Модуль 5.4. Нелинейные резистивные элементы при гармоническом внеш нем воздействии

Цель модуля: определение реакции нелинейного резистивного элемента на гармоническое внешнее воздействие. Определение амплитуд гармонических и ком бинационных составляющих. Изучение спектрального состава реакции нелинейных резистивных элементов на гармоническое воздействие.

Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии

Ранее, при рассмотрении графических методов анализа нелинейных цепей (см. модуль 5.2), было показано, что реакция нелинейного резистивного элемента на гармоническое внешнее воздействие в общем случае не является гармонической функцией времени. Так как графические методы анализа позволяют установить только качественное соответствие между видом ВАХ нелинейного резистивного элемента и реакцией этого элемента на заданное гармоническое воздействие, для получения количественных соотношений необходимо воспользоваться аналитиче скими методами.

Пусть ВАХ некоторого нелинейного сопротивления может быть аппроксими рована полиномом n й степени

, 5.22

а внешнее воздействие x = x(t) является гармонической функцией времени

cosωt . 5.23

Подставляя (5.23) в (5.22) и выражая слагаемые вида ak[Xm cos ωt]k через гар монические функции кратных частот

2

3

4

5

получаем

где

cos	2	2	2		1	cos2
		2	3
cos	3	3			3cos		cos3 ;
		4	4					5.24
		4
cos	4	8	5		3	4cos2	cos4	;
cos	5	5			10cos		5cos3	cos5 и т.д.,
		16

cos

,

5.25

_	1	3	5	;
	2	8	16

434

	3	5	;
1	4	8
	1	15	;
2	2	32

. . . . . . . . . . . . . . .

1

2 .

Как следует из выражения (5.25), реакция нелинейного сопротивления на гар моническое внешнее воздействие определенной частоты ω, представляет собой сумму постоянной составляющей S_ и гармонических составляющих (гармоник) с частотами, кратными частоте внешнего воздействия. Гармоническая составляющая, частота которой равна частоте внешнего воздействия (k=1), называется первой гармоникой, гармоническая составляющая, частота которой в два раза превышает частоту внешнего воздействия (k=2), второй гармоникой и т. д. Номер высшей гармонической составляющей k равен степени полинома n, аппроксимирующего ВАХ рассматриваемого нелинейного сопротивления. Амплитуда k й гармоники Smk зависит только от членов полинома k й и более высоких степеней, причем ампли туды четных гармоник и постоянная составляющая определяются только членами полинома четных степеней, а амплитуды нечетных гармоник — членами полинома нечетных степеней. Следовательно, если ВАХ нелинейного сопротивления аппрок симируется четным полиномом, то реакция нелинейного сопротивления не будет содержать нечетных гармоник, а если ВАХ аппроксимируется нечетным полиномом, то реакция нелинейного сопротивления на гармоническое воздействие не будет со держать постоянной составляющей и четных гармоник. Выражение (5.25) иллюст рирует важнейшее свойство нелинейных цепей, заключающееся в том, что их реак­ ция на гармоническое воздействие содержит колебания различных частот (в том числе и нулевой), т. е. нелинейная цепь выступает в роли генератора колебаний, час­ тота которых отличается от частоты внешнего воздействия.

Понятие о режимах малого и большого сигнала

Как следует из изложенного ранее, реакция безынерционного нелинейного ре зистивного элемента на гармоническое внешнее воздействие полностью определя ется видом полинома, аппроксимирующего ВАХ рассматриваемого элемента. В свою очередь, степень аппроксимирующего полинома и значения его коэффициентов за висят от формы ВАХ элемента, а также от ширины и местоположения рабочей об ласти ВАХ. На практике для выбора местоположения рабочей области ВАХ нелиней ного резистивного элемента, находящегося под гармоническим внешним воздейст вием, на зажимы этого элемента наряду с гармоническим воздействием подают не которое постоянное напряжение или постоянный ток, так называемые напряжение

или ток смещения.

435

Пусть напряжение u на зажимах некоторого нелинейного сопротивления R(u) содержит постоянную составляющую U_ (напряжение смещения) и переменную со ставляющую, изменяющуюся во времени по гармоническому закону:

∆

cos ωt .

5.26

Для определения тока сопротивления i воспользуемся выражением (5.16), ап проксимирующим ВАХ сопротивления в окрестности рабочей точки uр = U_. Подстав ляя (5.26) в (5.16) и используя формулы (5.24), (5.25), получаем

_

cos

,

5.27

здесь I_ — постоянная составляющая тока сопротивления; lm1 , Im2, …,Imn— амплиту ды 1, 2, …, n й гармоник, определяемые выражениями:

		1			3	5		;
		2	3		8	5	16
								;
1			4			8
			1			15		;
2				2			32
. . . . . . . . . . . . . . .
2		1	.					5.28

Рассмотрим случай, когда амплитуда переменной составляющей напряжения Um = 0. Тогда ток через сопротивление будет иметь постоянное значение

|

p,

5.29

называемое током покоя.

Из определения статического сопротивления (см. модуль 1.2) следует, что ток покоя и напряжение смещения uр= U_ связаны между собой соотношением

р	р	ст,	5.30
	ст

т. е. статическое сопротивление можно рассматривать как сопротивление нели­ нейного элемента постоянному току в выбранной рабочей точке.

Обратимся к так называемому режиму малого сигнала, при котором амплиту да переменной составляющей настолько мала, что в пределах рабочей области ВАХ может быть приближенно заменена отрезком прямой линии. Это означает, что в разложении (5.16) можно пренебречь всеми членами, содержащими ∆u в степенях выше первой. Как следует из выражений (5.27), (5.28), ток нелинейного сопротивле

436

ния в рассматриваемом режиме содержит две составляющие: постоянную I_, равную току покоя, и переменную ∆i , частота которой совпадает с частотой переменной со ставляющей приложенного напряжения:

∆

cosωt

cosωt.

5.31

Подставляя выражение (5.26) в (5.31) и используя определение дифференци ального сопротивления (см. модуль 1.2), находим, что переменные составляющие тока и напряжения сопротивления связаны между собой соотношением

		∆
∆	∆		.
		диф

Таким образом, дифференциальное сопротивление нелинейного резистивного двухполюсного элемента можно рассматривать как сопротивление этого элемента для малых приращений, или, другими словами, как сопротивление переменному току в режиме малого сигнала.

Из выражений (5.29), (5.31) следует, что в режиме малого сигнала постоянная составляющая тока нелинейного сопротивления зависит только от постоянной со­ ставляющей приложенного напряжения, а амплитуда переменной составляющей тока прямо пропорциональна амплитуде переменной составляющей напряжения.

Следовательно, в режиме малого сигнала нелинейное сопротивление ве­ дет себя подобно линейному, а нелинейность его проявляется только в том, что значения Rст и Rдиф зависят от выбора рабочей точки.

Аналогичным образом определяется режим малого сигнала и для управляемых нелинейных резистивных элементов: ВАХ этих элементов в пределах рабочей облас ти приближенно заменяются отрезками прямых линий, а в разложениях вида (5.19) пренебрегают всеми членами, содержащими приращения токов или напряжений в степенях выше первой. Постоянные составляющие токов выводов управляемых не линейных резистивных элементов в этом режиме равны токам покоя и не зависят от переменных составляющих токов и напряжений, в то время как амплитуды пере менных составляющих токов и напряжений связаны между собой линейными зави симостями.

Пример5.7.Найдем выражения для постоянной и переменной составляющих токов выводов полевого и биполярного транзисторов в режиме малого сигнала и построим схемы замещения этих элементов по переменному току.

На достаточно низких частотах ток стока с полевого транзистора, включенного по схеме с общим истоком рис. 5.22, а , определяется напряжениями затвор — исток uзи и сток — исток uси, а ток затвора з равен нулю:

зи, си ;

з0.

Раскладывая функцию двух переменных ic uзи, uси в ряд Тейлора при uзи Uзи uзи р , uси Uси uси р и отбрасывая члены ряда, содержащие приращения напряжений ∆uзи и ∆uси

437

Рис. 5.22. К примеру 5.7

в степенях выше первой, находим выражения для постоянной и переменной составляющих тока стока:

с	с р	с	зи, си ;
с		зи	си,

где

с

зи зи зи, си си

с

си зи зи, си си

крутизна полевого транзистора,

его внутренняя проводимость.

Полученные выражения в сочетании с ранее введенным условием iз 0 позволяют построить схемы замещения полевого транзистора по постоянному рис. 5.22, б и перемен ному рис. 5.22, в току. Рассмотренная ранее схема замещения полевого транзистора см.

рис. 1.19, б может быть получена из схемы, приведенной на рис. 5.22, в, если учесть межэ лектродные емкости транзистора Сзи, Сзс, Сси и опустить знак ∆ в обозначениях переменных составляющих токов и напряжений.

Используя аналогичную методику, находим уравнения, связывающие между собой переменные составляющие напряжений и токов на зажимах биполярного транзистора, включенного по схеме с общей базой рис. 5.22, г :

эб	эб	э	эб		к;
	э		к
кб	кб	э	кб		к,
	э		к

iк iк р .	где все частные производные берутся в рабочей точке транзистора, т. е. при iэ iэ р,
	Вводя обозначения			б;	эб	б;
		эб	э
		э			к

438

кб	б;	кб	б	к,
э		к

преобразуем полученную систему уравнений к следующему виду:

∆ эб	э∆ э	б ∆ э ∆ к ;
∆ кб	∆ э	к∆ к	б ∆ э ∆ к .

Этой системе уравнений соответствует схема замещения биполярного транзистора по переменному току, изображенная на рис. 1.19,а.

Анализ нелинейных резистивных цепей в режиме малого сигнала обычно вы полняют в два этапа. На первом этапе анализируют нелинейную цепь по постоянно му току, при этом все нелинейные резистивные элементы представляют схемами замещения по постоянному току (в частности, двухполюсные нелинейные рези стивные элементы представляют их статическими сопротивлениями). На втором этапе выполняют анализ цепи по переменному току и все элементы цепи заменяют схемами замещения по переменному току (двухполюсные нелинейные резистивные элементы представляются дифференциальными сопротивлениями). Окончательно реакцию цепи находят как суперпозицию решений, полученных в процессе анализа по постоянному и переменному току.

В режиме большого сигнала ВАХ нелинейного резистивного элемента в преде лах рабочей области не может быть заменена отрезком прямой и в полиноме (5.16), аппроксимирующем ВАХ в окрестности рабочей точки, приходится учитывать чле ны, содержащие ∆u в степенях выше первой. В этом случае, как следует из выраже ний (5.28), переменная составляющая тока включает в себя гармонические состав ляющие, частота которых кратна частоте переменной составляющей приложенного напряжения, постоянная составляющая тока отличается от тока покоя:

_	1		3	,
	р	2	8

а амплитуда первой гармоники Im1 не прямо пропорциональна амплитуде перемен ной составляющей напряжения.

Таким образом, в режиме большого сигнала постоянная составляющая то­ ка и амплитуды всех гармоник зависят как от напряжения смещения, так и от ампли туды переменной составляющей напряжения Um, поэтому раздельное исследование цепи по постоянному и переменному току становится невозможным.

Нелинейное сопротивление при одновременном воздействии двух гармо нических колебаний

Найдем реакцию нелинейного сопротивления на внешнее воздействие x(t), представляющее собой сумму двух гармонических колебаний различных частот:

cos

cos

.

5.32

Пусть ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимирована полиномом второй степени

439