правило, несимметричны относительно главных диагоналей).

Применение теоремы взаимности в сочетании с принципом наложения позво ляет в ряде случаев существенно упростить расчет тока или напряжения какой либо ветви электрической цепи, содержащей несколько независимых источников напря жения или тока.

Пример4.11. Рассмотрим линейную электрическую цепь, содержащую N независи мых источников напряжения 1, 2, …, i, …, N, размещенных соответственно в ветвях 1, 2, ..., i, …, N. Определим ток k й ветви, не содержащей источников энергии.

Найдем сначала токи , ,…, , , ветвей 1, 2,…, i, …, N, вызванные дей ствием некоторого дополнительного источника ЭДС k, помещенного в k ю ветвь, при вы

ключенных источниках	1, 2, …, i ,…, N . Далее в соответствии с теоремой взаимности
найдем частичные токи	, вызываемые в k й ветви действием каждого источника i, в от
дельности. Если бы ЭДС источника i, расположенного в i й ветви, была равна				k, то соглас
но теореме взаимности частичный ток k й ветви был бы равен		. Если	i	k , то час
тичный ток k й ветви, вызванный действием ЭДС i , пропорционален			:

.

Суммируя частичные токи, вызванные действием всех независимых источников напряжения, находим

.

Таким образом, анализ сложной электрической цепи, содержащей N независимых источников напряжения, свелся к определению токов ветвей более простой цепи, содержа щей один независимый источник напряжения.

Теорема компенсации

Теорема компенсации формулируется следующим образом: токиинапряжения ветвей произвольной электрической цепи не изменятся, если любую ветвь этой цепи заменить идеальным источником ЭДС, напряжение которого равно напряжению данной ветви и имеет одинаковое с ним направление, либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви и совпадает с ним по на­ правлению.

Напомним, что направление напряжения на зажимах источника ЭДС противо положно направлению ЭДС, т. е. противоположно направлению стрелки в условном графическом изображении источника (рис. 1.12, а).

Теорема компенсации базируется на общих свойствах основной системы урав нений электрического равновесия цепи и не накладывает ограничении на тип ис следуемой цепи или характер внешнего действия. Рассмотрим, например, линейную электрическую цепь, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим в данной цепи произвольную ветвь, комплексное сопротивление которой равно

(рис. 4.13, а). Напряжение и ток этой ветви связаны уравнением.		, составленным на
основании закона Ома в комплексной форме =	В соответствии с теоремой

357

компенсации выделенную ветвь можно заменить идеальным источником ЭДС (рис. 4.13, б), напряжение которого равно напряжению данной ветви = = и имеет одинаковое с ним направление (ЭДС источника направлена навстречу напряжению ветви), либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой

ветви = = / и совпадает с ним по направлению (рис. 4.13,	в	).

Составляя основную систему уравнений электрического равновесия каждой из цепей (рис. 4.13, б, в), убедимся, что она совпадает с основной системой уравнений электрического равновесия исходной цепи. Действительно, при формировании уравнений электрического равновесия исходной цепи напряжение = выде ленной ветви учитывается со знаком плюс в левой части уравнений баланса напря

жений, составленных для контуров, содержащих эту ветвь (предполагаетсяk		, что на
правление обхода этих контуров совпадает с направлением тока	). При составле
нии уравнений электрического равновесия цепи (рис. 4.13, б) член	=	в левой

части соответствующих уравнений отсутствует, однако в правой части этих уравне

ний появляется член		= − = −	. Следовательно, замена комплексного сопро
тивления	идеальным	источником	напряжения =	соответствует переносу
члена	из левой части уравнений баланса напряжений в правую. При составле

нии уравнений электрического равновесия исходной цепи (рис. 4.13, а) ток выде ленной ветви учитывается в левой части уравнений баланса токов; соответствую

щие уравнения преобразованной,		цепи (рис. 4.13, в) вместо тока , через комплекс
ное сопротивление	содержат равный ему ток = = / идеального источника

тока. Таким образом, цепи, схемы которых приведены на рисунке, являются эквива лентными.

Рис. 4.13. К доказательству теоремы компенсации

Необходимо отметить, что источники напряжения и тока, заменившие соглас но теореме компенсации сопротивление ветви Zk, зависимые: ЭДС источника напря жения прямо пропорциональна току ветви, содержащей этот источник, а ток ис точника тока прямо пропорционален напряжению этой ветви. Из эквивалентности

цепей следует, что идеальныйk k источник напряжения, ЭДС которого пропорциональ
на отдаваемому току ( = Z ), и идеальный источник токаk Z,k					ток которого прямо про
порционален напряжению на зажимахk			источникаk	( = /	) могут быть заменены
комплексным, сопротивлением	Z	= /	= / .

Теорема компенсации расширяет возможности эквивалентных преобразова ний электрических цепей, в частности ее применение совместно с переносом источ

358

ников тока или напряжения позволяет производить перенос любых двухполюсных элементов электрической цепи.

Пример4.12. Применим теорему компенсации для переноса сопротивления Z3 рис. 4.2, а . Последовательность выполняемых преобразований показана на рис 4.14, а — в. На первом шаге преобразований сопротивление Z3 в соответствии с теоремой компенсации за

меняется источником напряжения 3 Z3 3 рис. 4.14, а . Далее источник напряжения			3
переносится из третьей ветви во вторую и четвертую, управляющий источником ток			3 при
этом выражается через токи второй и четвертой ветвей:	3	2 — 4. Источник 3 во второй
и четвертой ветвях заменяется двумя источниками: 3	Z3 2	Z3 4 , а узел 2 из цепи ис
ключается рис. 4.13, б .

Источники напряжения Z3 2 во второй и Z3 4 в четвертой ветвях представляют со бой управляемые источники, напряжения которых пропорциональны токам источников и, следовательно, каждый из них может быть заменен сопротивлением Z3, включенным во второй и четвертой ветвях рис. 4.14, в . В результате проведенных преобразований третья ветвь оказалась исключенной из схемы, ее сопротивление Z3, перенесено во вторую и чет вертую ветви. Кроме того, в этих ветвях появились источники напряжения Z3 4 и Z3 2, управляемые токами четвертой и второй ветвей.

Преобразование переноса сопротивлений представляет собой частный случай уни версальных преобразований переноса, разработанных проф. М. А. Шакировым 10 .

Перенося сопротивление Z6 из шестой ветви в четвертую и пятую, из полученной схемы цепи рис. 4.14, в можно исключить шестую ветвь рис. 4.14, г . Далее, перенося ис точник ЭДС во вторую ветвь и учитывая, что элементы, включенные последовательно с источником тока, не влияют на ток пятой ветви, получаем схему замещения исходной цепи, представляющую собой три замкнутые ветви рис. 4.14, д , токи которых равны токам глав ных ветвей исходной цепи см. рис. 4.2, а , а их компонентные уравнения

;

;

совпадают с контурными уравнениями исходной цепи см. пример 4.4 при 11 2,

22 4, 33 5

Автономные и неавтономные двухполюсники

Рассмотрим произвольный активный линейный двухполюсник, содержащий наряду с идеализированными пассивными элементами управляемые и неуправляе мые источники тока или напряжения. Представляют интерес два предельных режи ма работы такого двухполюсника: режим холостого хода, когда ток внешних выво дов двухполюсника равен нулю, и режим короткого замыкания, при котором на пряжение между внешними выводами двухполюсника равно нулю. Напряжение ме жду выводами двухполюсника в режиме холостого хода называется напряжением холостого хода, а ток между выводами двухполюсника в режиме короткого замы кания — током короткого замыкания.

359

Рис. 4.14. К примеру 4.12

Двухполюсник, напряжение холостого хода или ток короткого замыкания ко торого не равны нулю, назовем автономным. Очевидно, что автономный двухпо люсник должен содержать один или несколько нескомпенсированных независимых источников, т. е. таких источников, сумма частичных реакций на воздействие кото рых на внешних зажимах двухполюсника не равна тождественно нулю. Если напря жение холостого хода и ток короткого замыкания двухполюсника тождественно равны нулю, то такой двухполюсник будем называть неавтономным. Неавтоном ный двухполюсник не может содержать нескомпенсированных независимых источ ников, т. е. в его состав могут входить только идеализированные пассивные элемен

360

ты и управляемые источники тока или напряжения Таким образом, активные

двухполюсники могут быть автономными или неавтономными, а пассивные двухполюсники представляют собой частный случай неавтономных.

Комплексным входным сопротивлением Z неавтономного двухполюсника называется отношение комплексной амплитуды напряжения на его зажимах к ком плексной амплитуде тока (заметим, что данное в модуле 2.2 определение комплекс ного входного сопротивления пассивного двухполюсника естественным образом вытекает из этого определения). Если неавтономный двухполюсник не содержит управляемых источников, т. е. является пассивным, то его комплексное входное со противление может быть найдено, например, путем постепенного сворачивания схемы двухполюсника с использованием методов преобразования пассивных цепей. В общем случае комплексное входное сопротивление неавтономного двухполюсника находят методом пробного источника, в соответствии с которым ко входу исследуе мого двухполюсника подключают произвольный независимый источник напряже ния или тока (пробный источник) и определяют отношение комплексных дейст вующих значений напряжения и тока на внешних зажимах двухполюсника.

Пример4.13. Определим комплексное входное сопротивление неавтономного двух полюсника, схема которого изображена на рис. 4.15, а задачи такого типа часто встречают ся на практике, например при расчете комплексного входного сопротивления усилительно го каскада на полевом транзисторе .

Подключим к входным зажимам исследуемой цепи пробный источник напряжения е рис. 4.15, б и найдем комплексное действующее значение входного тока двухполюс ника:

.

Для определения комплексного действующего значения напряжения на емкости С3, составим уравнение электрического равновесия цепи рис. 4.15, б по методу узловых на пряжений:

1

,

Рис. 4.15. К примеру 4.13

Откуда

1.

Таким образом, входной ток цепи прямо пропорционален ЭДС пробного источника

1

361

и, следовательно, комплексное входное сопротивление двухполюсника не зависит от значения этой ЭДС:

							1	1				.
В области низких частот ω
						0 входное сопротивление двухполюсника имеет ем
костный характер						1			1
|										,
									эк			C1 1 RS С2.
причем эквивалентная входная емкость двухполюсника Сэк

Аналогичный результат получается и в том случае, когда в качестве пробного ис пользуют произвольный независимый источник тока j .

Каждому автономному двухполюснику можно поставить в соответствие неко торый неавтономный двухполюсник, который получается из исходного путем вы ключения всех входящих в него независимых источников тока и напряжения. Ком­

плексным входным сопротивлением линейного автономного двухполюсника

называется комплексное входное сопротивление соответствующего ему неавтоном ного двухполюсника. Таким образом, комплексное входное сопротивление автоном ного двухполюсника может быть определено как отношение комплексной амплиту ды напряжения к комплексной амплитуде тока на зажимах неавтономного двухпо люсника, который получается из заданного автономного двухполюсника путем вы ключения всех входящих в него независимых источников тока и напряжения. Ком плексное входное сопротивление автономного двухполюсника может быть также найдено как отношение комплексных изображений напряжения холостого хода и тока короткого замыкания этого двухполюсника. Подобно комплексному входному сопротивлению, комплексная проводимость автономного двухполюсника определя ется как комплексная входная проводимость соответствующего ему неавтономного двухполюсника. Она также может быть найдена как величина, обратная комплекс ному входному сопротивлению автономного двухполюсника, или как отношение комплексных изображений тока короткого замыкания и напряжения холостого хода двухполюсника.

Пример4.14. Определим напряжение холостого хода х, ток короткого замыкания к и комплексное входное сопротивление Z активного двухполюсника, схема которого приве дена на рис. 4.16, а.

362