5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Определение 5.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;

2. прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на произвольное число;

3. вычеркивание нулевой строки.

Замечание 5.3. С помощью преобразований 1 и 2 можно поменять местами любые две строки (столбца) матрицы.

Определение 5.5. Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид: , a_ii  ≠ 0, i = 1, 2, …, r, r  k.

Замечание 5.4. Условие r  k всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Теорема 5.2. Применение к произвольной матрице цепочки элементарных преобразований не меняет ее ранга.

Теорема 5.3. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Теорема 5.4. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Определение 5.6. Первый ненулевой элемент строки называется ее ведущим элементом.

Из этих теорем следует практический способ нахождения ранга матрицы: с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду и определить количество ее ненулевых строк.·

Пример 5.3. Найти ранг матрицы А =  с помощью элементарных преобразований.

Решение. Приводим матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Выберем в 1-ой строке ведущий элемент. Это (–1). В столбце под этим элементом следует получить нули. Для этого к 2-ой строке прибавим 1-ю, умноженную на 2, а к 3-ей строке прибавим 1-ую, умноженную на 3; получим матрицу: . Выбираем ведущий элемент во второй строке и получим нули в столбце под ним: к 3-ей строке прибавим 2-ую, умноженную на (–2), в результате получим следующую матрицу: . Получена матрица ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, следовательно, ранг исходной равен 2, т. е. rang A = 2.

5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения

Пусть дана квадратная матрица А.

Определение 5.7. Матрица А^–1 называется обратной для матрицы А, если АА^–1 = А^–1А = Е.

Определение 5.8. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Заметит, что ранг невырожденной матрицы порядка n равен n.

Определение 5.9. Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Определение 5.10. Матрицей, присоединенной к матрице А, называется матрица А^*, где А^* = , А_{ij –} алгебраическое дополнение элемента а_ij для всех индексов i, j = 1, 2, …n.

Теорема 5.5. Для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы.

Теорема 5.6. Для невырожденной матрицы А существует обратная матрица, причем только одна. Обратная матрица может быть найдена по формуле: А^–1 = А^*.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Рассмотрим один из способов нахождения обратной матрицы к данной с помощью алгебраических дополнений. Пусть дана квадратная матрица А.

1. Находим определитель матрицы |A|. Если |A| = 0, то у матрицы А нет обратной (теорема 5.5). Если |A| ≠ 0, то обратная матрица существует, и переходим к пункту 2.

2. Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А.

3. Составляем присоединенную матрицу А^*.

4. Находим А^–1 по указанной формуле (теорема 5.6).

Пример 5.4. Найти матрицу, обратную для матрицы А = .

Решение. Определитель матрицы А равен 1, то есть не равен нулю. Тогда находим алгебраические дополнения элементов матрицы. А₁₁ = 3, А₂₁ = –5, А₁₂ = –1, А₂₂ = 2. Составляем присоединенную матрицу А^*, получаем А^* = . С учетом формулы А^–1 = А^* находим обратную матрицу А^–1, А^–1 =  = .