Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Рассмотрим еще способ нахождения обратной матицы с помощью элементарных преобразований. Сформулируем необходимые понятия и теоремы.
Определение 5.11. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Обозначение В А.
Теорема 5.7. Всякую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице.
Теорема 5.8. Если к единичной матрице применить те же самые элементарные преобразования, которые матрицу А переводят в единичную, то полученная матрица будет обратной для матрицы А.
Схематично преобразования выглядят так: (А|E) … (Е|А–1).
Замечание 5.5. При нахождении матрицы А–1 нет необходимости проверять невырожденность матрицы А, т. к. сама возможность привести матрицу А к единичной матрице Е будет означать, что А – невырожденная.
Пример 5.5.
Найти матрицу, обратную для матрицы
А = 
с помощью элементарных преобразований.
Решение. Приписываем к матрице А (справа, а можно и слева) единичную матрицу Е. Далее, с помощью элементарных преобразований над всей составной матрицей приводим матрицу А к единичной Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е оказывается матрица А–1.
;
т. о. А–1 = 
.
6. Системы линейных уравнений
6.1. Основные понятия и определения
Определение 6.1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:
(1)
Здесь x1, …, xn – неизвестные (или переменные), числа аij – коэффициенты при неизвестных, i – номер уравнения, j – номер неизвестного, b1, …, bm – свободные члены.
Короче
систему (1) можно записать в виде:
,
где i = 1,
2, …, m.
С каждой системой вида (1) связаны следующие матрицы: А – основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов, Х – матрица-столбец неизвестных; (А|B) – расширенная матрица системы.
Аmn = 
,
Bm1 = 
,
Xn1 = 
,
(А|B)m(n + 1) = 
.
Из определения 6.1 видно, что матрицы А и Х согласованы, следовательно можно найти их произведение:
АХ = 
= 
.
Если воспользоваться определением 3.4 равенства матриц, то равенство
АХ = В (2)
записывается в виде системы линейных уравнений (1).
Определение 6.2. Уравнение (2) называют матричной формой записи системы (1).
Определение 6.3. Решением системы линейных уравнений (1) называется любой упорядоченный набор (кортеж, вектор) а = (1, 2, …, n) из чисел, который при подстановке в систему каждое уравнение обращает в верное равенство.
Таким образом, если а = (1, 2, …, n) решение системы, то следующие равенства верны:
Определение 6.4. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Определение 6.5. Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Определение 6.6. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.
То есть, если упорядоченный набор чисел а = (1, 2, …, n) является решением первой системы, то он является решением второй и наоборот, если упорядоченный набор чисел является решением второй системы, то он является решением первой системы.