и Д2 рассматривайте как идеальные (внутреннее сопротивление равно нулю в пря мом направлении и бесконечности — в обратном).

5.16.При экспериментальном исследовании нелинейного двухполюсника (рис. Т5.13) получена ВАХ, показанная на рис. Т5.14. Определите параметры всех элементов. Диоды считайте идеальными.

5.17.Изобразите ВАХ резистивного элемента, для которого статическое со противление равно дифференциальному: а) в любой точке ВАХ; б) на некотором участке ВАХ; в) в одной из точек ВАХ.

Решения и методические указания

5.4м. Запишите уравнение прямой, аппроксимирующей ВАХ на некотором ее участке, и сравните результат с уравнением, аппроксимирующим ВАХ эквива лентной схемы: ⁄ .

5.7м. Замените линейную часть цепи, состоящую из элементов , и источ ника напряжения вх, эквивалентным источником.

5.11м. Об устойчивости и неустойчивости цепи судят по положению нагрузоч ной прямой ⁄ ( — напряжение на нелинейном элементе) относитель но ВАХ нелинейного элемента. Неустойчивому режиму соответствуют прямые, про ходящие в секторе АСМ, границы которого образуют касательные АС и МС, прове денные к ВАХ из точки (рис. Т5.15). В пределах этого сектора, исключая гра ницы, нагрузочная прямая пересекается с ВАХ в трех точках, и цепь статически неус тойчива. Нагрузочные прямые, проходящие вне указанного сектора, пересекаются с ВАХ в одной точке, цепь имеет одну рабочую точку и, следовательно, статически ус тойчива.

5.13р.		Рис. Т5.15	Рис. Т5.16
	Для входной и выходной цепей транзистора составим уравнения элек
трического равновесия по второму закону Кирхгофа: б б				бэ	б , н к	кэ
к . Отсюда		найдем уравнения нагрузочных	прямых:	б	б	бэ ⁄ б ;

кк кэ ⁄ н. По точкам пересечения нагрузочных прямых с входными или

выходными ВАХ (см. рис. Т5.11, б, в) строим две зависимости б							кэ (рис. Т5.16).
Кривая	1	построена по выходным, а кривая			2 —	по входным характеристикам тран
зистора. Точка пересечения кривых			А	определяет режим работы транзистора: б =
420

163 мкА; кэ= 7 В. По уравнению нагрузочной прямой к	кэ определим к 3,3
мА.

5.15р.

Д1

Рис2. Т5.17

При.

0

4 В диоды

Д

закрыты, и токДтечет2

только через эле

мент :

и Д1

/

При 4 В

7 В диод

открыт, диод закрыт. Ток протекает

через две первые ветви:

. При

7 В ток протекает черезвсе ветви:

. Результирующая

ВАХ

показана на рис. Т5.17.

421

Модуль 5.3. Аппроксимация характеристик нелинейных резистивных эле ментов

Цель модуля: знакомство с понятием аппроксимации и основными методами выбора аппроксимирующей функции и определения ее коэффициентов.

Задача аппроксимации

Вольт амперные характеристики реальных элементов электрических цепей обычно имеют сложный вид и представляются в виде графиков или таблиц экспе риментальных данных. В ряде случаев непосредственное применение ВАХ, задавае мых в такой форме, оказывается неудобным и их стремятся описать с помощью дос таточно простых аналитических соотношений, хотя бы качественно отражающих характер рассматриваемых зависимостей. Замена сложных функций приближенны ми аналитическими выражениями называется аппроксимацией (от лат. approximare

— приближаться).

Аналитические выражения, аппроксимирующие ВАХ нелинейных резистивных элементов, для повышения точности и достоверности анализа должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик. Однако повышение точности аппроксимации приводит, как правило, к усложнению аппроксимирующих выраже ний, что затрудняет как определение значений входящих в эти выражения коэффи циентов, так и применение этих выражений для анализа цепи. В связи с тем, что ха рактеристики однотипных нелинейных резистивных элементов отличаются друг от друга за счет производственного разброса параметров и погрешности измерений, нецелесообразно стремиться получить аппроксимирующие выражения, точность которых превышает точность определения характеристик отдельных элементов и пределы их производственного разброса.

Таким образом, при решении задачи аппроксимации так же, как и при решении любой задачи, связанной с выбором расчетной модели, необходимо идти на компро­ мисс между точностью и сложностью модели.

Успешное решение задачи аппроксимации в значительной степени зависит от ширины аппроксимируемой области ВАХ, т. е. от диапазона, в котором могут изме няться токи и напряжения исследуемого элемента. Как правило, чем у́же область ап проксимации, тем более простой функцией может быть описана соответствующая ВАХ.

Задача аппроксимации ВАХ включает в себя две самостоятельные задачи: вы бор аппроксимирующей функции и определение значений входящих в эту функцию постоянных коэффициентов.

Выбор аппроксимирующей функции

Функцию, аппроксимирующую ВАХ какого либо нелинейного резистивного элемента, выбирают либо, исходя из физических представлений о работе данного элемента, либо чисто формально, основываясь на внешнем сходстве ВАХ с графиче ским изображением той или иной функции. Для аппроксимации ВАХ используют как

422

элементарные, так и различные трансцендентные функции, а также степенные, экс поненциальные и тригонометрические полиномы и кусочно линейные функции.

Так как внешнее сходство ВАХ с графическим изображением функции, выбран ной в качестве аппроксимирующей, может оказаться обманчивым, перед тем, как перейти к определению значений коэффициентов соответствующей функции, жела тельно проверить возможность ее применения, используя метод выравнивания. Сущность этого метода заключается в том, что для проверки гипотезы о виде функ циональной зависимости s = s(x), заданной множеством значений {хj, sj}, перемен ные х и s заменяют некоторыми новыми переменными Х = f1(х, s); S = f2(x, s), которые выбирают так, чтобы при сделанных допущениях о виде функции s = s(x) перемен ные S и X были связаны между собой линейной зависимостью.

. 5.3

Следовательно, если проверяемая гипотеза о виде функции s = s(x) справедли ва, то точки {Хj = f1(хj, sj); Sj = f2 (xj, sj)} должны располагаться на одной прямой.

Если предполагается, что заданная зависимость описывается степенной функ

цией

,

5.4

то, логарифмируя левую и правую части выражения (5.4), lg s = lg a +b lg x ,нетрудно прийти к выводу о том, что зависимость между вспомогательными переменными S = lg s и X=lg x должна иметь линейный характер:

lg a bX .

5.5

Если зависимость между величинами s и x аппроксимируется показательной функцией

,

5.6

то линейной зависимостью

ln a b ln e x ln a bX

5.7

будут связаны между собой переменные S = In s и Х = х. Для степенного полинома второй степени

5.8

линейный вид должна иметь зависимость S = ∆s от Х = х, где ∆s = sj sj 1— разность значений функции s(х), соответствующих двум соседним значениям аргумента хj и xj 1 (предполагается, что значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с шагом h).

Если заданная зависимость s = s(x) аппроксимируется экспоненциальным по линомом вида

423

,

5.9

то линейной зависимостью

lg a b lg e X

5.10

должны быть связаны вспомогательные функции S = lg (s −c) и Х= х. Для оп ределения с выбирают три значения аргумента х1, х2, x3 = (х1+х2)/2 и соответствую щие им три значения функции s1, s2, s3, которые затем подставляют в выражение

2

.

5.11

Если при проверке гипотезы о виде аппроксимирующей функции методом вы равнивания окажется, что зависимость между вспомогательными переменными X и S имеет линейный характер только в определенном диапазоне изменения X, то, сле довательно, данная гипотеза справедлива только для этого диапазона изменения аргумента исследуемой функции sj(xj).

Пример5.4.На рис. 5.19, а изображена прямая ветвь ВАХ полупроводникового дио да. Проверим, можно ли аппроксимировать эту характеристику степенным полиномом вто рой степени 5.8 .

	Рис. 5.19. К примеру 5.4
Выбираем шаг изменения аргумента h 0,2 В и рассчитываем значения вспомога
тельной переменной S	∆s yj—yj 1, соответствующие выбранным значениям аргумента
рис. 5.19, б . Как видно из рисунка, зависимость S от X практически совпадает с линейной
при изменении X х	u в пределах от 0 до 1 В Следовательно, в этой области рассматри

ваемая ВАХ может быть аппроксимирована полиномом . второй степени.

Пример5.5.Проверим, можно ли аппроксимировать ВАХ диода рис. 5.19, а с помо щью экспоненциального полинома вида 5.9 .

424