплексно сопряженными час тотами представляет собой гармоническое колебание:

					⁄2	⁄2	cos	,	6.73
амплитуда			которого нарастает (			> 0), затухает ( < 0) или неизменна во времени
(jω	= 0). Как следует из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты									= +
	можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колеба

ния, а вещественную часть — как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференциро вание экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция линейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты яв ляется экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени.

Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента (сопротивления, емкости, индуктивности), изменяется во времени по за кону:

. 6.74

В этом случае ток сопротивления

⁄ ,

6.75

522

ток емкости

d	,	6.76
d

ток индуктивности

1

d

1

.

6.77

Входным сопротивлением Z( ) пассивного линейного двухполюсника при экс поненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значе ния напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока:

⁄ . 6.78

Используя выражения (6.74) — (6.78), находим входные сопротивления идеа лизированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии:

;

1⁄ ;

.

6.79

Полагая в выражениях (6.79) = р, получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а в случае = jω — выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внеш нем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненциальном внешнем воздействии a(t) = , а операторные входные со противления исследуемых элементов — входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

. 6.80

Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пас сивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80).

Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, со ставленным из таких элементов, и, далее, к произвольным линейным цепям, убеж даемся, что отношение двух любых токов или напряжений этих цепей при экспонен­ циальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отношению операторных изображений соответствующих токов или напряжений при нулевых начальных усло­ виях.

523

Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных — и пара вы ходных k— зажимов.

Операторной или обобщенной частотной характеристикой Hkv(p) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи sk = sk(t) к операторному изображению внешнего воздействия x v = xv (t) при нулевых началь ных условиях:

⁄

,

6.81

где Sk(p) sk(t); Хv (р) xν(t) .

Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений линейной цепи, на ходящейся под экспоненциальным воздействием, численно равно отношению опе раторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных услови ях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида

(6.80):

						.
Для перехода отkvоператорной характеристики цепи к ее комплексной частот
ной характеристике		H	jω	) достаточно в выражении (6.81)			заменить	р	на	jω
			(							. Следо
вательно,	комплексную частотную характеристику можно рассматривать как ча­
				( ) = = 0.
стный случай обобщенной характеристики при Re p

Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определя ется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов.

Как и комплексные частотные характеристики, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует одноименная операторная. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия на цепь, а какая в каче стве отклика цепи, различают:

операторное входное сопротивление

⁄

;

6.82

операторную входную проводимость

⁄

;

6.83

операторные коэффициенты передачи по напряжению и току

524

⁄	;	6.84
⁄	;	6.85

операторное передаточное сопротивление

⁄

;

6.86

и операторную передаточную проводимость

⁄

;

6.87

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются без размерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная прово димости — размерность проводимости.

Методы определения операторных характеристик

Для нахождения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выра жении заменить jω на р. В общей случае выражения для любых операторных харак теристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источ ников энергии, могут быть получены из рассмотрения уравнений электрического равновесия цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях.

Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную про водимость цепи со стороны зажимов ν — ν '. Подключим к этим зажимам идеализи рованный источник напряжения ev (t) и построим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях. Выбирая систему независимых контуров та ким образом, чтобы ветвь, содержащая источник ev (t) Ev (p), явилась главной вет вью ν гo контура, составим систему контурных уравнений цепи в операторной форме. Используя формулы Крамера (4.11), находим ток ν й ветви, совпадающий с током ν гo контура:

		∆	,			6.88
р		∆
где ( ) — определитель системы контурных уравнений, составленных в оператор
ной форме;	νν	— алгебраическое дополнение элемента		Zνν	p	).
				(

Сучетом выражения (6.88) определяем операторное входное сопротивление Zνν(p)

иоператорную входную проводимость цепи со стороны зажимов ν — ν ':

⁄	∆	⁄∆	;
1⁄	∆	⁄∆ .

525

Аналогичным образом можно получить и передаточные функции цепи. С этой целью в соответствии с (4.11) определяем ток и напряжение ветви, содержащей со противление Zk(p) и являющейся главной ветвью k го контура:

∆	⁄∆ ;	⁄∆ .	6.89
	∆		6.90

Подставляя выражения (6.88) — (6.90) в (6.84) — (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению

⁄

∆

⁄∆ ,

операторный коэффициент передачи по току

⁄∆ ⁄∆ ,

операторную передаточную проводимость

⁄∆ ⁄∆

операторное передаточное сопротивление

⁄	р	∆	⁄∆	.	νν	р	νk	p	)
В связи с тем что определитель Δ( ) и алгебраические дополнения					(	),	(

представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротив лений независимых контуров цепи, а сопротивления контуров являются рацио нальными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная ха­ рактеристика линейной электрической цепи Hkv(р), не содержащей независимых ис­ точников энергии, также является рациональной функцией р с вещественными ко­ эффициентами, т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов:

...	,	6.91
...

где аi , bi — вещественные коэффициенты, значения которых определяются пара метрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.

Напомним, что значения аргумента р0i, при которых N(p) = 0, М(р) ≠ 0, называ ются нулями, а значения аргумента рxi, при которых M(р) = 0, N(p) ≠ 0,— полюсами функции Hkv(р). Решая уравнения N(р) = 0; M(р) = 0 и разлагая полиномы N(р) = 0 и M(р) = 0 на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду

…	,	6.92
…

где К = an/bm — вещественное число, называемое масштабным коэффициентом.

Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции Hkv(р) определяют ее значения с точностью до постоянного коэффициента К. Зная расположение нулей и

526

полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точно стью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное действие или по строить ее АЧХ и ФЧХ.

Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоско

сти комплексного переменного		p	=	+	j	называется	диаграммой нулей и полю­
							Прир	построении полюсно
сов или	полюсно­нулевой диаграммой функции
нулевыхj						.
	диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости							обозначают соответст
венно	и , нули изображают кружками, а полюсы — крестиками.

Пример6.5.Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем операторное входное сопротивление Z11x p со стороны зажимов 1 — 1’ и операторный коэффициент пе редачи по напряжению К21x р от зажимов 1—1’ к зажимам 2—2‘в режиме холостого хода на зажимах 2—2’. Построим диаграммы нулей и полюсов функций Z11x p и К21x р .

Ранее см. модуль 3.1 были получены выражения для комплексного входного со противления 3.9 и комплексного коэффициента передачи 3.14 данной цепи:

х

;

х

⁄

.

Заменяя в этих выражениях jω на р, находим операторное входное сопротивление и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

х

х

⁄;

⁄.

Нетрудно убедиться, что аналогичные результаты получаются при рассмотрении операторной схемы замещения цепи рис. 6.12, а .

Полюсно нулевые диаграммы функций Z11x p и К21x р изображены на рис. 6.12, б, в.Функция Z11x p имеет один нуль p01 R/L, функция К21x р имеет один нуль p01 0 и один полюс px1 R/L .

Рис. 6.12. К примеру 6.5

Пример6.6.Найдем операторное входное сопротивление Z11x колебательного контура см. рис. 3.25, а в режиме холостого хода на люсно нулевую диаграмму функции Z11x p .

p последовательного выходе. Построим по

Операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов:

х

1

⁄

1⁄

.

527