Модуль 7.5. Электрические фильтры

Цель модуля: изучение классификации и основных свойств электрических фильтров.

Классификация электрических фильтров

Электрические цепи, предназначенные для выделения колебаний, лежащих в определенном диапазоне частот, называются электрическими фильтрами. Диапа зон частот, пропускаемых фильтром, называется полосой прозрачности или поло­ сой пропускания. Остальная область частот, подавляемая фильтром, называется

полосой задерживания или полосой непрозрачности.

В соответствии с диапазоном частот, пропускаемых фильтром, различают фильтры: нижних частот (полоса пропускания от 0 до некоторой частоты fс, назы ваемой частотой среза), верхних частот (полоса пропускания от частоты fс до ∞), полосовые (полоса пропускания от fс1 до fс2) и заграждающие (полоса задерживания от fс1 до fс2). Амплитудно частотные характеристики коэффициента передачи по на пряжению идеальных фильтров приведены на рис. 7.49.

Рис. 7.49. АЧХ идеальных фильтров: а — нижних частот; б — верхних частот; в — полосово го; г — задерживающего

Взависимости от типов входящих в них элементов электрические фильтры подразделяют на реактивные (LC фильтры), резистивно емкостные (RС фильтры), активные (ARС фильтры), а также фильтры, использующие различные физические эффекты в твердых телах (пьезоэлектрические, магнитострикционные, акустоопти ческие и т. п.). Кроме того, электрические фильтры классифицируются по способу соединения элементов (по типу звеньев), числу звеньев, виду математических функций, аппроксимирующих частотные характеристики фильтра (фильтры Чебы шева, Баттерворта, Золотарева, Бесселя и др.), а также по типу параметров, приме няемых при расчете фильтра (фильтры по характеристическим и рабочим парамет рам).

Втечение длительного времени в различных радиоэлектронных устройствах использовались в основном реактивные фильтры, методам расчета которых посвя щена обширная литература. В настоящее время эти фильтры почти не применяются

698

на практике, однако теория таких фильтров не утратила прикладного значения в связи с тем, что при построении многих типов современных фильтров, в частности активных фильтров с преобразователями сопротивления, цифровых фильтров, фильтров с переключаемыми конденсаторами, реактивные фильтры используются в качестве прототипов.

Реактивные фильтры

Рассмотрим основные свойства реактивных фильтров, т. е. фильтров, состав ленных только из индуктивных катушек и конденсаторов с высокой добротностью. При упрощенном анализе процессов в таких фильтрах потерями в их элементах, как правило, пренебрегают, поэтому в схеме замещения реактивного фильтра содержат ся только идеализированные реактивные элементы — емкости и индуктивности.

Реактивные фильтры можно выполнять путем согласованного каскадного со единения отдельных звеньев. Фильтры, построенные по такому принципу, относят ся к фильтрам по характеристическим параметрам. Простейший тип звена — Г образное, представляет собой Г образный четырехполюсник с П или Т входом. При согласованном каскадном соединении таких звеньев получаются симметричные П или Т образные звенья. Как было показано в примере 7.25, характеристическое со противление симметричного П образного четырехполюсника (см. рис. 7.24, а) равно характеристическому входному сопротивлению Г образного четырехполюсника с П входом, а характеристическое сопротивление симметричного Т образного четырех полюсника (см. рис. 7.24, в) — характеристическому входному сопротивлению Г образного четырехполюсника с Т входом.

Характеристические постоянные передачи Т и П образных симметричных че тырехполюсников одинаковы и равны удвоенной характеристической постоянной Г образного звена (см. пример 7.25):

ГТ	ГП Г	Arch 1		⁄ 2
или	ch Г	1	⁄ 2 .		N7.144
Если фильтр образован путем согласованного каскадного соединения					иден

тичных симметричных звеньев, то коэффициент передачи фильтра по напряжению равен произведению коэффициентов передачи отдельных звеньев (7.108), а АЧХ фильтра определяется зависимостью постоянной ослабления каждого звена от час

тоты,	Г :	7.145
	.

Из выражения (7.145) следует, что для обеспечения близости АЧХ фильтра к характеристикам идеальных фильтров необходимо, чтобы в полосе пропускания по стоянная ослабления каждого звена была равна нулю, а в полосе задерживания име ла по возможности большее значение, причем условия согласования фильтра долж ны выполняться хотя бы в полосе пропускания. Исходя из этих соображений, рас

699

смотрим требования, которые должны предъявляться к выбору сопротивлений продольной Z1 и поперечной Z2 ветвей П и Т образных звеньев реактивных фильт ров.

Z	и	ВZсоответствии с принятыми допущениями будем считать, что сопротивления
1		2	имеют	чисто реактивный	характер	,	, вследствие чего
chГ		1	/ 2	должен быть вещественной величиной. Учитывая, что
			ch Г ch	ch ch	sh sh	ch cos	j sh sin ,

уравнение (7.144) можно заменить равносильной ему системой уравнений с вещест

венными коэффициентами:	ch cos	1	⁄ 2	;
	sh	sin	0.		А	должна быть равна
В пределах полосы пропускания постоянная ослабления
нулю:	0, sh	0,	ch	1,		7.146

при этом постоянная фазы В будет изменяться по закону:

cos	1	⁄ 2 .	7.147
За пределами полосы пропускания		0 и, следовательно,	7.148
ch	sin	0;
	|1	⁄ 2 |.	7.149

В связи с тем что cos В по абсолютному значению не может превышать едини цу, соотношение между сопротивлениями Z1 и Z2 в пределах полосы пропускания должно удовлетворять условию 1 1 / 2 1, которое можно преобразо вать к виду

2

⁄ 2

0 или 1

⁄4

0.

7.150

Неравенство (7.150) называется условием прозрачности фильтра.

Очевидно, что для выполнения условия прозрачности, т. е. для обеспечения в определенном диапазоне частот равенства нулю постоянной ослабления A фильтра, необходимо, чтобы мнимые составляющие сопротивлений Z1 и Z2 имели различные знаки или чтобы сопротивления продольной и поперечной ветвей фильтра имели различный характер.

Предельные значения частоты, на которых выполняются условия прозрачно сти фильтра, являются границами полосы пропускания (частотами среза). На этих частотах сопротивления продольной и поперечной ветвей фильтра связаны соот ношениями:

700

⁄ 4

0;

⁄ 4

1

или

0;

4 .

Таким образом, на одной из частот среза сопротивление продольной ветви фильтра должно быть равно нулю, а на другой полное сопротивление Z1 про­ дольной ветви должно быть в четыре раза больше, чем полное сопротивление Z2 поперечной ветви.

Рассматривая выражения для характеристических сопротивлений П и Т образных четырехполюсников (см. пример 7.25) с учетом (7.150), устанавливаем, что в пределах полосы пропускания характеристические сопротивления как П­, так и Т­ образного звеньев имеют чисто резистивный характер, а за пределами полосы про­ пускания — чисто реактивный.

Таким образом, условия, при которых постоянная ослабления А = 0 (7.150), сов падают с условиями, при которых характеристическое сопротивление фильтра име ет вещественный характер.

В связи с тем что характеристические сопротивления симметричных П и Т образных звеньев совпадают с характеристическими входным и выходным сопро тивлением Г образного звена, а характеристическая постоянная передачи П и Т образных звеньев равна удвоенной характеристической постоянной передачи Г образного звена, полосы пропускания Г , П и Т образных звеньев при одних и тех же значениях сопротивлений Z1 и Z2 одинаковы, а постоянная ослабления и постоянная фазы Г образного звена вдвое ниже, чем соответствующие постоянные Т или П образных звеньев.

Пусть параметры элементов, образующих продольную и поперечную ветви Г образного звена, выбраны таким образом, что произведение комплексных сопро тивлений ветвей не зависит от частоты и равно квадрату некоторого вещественного числа k:

1	·2	.
2

Очевидно, что в этом случае произведение характеристических входного и вы ходного сопротивлений Г образного звена, как и произведение характеристических сопротивлений П и Т образных звеньев, также равно k2:

П Т

.

7.151

Реактивные фильтры, собранные из звеньев, параметры элементов которых удовлетворяют условию (7.151), называются фильтрами типа k (рис. 7.50).

701

Рис. 7.50. Схемы Г образных звеньев фильтров типа k: а ― нижних частот, б ― верх них частот, в ― полосового, г ― задерживающего

Подставляя (7.151) в (7.150), находим условие прозрачности фильтров типа k:

1

⁄ 4

0,

или

1 ⁄4 0.

В пределах полосы пропускания постоянная ослабления П или Т образного звена фильтра типа k равна нулю, а за пределами полосы пропускания плавно на растает в соответствии с выражением ch |1 / 2 | |1 / 2 |. Харак теристические сопротивления П и Т образных звеньев типа k определяются соот ношениями

П

1

⁄ 4

; Т

1

⁄ 4

.

7.152

Как следует из выражений (7.152), в пределах полосы пропускания характери стическое сопротивление Т образного звена фильтра типа k изменяется от 0 до k, а характеристическое сопротивление П образного звена — от k до ∞.

Характер зависимости от частоты постоянной ослабления А и постоянной фазы В реактивного фильтра нижних частот типа k при согласованной нагрузке показан на рис. 7.51, а. Сравнительно медленное нарастание постоянной ослабления за пре делами полосы пропускания и ярко выраженная зависимость характеристического сопротивления от частоты в пределах этой полосы являются существенными недос татками фильтров типа k. При согласованном каскадном соединении большого чис ла звеньев ослабление фильтра типа k в полосе задерживания может быть значи тельно увеличено, однако зависимость характеристического сопротивления

702

Рис. 7.51. Частотные зависимости постоянной ослабления и постоянной фазы реак тивных фильтров нижних частот при согласованной нагрузке: а — типа k, б — типа m

фильтра от частоты не позволяет согласовывать фильтр в пределах всей полосы пропускания, вследствие чего характеристики реальных фильтров типа k значи­ тельно отличаются от рассмотренных.

Недостатки фильтров типа k в некоторой степени устраняются в фильтрах ти па m. Для построения такого фильтра сопротивления продольной и поперечной вет вей фильтра типа k, называемого прототипом, изменяют таким образом, чтобы од но из характеристических сопротивлений полученного звена в пределах полосы пропускания почти не зависело от частоты, а другое — оставалось равным соответ ствующему характеристическому сопротивлению прототипа. Равенство одного из характеристических сопротивлений Г образного звена фильтра типа m характери стическому сопротивлению прототипа позволяет каскадно соединять звенья обоих типов.

Рис. 7.52. Последовательно производное (а) и параллельно производное (б) звенья фильт ров типа m

Различают последовательно производные и параллельно производные звенья фильтров типа m. Если при построении фильтра типа m неизменным остается ха рактеристическое сопротивление ZТ, то получившиеся звенья называются последо­ вательно­производными. Если при переходе от фильтра типа k к фильтру типа m остается неизменным характеристическое сопротивление ZП, то звенья называются

параллельно­производными (рис. 7.52).

703