10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

10.1. Понятие λ-матрицы

Известно, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов приводится к диагональному виду. Однако над множеством действительных чисел линейный оператор может не иметь собственных значений, а значит и собственных векторов. Над множеством комплексных чисел любой линейный оператор имеет собственные векторы, но их может быть недостаточно для базиса. Есть другая каноническая форма матрицы линейного оператора, к которой можно привести любую матрицу над множеством комплексных чисел.

Теорема 10.1. Всякая матрица с комплексными элементами приводится во множестве комплексных чисел C к жордановой¹⁴ нормальной форме.

Дадим необходимые определения:

Определение 10.1. Квадратная матрица порядка n, элементами которой служат многочлены произвольной степени от переменной λ с коэффициентами из множества комплексных чисел C, называется λ-матрицей (или многочленной матрицей, или полиномиальной матрицей).

Примером многочленной матрицы служит характеристическая матрица A – λE произвольной квадратной матрицы A. На главной диагонали стоят многочлены первой степени, вне ее – многочлены нулевой степени или нули. Обозначим такую матрицу как A(λ).

Пример 10.1. Пусть дана матрица A = , тогда A – λE = =  = A(λ).

Определение 10.2. Элементарными преобразованиями λ-матрицы называют следующие преобразования:

1. умножение любой строки (столбца) матрицы A(λ) на любое число, не равное нулю;

2. прибавление к любой i-той строке (i-ому столбцу) матрицы A(λ) любой другой j-ой строки (j-ого столбца), умноженной на произвольный многочлен ().

Свойства λ-матрицы

1) С помощью этих преобразований в матрице A(λ) можно переставить любые две строки или любые два столбца.

2) С помощью этих преобразований в диагональной матрице A(λ) можно менять местами диагональные элементы.

Пример 10.2. 1)        .

2)     .

Определение 10.3. Матрицы A(λ) и B(λ) называются эквивалентными, если от A(λ) можно перейти к B(λ) при помощи конечного числа элементарных преобразований.

Задача заключается в том, чтобы по возможности упростить матрицу A(λ).

Определение 10.4. Канонической λ-матрицей называется λ-матрица, обладающая следующими свойствами:

1. матрица A(λ) диагональная;

2. всякий многочлен е_i(), i = 1, 2, …, n нацело делится на е_i–1();

3. старший коэффициент каждого многочлена е_i(), i = 1, 2, …, n равен 1, или этот многочлен равен нулю.

A(λ) = .

Замечание. Если среди многочленов е_i() встречаются нули, то они занимают на главной диагонали последние места (по свойству 2), если есть многочлены нулевой степени, то они равны 1 и занимают на главной диагонали первые места.

Нулевая и единичная матрицы являются каноническими λ-матрицами.

Теорема 10.2. Всякая λ-матрица эквивалентна некоторой канонической λ-матрице (то есть она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду)

Пример 10.3. Привести матрицу A(λ) =  к каноническому виду.

Решение. Ход преобразований аналогичен преобразованиям в методе Гаусса, при этом левый верхний элемент матрицы при приведении ее к каноническому виду отличен от нуля и имеет наименьшую степень.

A(λ) =   (меняем местами первый и второй столбцы)    (к второму столбцу прибавляем первый столбец, умноженный на ( – 2))    (ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на ( – 2))    (меняем местами второй и третий столбцы)    (к третьему столбцу прибавляем второй столбец умноженный на ( – 2)³)     (к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на ( – 2))  .