d		d	d	d	·
	dt		d
Таким образом, дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи относительно
тока iимеет первый порядок, а относительно напряжения					— второй.

Классификация электрических цепей

Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, могут быть классифицированы по ряду признаков:

•по топологическим особенностям: планарные (плоские) и непланарные

(объемные), разветвленные и неразветвленные, простейшие (однокон турные, двухузловые) и сложные (многоконтурные, многоузловые);

•по энергетическим свойствам: активные (содержащие идеализирован ные активные элементы) и пассивные (не содержащие идеализирован ных активных элементов);

•по числу внешних выводов: двухполюсники и многополюсники.

Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от ви­ да дифференциального уравнения цепи.

Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, называются цепями с сосре­ доточенными параметрами. Цепи такого типа используют в качестве упрощенных моделей реальных электрических цепей и их элементов на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства. При этих условиях в исследуемых устройствах и их элементах удается выделить конечное число участков, в которых преобладает какой то один из основных эффектов — запасание энергии электрического или маг нитного полей, преобразование электрической энергии в другие виды энергии или преобразование энергии сторонних сил в электрическую. Токи рассматриваемой ре альной цепи, являясь функциями времени, имеют одинаковые мгновенные значе ния в пределах каждого из выделенных участков. Заменяя эти участки идеализиро ванными активными или пассивными элементами, получают идеализированную цепь, содержащую конечное число элементов, значения параметров которых конеч ны.

Таким образом, цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой идеализированные цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы при условиях, когда можно предположить, что каждый из основных электрических эф­ фектов проявляетсяв конечном числе пространственно локализуемых областей.

Когда длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами ис следуемого устройства или его элементов, пространственно локализовать области, в которых проявляются только эффекты одного типа, не удается. Это связано с тем, что даже при бесконечно малой длине выделяемых участков, в пределах каждого из них одновременно имеют место несколько из перечисленных основных эффектов, причем ток в пределах выделенных участков изменяется от одного сечения к друго

78

му. При этих условиях цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы, содержат бесконечно большое число идеализированных элементов, параметры ко торых имеют бесконечно малые значения. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными урав нениями в частных производных, называются цепями с распределенными пара­

метрами.

Следует подчеркнуть, что термины «цепь с распределенными параметрами» и «цепь с сосредоточенными параметрами» применимы только к идеализированным (моделирующим) цепям и не должны использоваться для характеристики реальных цепей.

В зависимости от условий и требуемой точности исследования каждый эле мент реальной цепи и, следовательно, каждая реальная цепь в целом могут быть за менены моделирующей цепью с сосредоточенными или распределенными парамет рами. Например, конденсатор любого типа конструктивно представляет собой две проводящие обкладки 1 и 3, разделенные слоем диэлектрика 2 (рис. 1.41). В области частот, когда длина волны электромагнитных колебаний значительно превышает геометрические размеры обкладок, он может быть представлен одной из модели рующих цепей с сосредоточенными параметрами, схемы которых приведены на рис. 1.11. На более высоких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний сравнима с геометрическими размерами обкладок, но существенно больше расстоя ния между ними, необходимо учитывать, что процессы запасания энергии электри ческого и магнитного полей, а также необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии имеют место вдоль всей длины обкладок конденса тора. В этом случае схема замещения элементарного участка конденсатора длиной dx будет содержать индуктивность L0 и емкость С0, характеризующие процессы за пасания энергии магнитного и электрического полей, а также сопротивление R0 и проводимость утечки G0, учитывающие потери энергии в конденсаторе (рис. 1.42, а). Схема замещения всего конденсатора должна состоять из бесконечно большого чис ла таких секций. Следовательно, идеализированная цепь, моделирующая конденса тор в рассматриваемом диапазоне частот, представляет собой цепь с распределен ными параметрами.

Рис. 1.41. Упрощенная конструкция конденсатора

На примере цепи, схема замещения которой изображена на рис. 1.42, а, пока жем, что электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описы ваются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно,

79

ток i = i( , t) и напряжение u = u( , t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты . Приращения тока и напряжения на участке цепи длиной d

d

∂

d ; d

∂

d .

∂

∂

Рис. 1.42. К определению понятия цепи с распределенными параметрами

Полагая, что параметры элементов моделирующей цепи R0, L0, С0 и G0 не зави сят от токов и напряжений, и выражая их через погонные (т. е. приходящиеся на единицу длины) параметры R1, L1, С1 и G1: R0 = (R1/2)d ; L0 = (L1/2)d ; C0 = (C1/2)d ; G0 = (G1/2)d , составим уравнения баланса токов и напряжений элементарного уча стка цепи:

d

d

∂

d

∂

d

2

2

∂

2

∂

2

d

∂

∂

d

∂

d

0;

1.42

∂

∂

∂

2

2

d

2

d

2

d

∂

∂

∂

2

d

d

d

∂

∂u

d

0;

1.43

2

∂

2

2

∂

∂

Пренебрегая величинами второго порядка малости, уравнения (1.42), (1.43) можно преобразовать к виду

∂	∂	;	1.44
∂	∂
∂	∂	·	1.45
∂	∂

Решая уравнения (1.44), (1.45) при соответствующих начальных и граничных условиях, можно определить токи и напряжения цепи моделирующей конденсатор в рассматриваемом режиме.

80

Отметим, что уравнениям (1.44), (1.45) может быть поставлена соответствие более простая схема замещения элементарного участка цепи (рис. 1.42, б). Анало гичный вид имеют высокочастотные схемы замещения и ряда других элементов, входящих в состав радиоэлектронных устройств, в частности двухпроводных и ко аксиальных линий передачи.

Взависимости от числа координат, вдоль которых происходит изменение тока

инапряжения и вдоль которых «распределены» параметры цепи, различают одно мерные, двухмерные и трехмерные цепи с распределенными параметрами. В теории цепей рассматривают в основном одномерные цепи с распределенными параметра ми, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями типов

(1.44), (1.45).

Параметры исследованных ранее идеализированных линейных пассивных элементов не зависят от токов и напряжений соответствующих элементов и, следо вательно, от интенсивности внешнего воздействия на цепь, определяемой токами действующих в цепи независимых источников тока и напряжениями действующих в цепи независимых источников напряжения. Связь между током и напряжением ли нейных идеализированных пассивных элементов описывается линейными алгеб раическими, дифференциальными или интегральными уравнениями, иными слова ми, компонентные уравнения этих элементов являются линейными.

Параметры нелинейных пассивных элементов зависят от токов или напряже ний соответствующих элементов, а следовательно, и от интенсивности внешнего воздействия. Компонентные уравнения нелинейных идеализированных пассивных элементов — нелинейные.

В зависимости от вида компонентного уравнения идеализированные активные элементы также делятся на линейные и нелинейные. К линейным идеализирован ным активным элементам относят независимые и линейно управляемые зависимые источники тока и напряжения, к нелинейным — нелинейно управляемые зависи мые источники тока и напряжения.

Цепь с сосредоточенными или распределенными параметрами, составленная только из линейных идеализированных элементов, называется линейной. Диффе ренциальное уравнение такой цепи — линейное. Если в состав цепи входит хотя бы один нелинейный пассивный или активный элемент, то она называется нелиней­ ной, а процессы в ней описываются нелинейными дифференциальными уравнения ми.

Параметры линейных идеализированных пассивных элементов и коэффициен ты управления линейно управляемых источников могут иметь постоянные значе ния либо изменяться во времени под действием некоторых факторов, непосредст венно не связанных с токами или напряжениями этих элементов (например, емкость конденсатора может изменяться во времени вследствие изменения расстояния ме жду обкладками; индуктивность катушки можно изменять путем перемещения сер дечника). Идеализированные элементы первого типа называют линейными эле­

81

ментами с постоянными параметрами, элементы второго типа — линейными элементами с переменными параметрами или параметрическими элементами.

Параметрические элементы, у которых изменение параметров происходит с часто той, близкой к частоте токов или напряжений этих элементов, следует отличать от регулируемых элементов — конденсаторов переменной емкости, вариометров, под строечных конденсаторов и др., у которых изменение параметров производится медленно и только в процессе настройки или регулировки соответствующего уст ройства. При составлении уравнений электрического равновесия параметрам регу­ лируемых элементов приписывают некоторые фиксированные значения, а сами эле­ менты относят к элементам с постоянными параметрами.

Цепи, составленные только из линейных элементов с постоянными параметра ми, называются линейными цепями с постоянными параметрами или линейны­ ми инвариантнымиво времени цепями.

Процессы в линейных инвариантных во времени цепях описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейные цепи, содержащие хотя бы один элемент с переменными параметра ми, называются линейными параметрическими цепями.

Процессы в линейных параметрических цепях описываются линейными уравне­ ниями с переменными коэффициентами.

В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с сосредоточен ными параметрами имеет следующий вид:

		d	d	d	,	1.46
где	s = s (t)	d	d	d		а , а ,
		— искомая реакция цепи (ток или напряжение какой либо ветви);				0 1

.... аν — коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов и коэффи циентами управления управляемых источников. В дифференциальном уравнении линейной инвариантной во времени цепи эти коэффициенты постоянны, в диффе ренциальном уравнении линейной параметрической цепи, по крайней мере, один из них является функцией времени.

Правая часть уравнения (1.46) есть линейная комбинация функций, описы вающих внешнее воздействие на цепь = (t), и их производных. При выключении всех источников она становится равной нулю.

Наибольшее значение порядка дифференциального уравнения цепи ν характе ризует порядок сложности цепи (порядок цепи) и равно числу реактивных эле ментов (емкостей и индуктивностей), энергетическое состояние которых может быть задано независимо, (подробнее см. гл. 6). Различают цепи нулевого (не содер жащие реактивных элементов), первого, второго и более высоких порядков.

82