1)звезда сопротивлений (рис. 2.47, б) заменяется треугольником сопротивле ний (рис. 2.49, а):

;

;

;

2) источники напряжения а , b , с (рис. 2.49, а) переносятся в ветви треуголь ника (рис. 2.49, б);

Рис. 2.49. К преобразованию активной звезды в активный треугольник

3) источники напряжения a , b , c попарно включенные в ветви треугольни ка, заменяются эквивалентными источниками (рис 2.47, а):

;

;

.

Используя аналогичные преобразования, активная N лучевая звезда может быть преобразована в активный N угольник.

Вопросы для самопроверки

1.Полностью или частично эквивалентными являются схемы замещения ин дуктивной катушки, приведенные на рис. 3.21?

2.Полностью или частично эквивалентным является преобразование двухпо люсника, приведенное на рис. 2.55?

3.Полностью или частично эквивалентным является преобразование четырех полюсника, приведенное на рис. 2.56?

186

4.Могут ли два участка цепи быть эквивалентными, если один из них состоит из сопротивлений, емкостей и индуктивностей, а другой – только из сопротивлений и емкостей?

5.Преобразование последовательной схемы замещения линеаризованного ис точника в параллельную является полностью или частично эквивалентным?

6.Сколько последовательных и параллельных схем замещения имеет пассивный двухполюсник на фиксированной частоте?

7.При каком условии преобразование участка цепи, состоящего из трех элемен тов, соединенных треугольником, в другой участок, в котором элементы соединены звездой, будет полностью эквивалентным?

8.Можно ли использовать метод пропорциональных величин (метод пропор ционального пересчета) для анализа любой линейной цепи?

Задачи

2.49. Выразите комплексные входные сопротивления цепей (рис. Т2.16, а, б) через комплексные сопротивления их элементов.

Рис. Т2.16

2.50.Решите задачу 2.37м, используя эквивалентные преобразования участков

цепи.

2.51.Определите комплексное входное сопротивление и параметры схем за

мещения цепей рис. Т2.17,5

а б

Параметры7

элементов цепи:

С

1 =70 пФ;

С

2

= 30 пФ;

,

6.

С

3

= 200 пФ;

С

4

= 100 пФ;

С

=

С

=

С

= 300 пФ;

L

1 =

L

2

…=

L

6

= 8 мГн;

f

= 1 МГц.

Рис. Т2.17

187

2.52м. Рассчитайте комплексное входное сопротивление цепи рис. Т2.18 на частотах f1 = 39,8 кГц; f2 = 79,6 кГц; f3 =159 кГц. Параметры элементов цепи:

R1 = R2 = 1 кОм; С1 = С2 = 0,5 нФ; L = 10мГн.

Рис. Т2.18

2.53м. Постройте последовательную и параллельную схемы замещения цепи, рассмотренной в задаче 2.52м. Определите параметры элементов этих схем.

2.54м. Определите параметры элементов последовательной схемы замещений цепи, рассмотренной в задаче 2.29м.

2.55м. Найдите параметры элементов последовательной схемы замещения участка цепи, состоящего из параллельно включенных резистивного (R = 100 кОм) и емкостного (С = 1 нФ) элементов на угловой частоте ω =106 рад/с.

2.56м. Определите параметры элементов последовательной схемы замещения цепи, рассмотренной в задаче 2.28р.

2.57р. Вычислите входное сопротивление цепи, рассмотренной в задаче 2.40м, путем эквивалентных преобразований ее участков.

2.58м. Используя эквивалентные преобразования участков цепей, рассчитайте ток i 5 цепи, рассмотренной в предыдущей задаче, при подключении к ее выводам источника ЭДС е = 1 В.

Рис. Т2.19

188

2.59м. Определите входное сопротивление цепи рис. Т2.19. Параметры элемен тов цепи: R1 = 714 Ом; R2 = 833 Ом; R3 = 500 Ом; R4 = 333 Ом; R5 = 250 Ом; R6 = 1 кОм; R7 = 1,43 кОм; R8 = 625 Ом.

2.60р. Найдите емкости С13,. С23, С12, при которых схема рис. Т2.20, б эквива лентна схеме рис. Т2.20, а, если С1 = С2 = 340 пФ, С3 = 20 пФ.

Рис. Т2.20

2.61р. Вычислите входное сопротивление цепи (рис. Т2.21). Параметры эле ментов цепи: R1 = R3 = R6 = 10 кОм; R2 = R4 = R5 = R7 = 2 кОм.

		2.62м.				Рис. Т2.21			Рис. Т2.22
R		R	R		Определите			входную	проводимость цепи рис. Т2.22. если
	1 =	3 =		5 = 100 Ом;		R	R	4 = 20 Ом.
						2 =

2.63. Решите задачи 2,52м и 2.62м методом пропорционального пересчета.

Решения и методические указания

RЭквивалентное комплексноеR L C

сопротивление ветви, составленной из

2.52м.

C

L

Z

Z

Z

Z

элементов

1,

1 и

,

эк1

=

1 +

+

1

. Эквивалентное комплексноеC

сопротивлеC

ние

Z

параллельно включенных ветвей

R

1,

C

1,

L

Zи

C

2

Z

Z

Z

Z

Z

2R).

эк2

1

R

эк2

= (

эк1

2)/(R

эк1Z+R

КомплексноеL C

Cвходное

сопротивление

всей

цепи

вx =

Z

2 +

Z

эк2

,

где

Z

1

= 2 =

,

Z

=

jωL

;

Z

1

=

Z

j

ωC

).

2 = – /(

2.53м. Последовательная и параллельная схемы замещения цепи, комплексное входное сопротивление которой имеет резистивно емкостный характер, изображе ны на рис. Т2.23 а, б. Комплексное сопротивление последовательной цепи Z’ = R’ – j/(ω ). Сравнивая его с найденным в задаче 2.52 комплексным входным со противлением рассматриваемой цепи Z = r + jx на частотах, соответствующих рас

189

сматриваемому случаю, определим параметры элементов последовательной схемы замещения: R’ = r; C’ = –1/(ωx). Комплексная входная проводимость параллельной схемы замещения Y’’ = 1/R’’ + jω . Сравнив ее с входной проводимостью рассматри ваемой цепи Y = 1/Z = g + jb, найдем параметры элементов параллельной схемы за мещения: R’’ = 1/g; C’’ = b/ω. Определим параметры элементов последовательной и параллельной схем замещения цепи рис. Т2.24, а и б на частоте f = f2. Комплексное входное сопротивление цепи в этом случае имеет резистивно индуктивный харак тер, а параметры последовательной и параллельной схем замещения (рис. Т2.24) принимают следующие значения: R’ = r, L’ = x/ω, R’’ = 1/g; L’’ = 1/(ωb).

2.54м.				Рис. Т2.23				Рис. Т2.24	цепи
			Комплексное				входное сопротивление рассматриваемой
вх								. Входное сопротивление эквивалентной	це

пи Z ’ = R’ – j/(ω ). Приравняв попарно резистивные и реактивные составляющие сопротивлений Z и Z ’, получим R’ = R/[1+(ωRC)2]; C ’ = [1 + (ωRC)2]/(ω2R2C).

2.55м. См. указания к задаче 2.54м.

2.56м. Параметры элементов последовательной схемы замещения определяют из равенства комплексных входных сопротивлений параллельной и последователь ной цепи (см. указания к задаче 2.54м: R ‘ = R/[1+(R/ωL)2]; L ‘ = L/[1 + (ωL/R)2].

2.57р.

Преобразуем звезду из резистивных элементов

R

4 ,

R

5 ,

R

6

в треугольник

(Rрис.

RТ2.25,

а

R

45 =

R

4 +

R

5 +

R

4

R

5 /

R

6 = 5 кОм;

R

56

=

R

5

+

R

R

5

R

6 /

R

4 = 10

кОм;

):

R

6

+

46 =

R

R

6

R

5

= 10 кОм. Заменим параллельно включенные элементы

R

1

и

R

4 + R

6 + R4

/R

R

46,

R

2RиR

45,

R3 иR

56

соответственно элементами

R

эк1,

R

эк2,

R

эк3 (рис. Т2.25,

б

):

R

эк1 = (R

1R

46)/(

1 +

46) = 2,86 кОм;

R

эк2 = (

R

2

R

45)/(

R

2 +

R

45) = 2,22

кОм;

эк3 =R(

3 R56)(

R

3R+

R

56 )R= 1,67RкОм.

Входное

сопротивление

цепи

R

R

вх =

эк1(

эк2 +

эк3)/(

эк1 +

эк2 +

эк3)= 1,65 кОм.

190

2.58м. Из решенияi	задачиi i		2.57р (см.i			рис.iТ2.25, а) и в соответствии с первым за
коном Кирхгофа ток 5	= 45 +		56 . Токи			45 ,u56 находят, используя закон Ома после
определения напряжений		=		u	эк2 и	эк3 (см. рис. Т2.25,	б	).

2.59м.

Рис. Т2.25

R

3,

R

R

R

Для “сворачиванияR” цепи заменим 4 х лучевую звезду из элементов

4,

5,

6

четырехугольником

34,

R

46,

R

65,

R

53:

;

и т. д.

2.60р. Для обеспечения эквивалентности преобразования треугольника емко стных элементов C1, С2, С3 в звезду C13, C23, С12 необходимо выполнение условий

=

/(

+

+

);

=

/(

+

+

);

=

/(

+

+

).

CИспользуя

эти

условия,

определяем

С

13

=

C

1

+

С

3

+

C

C

3/

C

2

= 380 пФ;

С

1

23 =

2 +

С

3

+

C

C

3/

C

1 = 380 пФ;

С

12

=

C

1

+

С

2

+

C

C

2/

C

3

= 6,46 пФ.

2

1

2.61р. Выражение для входного сопротивления лестничной цепи можно запи сать в виде непрерывной дроби:

вx

; ; ; ;0; ; ;

11,7 кОм.

2.62. См. решение задачи 2.61р.

191