Книга 9. Синтез электрических цепей

Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей

Цель модуля: ознакомление с постановкой задачи синтеза электрических це пей, понятием физической реализуемости и основными этапами синтеза цепей.

Понятие физической реализуемости

Задача синтеза электрической цепи заключается в построении цепи, обладаю щей заданной реакцией на некоторое внешнее воздействие . В связи с тем, что реакция линейной цепи на произвольное внешнее воздействие однозначно оп ределяется ее временными или частотными характеристиками, задача синтеза ли нейной цепи обычно сводится к нахождению цепи, обладающей заданными харак теристиками. Синтез цепи по ее частотным характеристикам называется синтезом в частотной области, а синтез цепи по ее временным характеристикам — синтезом во временной области. Методы синтеза цепей в частотной области к настоящему вре мени более разработаны, поэтому задачу синтеза цепи во временной области, как правило, сводят к задаче синтеза в частотной области, при этом заданные времен ные характеристики с помощью выражений (6.110), (6.111) заменяются соответст вующими обобщенными частотными характеристиками.

Как известно, каждая линейная электрическая цепь обладает вполне опреде ленной реакцией на заданное внешнее воздействие. Следовательно, задача анализа линейной электрической цепи всегда имеет единственное решение. В то же время различные по топологии и типу элементов цепи могут обладать одинаковыми ха рактеристиками, поэтому решение задачи синтеза цепи, если оно существует, как правило, не является единственным. Часто цепь с заданными характеристиками во обще не может быть реализована с помощью идеализированных элементов заранее заданных типов, образующих так называемый элементный базис цепи.

В таких случаях считается, что задача синтеза не имеет решения, а заданная ха рактеристика (точнее, цепь с заданной характеристикой) не является физически реализуемой в данном элементном базисе. В то же время, если цепь, обладающая какой либо характеристикой, может быть построена из идеализированных элемен тов, входящих в заданный элементный базис, то такая характеристика является фи­

зически реализуемой в данном элементном базисе.

Одна и та же частотная или временная характеристика цепи может оказаться физически нереализуемой в одном элементном базисе и физически реализуемой в другом. В зависимости от заданного элементного базиса различают задачи синтеза реактивных (составленных только из индуктивностей и емкостей), безындуктивных (составленных только из сопротивления и емкостей), пассивных общего вида и ак тивных цепей.

Цепь можно синтезировать как по входным, так и по передаточным характери стикам, заданным относительно различных пар внешних зажимов. Если синтез про изводится по входным характеристикам, заданным относительно какой либо одной

800

пары зажимов, то искомая цепь может быть представлена в виде двухполюсника. Если синтез производится по передаточным характеристикам, заданным относи тельно двух пар внешних выводов, то синтезируемая цепь представляется в виде проходного четырехполюсника. При большем числе пар выводов, относительно ко торых задаются характеристики цепи, цепь представляется в виде многополюсника.

Физически реализуемые характеристики цепи удовлетворяют определенным условиям, называемым критериями физической реализуемости. Формулировка этих критериев зависит от элементного базиса цепи и от того, является заданная ха рактеристика входной или передаточной, частотной или временной. Разработка критериев физической реализуемости представляет собой одну из важнейших задач синтеза цепей.

Основные этапы синтеза цепей

Входные и передаточные характеристики искомой цепи могут быть заданы в различным образом. Если характеристики цепи заданы в аналитической форме, то основными этапами синтеза электрической цепи являются проверка физической реализуемости заданных характеристик и непосредственно реализация цепи, т. е. оп ределение схемы замещения цепи и параметров входящих в нее элементов. Переход от схемы замещения к принципиальной электрической схеме цепи, соответствую щий переходу от идеализированной электрической цепи к реальной, составляет за­ дачу технической реализации, которая выходит за рамки теории цепей.

На практике частотные и временные характеристики цепей обычно задаются в графической или табличной форме, в связи с чем возникает задача аппроксимации данных зависимостей с помощью приближенных аналитических выражений. В от личие от рассмотренной ранее задачи аппроксимации ВАХ нелинейных резистивных элементов (см. модуль 5.3) для аппроксимации частотных и временных характери стик могут применяться не любые функции, с требуемой точностью воспроизводя щие заданную зависимость, а только функции, удовлетворяющие критериям физи ческой реализуемости. В дальнейшем будем считать, что аналитические выражения для соответствующих характеристик цепей являются заданными.

В связи с тем, что решение задачи синтеза, как правило, не является единст венным, процесс синтеза обычно совмещают с процессом оптимизации цепей по ка кому либо критерию. Такими критериями могут быть минимальное общее число элементов реализуемой цепи; минимальное число элементов какого либо опреде ленного типа, например индуктивностей; минимальные значения параметров ка ких либо элементов и др. Под задачей оптимизации электрической цепи часто по нимают также задачу выбора или уточнения значений параметров элементов най денной цепи с учетом влияния паразитных элементов или каких либо дестабилизи рующих факторов (параметрическая оптимизация).

Особенностью современных методов синтеза электрических цепей является совмещение этапов аппроксимации, реализации и оптимизации, при этом для ап проксимации заданных характеристик используются функции, для которых извест

801

ны оптимальные по каким либо критериям схемы реализуемой цепи, а в процессе синтеза выбираются значения параметров элементов, обеспечивающие требуемую точность воспроизведения заданных характеристик.

Синтез электрических цепей — один из наиболее сложных, практически важ ных и интенсивно развивающихся разделов теории цепей. Значительный вклад в создание современных методов синтеза цепей внесли наши соотечественники М. М. Айзинов, А. Д. Артым, А. Ф. Белецкий, П. А. Ионкин, Н. С. Кочанов, А. А. Ланне, П. Н. Матханов и др. В рамках курса «Основы теории цепей» ограничимся только общим знакомством с условиями физической реализуемости и методами реализации реак тивных двухполюсников и четырехполюсников. Вопросы аппроксимации частотных характеристик и методы реализации четырехполюсников, в первую очередь АRС­ фильтров, рассматриваются в курсе «Радиотехнические цепи и сигналы» [2, 3]. Для дальнейшего знакомства с этой важной темой можно рекомендовать учебники [18

— 20] и монографии [14 — 16].

Вопросы для самопроверки

1.Задача синтеза линейной электрической цепи (ЛЭЦ) имеет тот же на бор переменных физических величин, что и задача анализа: 1) внешнее воздействие на цепь; 2) собственно цепь; 3) характеристика цепи; 4) реакция цепи на воздействие. Укажите, какие переменные являются независимыми, а какие – зависимыми в задаче: 1) анализа; 2) синтеза.

2.Поясните содержание двух разновидностей задачи синтеза: 1) в час тотной области; 2) во временной области. Обратите на их сходство, различие и практическую ценность.

3.Любая задача анализа ЛЭЦ может быть всегда решена, причём реше ние единственное. (Невозможность решить эту задачу из за недос татка знаний, справочной литературы, вычислительных средств и т.п., естественно, не в счёт). А как обстоит дело с задачей синтеза ЛЭЦ, т.е. всегда ли решение возможно? Является ли оно единственным? Как по ступить, если решений получается много?

4.Что такое критерии физической реализуемости и насколько они важ ны для практики? Почему формулировка этих критериев зависит от элементного базиса цепи?

5.Опишите (на вербальном уровне) основные этапы синтеза цепей:

Аппроксимация заданной характеристики цепи.

Проверка физической реализуемости заданной характеристики цепи.

Непосредственная реализация ЛЭЦ.

Оптимизация ЛЭЦ.

6.Что делать, если по итогам выполнения второго этапа сделан вывод о физической нереализуемости заданной характеристики? Целесообраз но ли испытывать другие элементные базисы?

7.В приведённом выше перечне отсутствует этап технической реализа ции синтезированной ЛЭЦ. Почему?

802

Модуль 9.2. Основные свойства и критерии физической реализуемости опе раторных входных характеристик линейных пассивных цепей

Цель модуля: изучение основных свойств и критериев физической реализуе мости операторных входных характеристик линейных пассивных цепей.

Понятие о положительных вещественных функциях

Ранее (см. модуль 6.4) было установлено, что любые операторные характери стики линейных электрических цепей, не содержащих независимых источников энергии, в том числе операторные входные характеристики линейных пассивных цепей, могут быть представлены в виде отношения двух полиномов с вещественны ми коэффициентами. Возникает вопрос, всякая ли рациональная функция с ве щественными коэффициентами физически реализуема в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи, или, другими словами, всякой ли функции , представляющей собой отношение двух полиномов с веществен ными коэффициентами

...

... ,

можно поставить в соответствие линейный пассивный двухполюсник, составленный из элементов с положительными вещественными параметрами, операторное вход

ное сопротивление или операторная входная проводимость которого равны				.
Строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что		необходимое и достаточное
условие физической реализуемости рациональной функции			в качестве опера­
торной входной функции линейной пассивной цепи заключается в том, чтобы
являлась положительной вещественной функцией комплексной частоты .				на
Положительной вещественной функцией комплексного переменного
зывается функция	, действительная часть которой неотрицательна при неот

рицательных значениях действительной части		:	0,	9.1
Re	0 при	Re
а мнимая часть равна нулю при мнимой части		, равной нулю:		9.2
Im	0 при	Im	0.

Непосредственно по выражениям (9.1), (9.2) трудно определить, является ли заданная рациональная функция положительной вещественной функцией комплексной частоты , поэтому обычно проверяют выполнение следующих усло вий, которые полностью вытекают из этих выражений:

1) все коэффициенты , и полиномов	и	должны быть веществен
ны и неотрицательны;			и
2) наибольшие и соответственно наименьшие степени полиномов

не могут отличаться более чем на единицу [любой пассивный двухполюсник при

803

0 и при	∞ ведет себя либо как емкость				, либо как индуктив
ность	, либо как сопротивление			];
3) нули	и полюсы	функции		не могут располагаться в правой полу
плоскости:	) 0,	) 0 (в противном случае в цепи не выполняются усло
вия затухания свободных процессов);			, расположенные на мнимой оси, должны быть
4) нули и полюсы функции
только простыми (некратными), причем производные функции						в нулях и вы

четы в полюсах должны быть вещественны и положительны. Если среди нулей или полюсов функции , имелся хотя бы один корень с кратностью , то этому корню соответствовала бы нарастающая во времени свободная составляющая

решения св cos ;

5) вещественная часть функции , должна быть неотрицательна на мнимой оси: Re[ ] 0 при Re( ) 0 [при гармоническом воздействии ( ) вещест венная часть комплексных входного сопротивления или входной проводимости ли нейной пассивной цепи не может быть отрицательной].

Перечисленные условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы заданная рациональная функция комплексного переменного , являлась положительной вещественной функцией , и поэтому могут рассматриваться как критерии физической реализуемости этой функции в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи. Следует отметить, что не все приведен ные условия являются независимыми, в частности условия 1 и 2 вытекают из усло вий 3 и 4. Такая избыточность является вполне оправданной, так как позволяет в ряде случаев определять физически нереализуемую функцию непосредственно по

еевиду, без трудоемких операций, связанных с нахождением корней полиномов

и.

	Пример 9.1. Определим, являются ли функции					3	2 / 3		1 ,
	1/	2 и	3	/	2 положительными вещественными функ
циями комплексного переменного.								не удовле
	Непосредственно по виду функции устанавливаем, что функция
творяет условию 1		коэффициент		0 , а функции		и	— условию 2 разности
наивысших степеней числителя и знаменателя функции						и наименьших степеней чис
лителя и знаменателя функции				превышают единицу . Следовательно, заданные
функции не являются положительными вещественными функциями .								9	физически
	Пример9.2.Определим, является ли функция						4 /
реализуемой в качестве операторной входной функции линейной пассивной цепи.
	Непосредственно по виду функции				устанавливаем, что все коэффициенты по
линомов		4 и		9 вещественны и положительны, а наибольшие и
наименьшие степени этих полиномов отличаются на единицу. Все нули								2,	2 и
полюсы	0,	3,	3 функции расположены на мнимой оси и являются про
стыми. Производные функции в нулях

804

		d		3		36		0,4
		d				9
и вычеты функции в полюсах				4					4		5
Res	|		4		; Res	|
		3	9	9				3	9		18
вещественны и положительны. Вещественная часть									на мнимой оси
		Re			Re	49		0.
Таким образом, функция				физически реализуема в качестве операторной
входной характеристики линейной пассивной цепи.
Анализируя критерии физической реализуемости и рассматривая приведенные
примеры, приходим к выводу, что если некоторая рациональная функция											относится к

положительным вещественным функциям и, следовательно, является физически реализуе мой в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи, то обрат

ная ей функция	также физически реализуема, причем нули функции		соответст
вуют полюсам функции		, и наоборот.

Условия физической реализуемости и основные особенности оператор ных входных характеристик реактивных цепей

Цепи, составленные только из реактивных элементов (емкостей и индуктивно стей), представляющие собой частный случай линейных пассивных электрических цепей, называются реактивными цепями, LC­цепями или цепями без потерь.

Необходимое и достаточное условие того, чтобы заданная рациональная функ

ция	могла быть реализована в качестве входной функции реактивной цепи, за
ключается в том, чтобы		представляла собой положительную вещественную
функцию	и, кроме того,	либо полином	должен быть четным, а полином
— нечетным, либо наоборот.				реактансной		или	реак­
Функция, обладающая такими свойствами, называется
тивной
.				4 /	9 физически
Пример9.3.Определим, является ли функция

реализуемой в качестве операторного входного сопротивления или операторной входной проводимости реактивного двухполюсника.

В примере 9.2 было показано, что такая функция является положительной вещест

венной функцией комплексного переменного . В связи с тем, что полином			4
четный, а полином	9 — нечетный, функция	относится к реактансным и
может быть реализована в качестве операторной входной характеристики реактивного
двухполюсника.

Реактансная функция, обладая всеми свойствами положительных веществен ных функций, имеет ряд дополнительных особенностей:

1) нули и полюсы ее расположены на мнимой оси;		0), так и на
2) нули и полюсы чередуются, причем как в начале координат (
бесконечности (	∞) обязательно находится либо нуль, либо полюс;
805

3) значения реактивной функции на мнимой оси являются чисто мнимыми и увеличиваются с ростом (в точках непрерывности).

Рассмотрим операторные входные характеристики некоторых реактивных двухполюсников.

Одноэлементные реактивные двухполюсники. Операторное входное со

противление индуктивности			имеет нуль в начале координат. При					∞
функция	принимает бесконечно большое значение [функция полюсимеет по
люс на бесконечности]. Нули и полюсы			лежат на мнимой оси (				или нуль,
							). Нули и
находящийся на бесконечности, считается расположенным на мнимой оси								чисто
полюсы	чередуются, причем	при	значение функцииx		является
мнимым:		, и растет с ростом : d		/d		0 (рис. 9.1, а).

Рис. 9.1. Зависимости от частоты мнимых составляющих комплексного входного сопротив ления (а) и комплексной входной проводимости (б) индуктивности

Операторная входная проводимость индуктивности					1/	имеет по
люс при	0 и нуль при	∞, т. е. нули функции		соответствуют полюсам
функции	, и наоборот. Значения функции		на мнимой оси являются мни
мыми:	1⁄	и увеличиваются с ростом			: d	⁄d
1⁄	0 (рис. 9.1, б).

Поскольку емкость и индуктивность являются дуальными элементами, опера торные входные характеристики емкости обладают такими же особенностями, как и операторные входные характеристики индуктивности.

Двухэлементные реактивные двухполюсники. Операторное входное со противление последовательной LC цепи

1⁄ ⁄

имеет полюсы в начале координат pх1 = 0 и на бесконечности pх2 = ∞ и нули, распо ложенные на мнимой оси: , , где 1⁄√ (рис. 9.2, а) (полю сы и нули, находящиеся на бесконечности, на полюсно нулевых диаграммах обычно не изображают). Нулям операторного входного сопротивления последовательной LC цепи соответствуют полюсы операторной входной проводимости этой цепи (рис. 9.2, б)

806

Рис. 9.2. Полюсно нулевые диаграммы операторного входного сопротивления (а) и операторной входной проводимости (б) последовательной LC цепи

			1			,
			1⁄				. На мнимой оси
а полюсам операторного входного сопротивления					нули
значения функций	и	являются чисто мнимыми					;
		|		⁄
		|	⁄

и увеличиваются с ростом (рис. 9.3, а, б).

Рис. 9.3. Зависимости от частоты мнимых составляющих комплексного входного сопротив ления (а) и комплексной входной проводимости (б) последовательной LC цепи

LC	Параллельная LC цепь является дуальной по отношению к последовательной
	цепи, поэтому операторное входное сопротивление		⁄	LC	и опе
раторная входная проводимость		⁄ параллельной			цепи обла

дают такими свойствами, как и соответствующие им характеристики последова тельной LC цепи.

Многоэлементные реактивные двухполюсники. Анализируя оператор ные входные характеристики произвольных реактивных двухполюсников, нетрудно убедиться в том, что общее число нулей и полюсов соответствующих функций на положительной мнимой полуоси, включая и внешние (в начале координат и на бес

807

конечности), равно 1, где — число независимо включенных реактивных эле ментов. В зависимости от расположения нулей и полюсов на положительной мни мой полуоси различают операторные характеристики реактивных двухполюсников:

1)	типа 0	— 0 (нули при	0 и	∞);	∞);
2)	типа 0	— х (нуль при	0 и полюс при
3)	типа х— 0 (полюс при		0 и нуль при		∞);
4)	типа х — х (полюсы при		0 и	∞).

Для того чтобы определить, к какому типу относятся операторные характери стики заданного произвольного реактивного двухполюсника, достаточно устано вить, имеются ли между его внешними выводами пути, проходящие только через индуктивности и только через емкости. Если между выводами двухполюсника мож но найти путь, проходящий только через индуктивности (очевидно, что сопротив ление такого двухполюсника постоянному току равно нулю), то операторное вход ное сопротивление имеет нуль при ω = 0. Если между выводами двухполюсника от сутствует путь, проходящий только через индуктивности (сопротивление двухпо люсника постоянному току бесконечно велико), то операторное входное сопротив ление имеет полюс в начале координат (т.е. при ω = 0). Соответственно, если между выводами двухполюсника существует путь, проходящий только через емкости, то его операторное входное сопротивление имеет нуль на бесконечности (т.е. при ω = ∞), в противном случае сопротивление двухполюсника имеет полюс на бесконечно сти. Зная особенности операторных характеристик реактивных двухполюсников, можно качественно, по виду схемы двухполюсника, построить частотные характери стики произвольного реактивного двухполюсника.

Пример9.4.Определим тип частотных характеристик и построим качественно зави симости от частоты мнимых составляющих комплексных входного сопротивления и вход ной проводимости реактивного двухполюсника, схема которого изображена на рис. 9.4, а.

Рис. 9.4. К примеру 9.4

Непосредственно по схеме находим, что между внешними выводами двухполюсни ка имеется один путь, проходящий только через индуктивности, и отсутствуют пути, прохо дящие только через емкости. Следовательно, частотная характеристика входного сопротив ления относится к типу 0 — х, а частотная характеристика входной проводимости — к типу х—0. Общее число нулей и полюсов, включая внешние, на единицу больше числа независи мо включенных реактивных элементов, оно равно четырем. Зависимости от частоты мни

808

мых составляющих комплексных входного сопротивления и входной проводимости рас сматриваемого двухполюсника приведены на рис. 9.4, б, в.

Операторные входные характеристики безындуктивных и безъемкост ных цепей

В отличие от реактивных цепей, полюсы и нули операторных входных характе ристик которых расположены только на мнимой оси плоскости комплексного пере менного , полюсы и нули операторных входных характеристик безындуктивных, или RС цепей, и безъемкостных, или RL цепей, располагаются только на отрица тельной вещественной полуоси. Нули и полюсы операторных входных характери стик чередуются и являются простыми (некратными).

Рис. 9.5. Схемы и полюсно нулевые диаграммы операторных входных сопротивлений про стейших безъемкостных цепей

Исходя из физических представлений, нетрудно прийти к выводу, что при час тоте p, равной нулю, сопротивление RL цепи может быть или равно нулю, или иметь конечное действительное значение; на бесконечно большой частоте сопротивление RL цепи либо бесконечно велико, либо имеет конечное действительное значение. Следовательно, операторное входное сопротивление безъемкостной цепи не может иметь полюса в начале координат и нуля на бесконечности. Соответственно опера торная входная проводимость этой цепи не может иметь нуля в начале координат и полюса на бесконечности. Если операторное входное сопротивление (операторная входная проводимость) безъемкостной цепи на нулевой частоте имеет конечное действительное значение (между входными зажимами цепи отсутствует путь, про ходящий только через индуктивности), то ближайшим к началу координат окажется нуль операторного входного сопротивления (полюс операторной входной проводи мости). Примеры полюсно нулевых диаграмм операторных входных сопротивлений простейших RL цепей приведены на рис. 9.5, а —г.

Операторное входное сопротивление безындуктивной цепи на нулевой частоте может быть бесконечно большим или иметь конечное действительное значение, а

809