Менеджмент.Финансовая математика

Методы расчетов. Пусть капиталовложения и доходы пред­ ставлены в виде потока платежей, тогда искомая величина на­ ходится как современная стоимость этого потока, определенная на начало действия проекта. Таким образом,

N='LR'V',	(12.7)
/ '

где Rt — размер члена потока платежей в году t, v — дисконт­ ный множитель по ставке / (ставка приведения, принятая нор­ ма доходности).

Напомним, что членами потока платежей являются как по­ ложительные (доходы), так и отрицательные (инвестиционные затраты) величины. Соответственно, положительной или отри­ цательной может быть и величина N. Последнее означает, что доходы не окупают затраты при принятой норме доходности и заданном распределении капитальных вложений и поступлений во времени.

Если ряд платежей продолжителен, то для расчета величины N при условии, что платежи производятся через равные интер­ валы и в конце каждого периода, можно воспользоваться про­ граммой НПЗ (NPV) пакета Excel. Порядок действий при ис­ пользовании этой программы приведен в § 5.1.

Пусть теперь поток платежей представлен раздельно, т.е. как поток инвестиций и поток чистых доходов, тогда чистый при­ веденный доход определяется как разность

N ~ ^	RjVJ+ni - J Ktv \	(12.8)
у-i	/-1

где Kt — инвестиционные расходы в году t, t = 1 , 2 , . Rj — чистый доход в годуj , j = 1 ,2,...,я2; л, — продолжительность ин­ вестиционного периода; п2 — продолжительность периода по­ ступлений дохода.

Обычно, особенно в учебной, да и практической, финансо­ вой литературе, годовые данные о размерах членов потока при­ урочиваются к окончаниям соответствующих лет. Однако зачас­ тую отдельные компоненты потока можно с достаточным осно­ ванием рассматривать как равномерно распределенные затраты (поступления) в пределах года. Более точный результат расчета в таких условиях можно получить, приписывая соответствую­ щие величины к серединам годовых интервалов. В связи с этим современная стоимость потока увеличивается в (1 + /)°>5 раз.

261

П Р И М Е Р 1 2 .1 . Сравниваются по финансовой эффективности два варианта инвестиций. Потоки платежей характеризуются следую­ щими данными, которые относятся к окончаниям соответствую ­ щих лет:

А:	-1 0 0	-1 £ Э	50	150	200	200	-
Б:	-2 0 0	-5 0	50	100	100	200	200

Варианты, как видим, заметно различаются между собой по характеру распределения платежей во времени. Если норматив доходности (ставка сравнения) принят на уровне 10 % , то

NA = -2 1 4 ,9 + 3 7 7 ,1 = 16 2 ,2 ; NB = - 2 2 3 ,1 4 + 383,48 = 160,3 .

Таким образом, если исходить из величины чистого приведен­ ного дохода, то при принятой процентной ставке сравниваемые варианты в финансовом отношении оказываются почти равноцен­ ными.

Несколько изменим условия задачи и, полагая, что доходы по­ ступают равномерно в пределах года, сдвинем члены потоков платежей к серединам годовых интервалов. Тогда соотношение результатов для двух вариантов изменится, хотя общий вывод о примерной равноценности вариантов сохраняется. Находим

NA = -2 2 5 ,4 + 395,5 = 1 7 0 ,1 ;

Л/б = -2 3 4 ,0 + 40 2,2 = 168,2 .

Обобщенные стоимостные характеристики обоих потоков не­ сколько увеличились.

В случаях, когда поток доходов можно описать как постоян­ ную или переменную ренту, расчет JV заметно упрощается. Так, если доходы поступают в виде постоянной годовой ренты, при­ чем ожидается, что они равномерно распределены в пределах года, то

(12.9)

где R — годовая сумма дохода.

Если капиталовложения мгновенны, а доходы регулярно по­ ступают сразу после инвестирования, то

N = R a nU- K .

( 12. 10)

262

П Р И М Е Р 1 2 .2 . Проект предполагается реализовать за три года. Планируются следующие размеры и сроки инвестиций: в начале первого года единовременные затраты — 500, во втором году — только равномерные расходы, общая их сумма — 1000, в конце третьего года единовременные затраты — 300. Отдачу планируют получать 15 лет: в первые три года по 200, далее в течение 10 лет ежегодно по 600, в оставшиеся три года по 300. Доходы поступа­ ют равномерно в пределах годовых интервалов.

Пусть ставка приведения равна 10 % , тогда современная стои­ мость капиталовложений составит

з

- 500 + 10 0 0 X 1,Г 1,5 + 3 0 0 X 1,1'3 - 1592,2.

В свою очередь современная стоимость поступлений равна 200а3;10 х 1 . Г 2-5 + 6 0 0 а10;10 х 1 , Г 5-5 + ЗООа2;10 х 1 .1 " 15-5 = 2693,4.

Отсюда N = 1 1 0 1 ,2 , т.е . капиталовложения окупаются. Несколько изменим условия примера. Допустим, капиталовло­

жения в первом году составляют не 500, а 170 0 . Тогда N - -1 0 0 . Таким образом, капиталовложения при заданной процентной ставке не окупаются, несмотря на то, что их общая сумма (3000) существенно меньше общей суммы поступлений (7500).

Во всех рассмотренных выше случаях предполагалось, что ставка приведения не изменяется во времени. Однако нельзя исключить ситуацию, когда, например, в связи с ожиданием увеличения риска неполучения дохода, можно применить уве­ личивающуюся во времени процентную ставку. Общая методи­ ка расчета при этом не изменится.

§12.3. Свойства чистого приведенного дохода

Остановимся на особенностях чистого приведенного дохода, важных для его понимания и практического применения. Первое, на что надо обратить внимание, — чистый приведенный доход — это абсолютный показатель и, следовательно, зависит от масшта­ бов капитальных вложений. Это обстоятельство необходимо учи­ тывать при сравнении нескольких инвестиционных проектов.

Второе — существенная зависимость чистого приведенного дохода от временных параметров проекта. Выделим два из них: срок начала отдачи от инвестиций и продолжительность пери­ ода отдачи. Сдвиг начала отдачи вперед уменьшает величину

263

современной стоимости потока доходов пропорционально дис­ контному множителю v1, где t — период отсрочки.

П Р И М Е Р 1 2 .3 . Пусть по каким-либо причинам момент начала от­ дачи в примере 12 .1 (вариант А) отодвигается, скажем, всего на один год. В этом случае

NA = - 2 1 4 ,9 + 3 7 7 ,1 х 1 . 1 '1 = 1 2 7 ,9 .

Теперь этот вариант заметно проигрывает по величине чисто­ го приведенного дохода по сравнению с вариантом Б.

Что касается продолжительности периода отдачи, то заме­ тим, — чрезмерное его увеличение создает иллюзию повыше­ ния полноты и надежности оценки эффективности. Однако размеры отдаленных во времени доходов вряд ли можно считать вполне надежными и обоснованными. Кроме того, затраты и поступления, ожидаемые в далеком будущем, мало влияют на величину чистого приведенного дохода и ими, как правило, можно пренебречь. В связи со сказанным уместно привести следующую иллюстрацию. Пусть речь идет о доходе, поступаю­ щем в виде постоянной ренты. Зависимость N от срока ренты п показана на рис. 12.1. В начальный момент N = —К. В точке п = а капиталовложения точно окупаются поступившими дохо­ дами. По мере увеличения срока поступлений дохода увеличи­ вается величина N. Однако прирост ее замедляется, а само зна­ чение N стремится к некоторому пределу А.

Выбор момента, относительно которого дисконтируются члены потока платежей {focal date), также влияет на величину N. Обычно для этого выбирается начало реализации проекта.

264

Сдвиг вперед момента времени для оценивания N увеличивает абсолютные значения обеих составляющих чистого приведен­ ного дохода. Знак у величины N не изменяется при сдвиге мо­ мента для оценивания. Заметим также, что предпочтительный вариант проекта остается таковым при любом выборе момента. При сравнении нескольких проектов должно соблюдаться есте­ ственное требование — этот момент должен быть общим для всех проектов.

Проследим теперь влияние процентной ставки на величину N. Из (12.8) следует, что с ростом ставки приведения размер чи­ стого приведенного дохода сокращается. Зависимость N от ставки / для случая, когда вложения осуществляются в начале инвестиционного процесса, а отдачи примерно равномерные, иллюстрируется на рис. 12.2.

Как показано на рисунке, когда ставка приведения достига­ ет некоторой величины У, финансовый эффект от инвестиций оказывается нулевым. Ставка У является важной характеристи­ кой в инвестиционном анализе. Ее содержание и метод расчета обсуждаются в следующем параграфе. Здесь же отметим, что любая ставка, меньшая чем У, приводит к положительной оцен­ ке N (точки а и Ь), и наоборот, дисконтирование по ставке вы­ ше У дает отрицательную величину чистого приведенного дохо­ да (точка с) при всех прочих равных условиях. Как видим, из­ менение ставки приведения оказывает заметное влияние на аб­ солютную величину N. Например, для условий, согласно кото­ рым инвестиции осуществляются равномерно в течение трех лет, ежегодно по 100, а доходы будут поступать 7 лет также по 100 денежных единиц, находим следующие значения N в зави­ симости от уровня процентной ставки:

N

v

Рис. 12.2

265

i	5	10	15	20
N	220,8	105,0	28,8	-22,2

Нулевая величина чистого приведенного дохода в этом при­ мере имеет место при условии / = У = 17,5 %.

Картина рассматриваемой зависимости резко изменяется, если члены потока платежей меняют знаки больше одного раза. Например, в силу того, что через определенное количество лет после начала отдачи предусматривается модернизация произ­ водства, требующая значительных затрат. В этом случае кривая зависимости N от / будет заметно отличаться от кривой на рис. 12.2. Так, на рис.12.3 показана ситуация, когда величина N три­ жды меняет свой знак.

Влияние размеров затрат и доходов на N очевидно. Величи­ на N находится в линейной зависимости от каждого из указан­ ных показателей. Причем, чем отдаленнее срок поступления или затрат, тем меньше это влияние.

Теперь остановимся на сравнении (ранжировании) несколь­ ких вариантов проекта по величине N. На первый взгляд пред­ ставляется, что такое сравнение весьма условно, так как N за­ висит от уровня ставки. Однако, итог ранжирования проектов обладает высокой устойчивостью (инвариантностью) по отно­ шению к ставке приведения. Для пояснения обратимся к слу­ чаю, когда сравниваются три проекта. Обозначим их как А, Б и В. Капиталовложения во всех случаях мгновенные, а потоки до­ ходов представляют собой постоянные ренты постнумерандо с одинаковыми сроками, но разными размерами отдачи. Потоки платежей и расчетные значения N и / показаны в табл. 12.1. При расчете N применена ставка 12 %.

N

А

О

Рис. 12.3

266

			Таблица 12.1
t	А	Б	В
0	- 2 0	-25	-25
1	5	7	6
2	5	7	6
10	5	7	6
N	8,25	14,55	8,90
J(%)	21,4	25,0	20,2

Наибольшие значения N п J у варианта Б. Кривые зависи­ мости N от / для вариантов Aw Б показаны на рис. 12.4. Как ви­ дим, для любых значений / положительные значения N вариан­ та Б больше, чем у А. В свою очередь при сравнении вариантов А и В (см. рис. 12.5) обнаруживаем, что чистый приведенный доход по варианту В больше, чем у А при применении любой ставки, вплоть до 15,1 %. Если ставка приведения превышает этот уровень, то места проектов по уровню чистого приведен­ ного дохода меняются.

Приведенный пример иллюстрирует тот факт, что выбор про­ центной ставки иногда совсем не сказывается на ранжировании проектов. Точка пересечения кривых А и В определяет критиче­ скую или барьерную ставку по терминологии седьмой главы.

§12.4. Внутренняя норма доходности

Не менее важным для финансового анализа производствен­ ных инвестиций, как и чистый приведенный доход, является

внутренняя норма доходности. Под этим критерием понимают такую расчетную ставку приведения, при которой капитализа-

267

ция получаемого дохода дает сумму, равную инвестициям, и, следовательно, капиталовложения только окупаются. Иначе го­ воря, при начислении на сумму инвестиций процентов по став­ ке, равной внутренней норме доходности (обозначим ее как У), обеспечивается получение распределенного во времени дохода, эквивалентного инвестициям. Чем выше эта норма, тем, разу­ меется, больше эффективность инвестиций. Обсуждаемый па­ раметр может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Последнее означает, что инвестиции не окупаются. Величина этой ставки полностью определяется “внутренними” условиями, характеризующими инвестиционный проект. Ника­ кие предположения об использовании чистого дохода за преде­ лами проекта не рассматриваются.

Пусть / — приемлемый для инвестора уровень ставки про­ цента, — выше она была названа минимально привлекательной ставкой доходности или нормативом доходности. Очевидно, что разность ставок У —/ характеризует эффективность инве­ стиционной (предпринимательской) деятельности. С чисто фи­ нансовых позиций инвестиции имеют смысл только тогда, ко­ гда У > /. При У < I нет оснований для осуществления инвести­ ций, так как доходность ниже принятого норматива, если же под / понимается стоимость заемных средств, то они просто убыточны.

Расчет внутренней нормы доходности часто применяют в ка­ честве первого шага анализа инвестиций. Для дальнейшего ана­ лиза отбираются только те проекты, которые обеспечивают не­ который приемлемый для данной компании уровень доходно­ сти. Последний зависит от многих объективных и субъективных обстоятельств и охватывает весьма большой диапазон возмож­ ных значений даже для однородных видов предприятий.

Методы расчетов. В общем случае, когда инвестиции и дохо­ ды задаются в виде потока платежей, искомая ставка У опреде­ ляется на основе решения уравнения (12.7) относительно v ка­ ким-либо методом1:

2 V - 0,

(12.11)

1 Напомним, что инвестиции имеют в этом равенстве отрицательный знак, доходы — положительный. Положительное значение J имеем в случае, когда сумма дисконтированных доходов больше размера инвестиций. Если все члены потока имеют один знак, то, естественно, искомую ставку получить нельзя.

268

где v — дисконтный множитель по искомой ставке У; t — вре­ мя от начала реализации проекта; Rt — член потока платежей (вложения и чистые доходы).

Затем, зная v, находим искомую ставку У. Расчет искомой ставки осуществляется различными методами, дающими раз­ ные по точности ответы. Различаются они и по трудоемкости. В западной учебной литературе часто ограничиваются методом последовательного подбора значения ставки до выполнения ус­ ловия N = 0 . Действительно, при наличии опыта и сравнитель­ но коротком потоке платежей такой подход довольно быстро дает удовлетворительные результаты. Более “серьезные” мето­ ды определения У основываются на различных итерационных процедурах. К ним, в частности, относятся метод Ньютона— Рафсона и метод секущей или какие-либо численные процеду­ ры.

В пакете Excel содержится программа ВЫДОХ, которая поз­ воляет определить внутреннюю норму доходности1 на основе потока платежей с одинаковыми интервалами между членами потока. Инвестиции показываются с отрицательным знаком, доходы — с положительным. Члены потока относят к концам периодов.

Порядок действий при использовании программы ВНДОХ

1.Разместить показатели потока платежей в одной строке или столбце таблицы Excel. Если платежей в периоде нет, то соответствующую ячейку таблицы не заполнять и пе­ рейти к следующему периоду.

2.Последовательно вызвать: /х, “финансовые функции”, ВНДОХ.

3.В строке Значения показать адрес массива данных в табли­ це Excel.

4.В строке Предположения указать ожидаемое (примерное) значение нормы доходности2. Если этот параметр не ука­ зывается, то он по умолчанию принимается равным 0,1 .

1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван “скоростью оборота”.

2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион­ ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь­ ное значение ставки.

269

После выполнения действий 1—3 в итоговой строке Значе­ ние автоматически показывается расчетная величина внутрен­ ней нормы доходности. После нажатия кнопки ОК эта величи­ на показывается в выделенной ячейке таблицы Excel.

Примечание. Пользователь может изменять размеры членов потока платежей, не выходя из таблицы Excel.

Чистый приведенный доход при условии, что дисконтирова­ ние членов потока производится по ставке У, по определению равен нулю (см. рис. 12.2). На этом рисунке кривая пересекает ось / только один раз в точке У. Это типовой случай. Однако — об этом уже упоминалось выше — при специфическом распре­ делении членов потока во времени последовательные члены по­ тока платежей могут изменять свой знак несколько раз (напри­ мер, если ожидаются в будущем крупные затраты на модерни­ зацию процесса производства). В этих случаях кривая пересека­ ет эту ось несколько раз (см. рис. 12.3). Соответственно, имеет­ ся несколько значений искомой ставки (несколько корней мно­ гочлена), удовлетворяющих условию (12.7). Заметим, что усло­ вие смены знаков является необходимым, но недостаточным для получения нескольких корней.

В редких, но теоретически возможных, случаях чистый при­ веденный доход оказывается положительной величиной при любом значении ставки / (см. рис. 12.6). Величина У здесь про­ сто отсутствует. Если имеется множественность значений У или значение отсутствует, то при сравнении нескольких инвестици­ онных проектов следует воспользоваться другими измерителя­ ми эффективности.

270