связанными валентными электронами или свободными фермиевскими электронами. В результате такого взаимодействия энергия налетающей частицы расходуется преимущественно на возбуждение плазмонов – квантов плазменных колебаний электронного газа, а не на возбуждение или ионизацию атома. При таком описании для тормозной способности получается нужная линейная зависимость (5.12), которая подтверждается экспериментально. Интересно, что такая же функциональная зависимость получается при учете другого механизма потерь, связанного с обменом электронами при отдельном столкновении двух атомов. В этом случае энергетические потери Q(b) при заданном прицельном расстоянии b

оказываются линейными по скорости, в результате чего и тормозная способность в соответствии с выражением (4.11)

∞

(−dE1 dx)Э = n2 ∫Tσ(T; E1 )dT = n2 ∫0 Q(b)2πbdb ,

также пропорциональна скорости. В то же время все аналитические выражения для λ плохо согласуются с экспериментальными значениями из-за наличия нескольких механизмов передачи энергии при малых скоростях. Поэтому величину λ рассматривают как некоторый подгоночный параметр, который должен учесть все возможные механизмы электронных потерь энергии при малых скоростях движения.

5.3 Ядерное торможение тяжелых ионов

Описание ядерного торможения тяжелых ионов начнем с торможения при больших скоростях движения (5.8). Как отмечалось выше, в этом интервале энергий упругое взаимодействие ионов с атомами мишени описывается дифференциальным сечением передачи энергии (3.14) и дает очень незначительный вклад в полные потери энергии. Воспользовавшись общим выражением тормозной способности (4.11), получаем следующую формулу для ее ядерной составляющей, связанной с образованием первичных структурных дефектов:

dE1

m1

2

)

2

1

2

)

2

αm1v1

2

Tmax

(z1 z2e

2πn2 (z1 z2e

−

= n2

π

dT =

ln

.

(5.13)

∫

2

m2

E1

T

m2v1

2Td

dRL Я

Td

Из этого

выражения

видно,

что

при

больших

значениях

энергии E1

электронная тормозная способность (5.3) и (5.4) много больше ядерной из-за большого множителя m1 me >>1.

В то же время, из формулы (5.13) можно сделать важный качественный вывод о том, что максимум потерь энергии при ядерном торможении приходится на интервал очень низких по сравнению с (5.5) энергий и скоростей. Действительно, если продифференцировать выражение (5.13) по

энергии налетающего иона и приравнять нулю производную, то получаем следующие значения для энергии и скорости иона

		e		(m + m )2
	E =		T = e			T ,	v =	2eT	αm .		(5.14)
				1	2
		α
	1		d	4m m	2	d	1	d	1
				1

Теперь понятно, что при оценке прямого поражающего действия тяжелых ионов и места локализации его максимального действия важную роль может играть не только пик Брэгга полной тормозной способности, который связан преимущественно с электронным торможением, но и пик ядерной тормозной способности. Из выражений (3.18) и (5.14) следует, что как макроскопическое сечение образования структурных дефектов, так и максимальная ядерная тормозная способность в процессе создания первичных структурных дефектов приходятся на низкие значения энергии налетающих частиц. Низкие значения энергии и скорости характерны для частиц в самом конце их движения, что необходимо учитывать, очевидно, добиваясь максимальной эффективности лучевой терапии.

Строго говоря, выражения (3.18) и (5.14) лишь качественно описывают ситуацию. При малых скоростях v1 << z1v0 становится существенным

экранирование атомного ядра налетающей частицы захваченными электронами, так что ядерные столкновения происходят между налетающей частицей и атомами мишени, рассматриваемыми как целое. По мере уменьшения скорости ядерное торможение превалирует над электронным все больше, хотя в пределе v1 → 0 ядерное торможение также, разумеется,

исчезает. Как отмечалось в разделе 2, в этой области энергий взаимодействие налетающей частицы с атомом мишени можно описывать с помощью некоторого центрального потенциала отталкивания V (r). Главные

характерные особенности столкновений нейтрального налетающего атома с нейтральными атомами мишени противоположны свойствам столкновений ионов с электронами, поскольку:

1) потери энергии при отдельном столкновении зависят от кинетической энергии E1 налетающей частицы, а не от ее скорости, так что ядерная

тормозная способность является функцией энергии

(−dE1 dRL )Я = f (E1 ) ;

2) при всех скоростях движения потери энергии на одно столкновение сравнимы или даже равны кинетической энергии налетающей частицы

T≤Tm =αE1 ≤ E1 ;

3)передача импульса атому мишени может быть большой и приведет к значительным углам рассеяния, которые ограничены только в случае m1 > m2 ,

врезультате чего траектория движения, особенно вблизи точки остановки при малых E1 , будет существенно отклоняться от прямой линии;

4) ядерные потери T =T (b, E1 ) при отдельном столкновении однозначно задаются прицельным расстоянием b и энергией E1 сталкивающихся атомов.

При описании взаимодействия между сталкивающимися атомами и, соответственно, при определении ядерной тормозной способности можно применить, как отмечалось выше, разные модельные потенциалы. При использовании экранированного потенциала взаимодействия (2.31) в модели Томаса-Ферми количественная теория ядерного торможения оказывается универсальной и пригодной при описании взаимодействия между любыми двумя атомами:

V (r)

= z z

2

e2

ϕ(r aТΦ )

,

1

r

где

ϕ(r aТΦ )-

функция

экранирования Ферми, а характерную

длину

экранирования

можно

выбрать

в

виде

a

= 0,8853a

H

(z 2 3 + z 2 3 )−1 2

=

ТΦ

1

2

= (z

2 3 + z 2 3 )−1 2

0,47Å. C

учетом

численных

параметров,

входящих

в

1

2

потенциал взаимодействия, при вычислении сечений вместо энергий T и E1

оказывается удобным ввести безразмерные переменные

t = ε2 T T ,

ε = E

a z z

e2

= E

a m

z z

e2 (m

+ m )

m

отн

ТФ

1

2

1

ТФ

2 1 2

1

2

и безразмерный линейный пробег

r = R 4πn a

2m m

(m

+ m )2 .

(5.15)

l

L

2 ТФ

1

2

1

2

Аналогом дифференциального сечения передачи энергии является сечение σ(t), которое удовлетворяет обычному для сечений по разным

переменным равенству σ(t)dt =σ(T; E1 )dT . В рамках		описанного
приближения это дифференциальное сечение оказывается равным
σ(t) = (πa2	2t3 2 ) f (t1 2 ) .	(5.16)
ТФ

С учетом известной связи сечения σ(t) с дифференциальным сечением

передачи энергии для вычисления ядерной тормозной способности можно снова использовать общее выражение (4.11). В результате получается выражение, связывающее безразмерную ядерную тормозную способность с

функцией f (t12 ) и ядерной тормозной способностью, выраженной через обычные размерные величины

dε

−1 ε 1 2

1 2

dE

ε

= ε ∫ f (t

)d(t

1

−

−

2 .

(5.17)

) =

drl Я

0

dRL Я

πn2Tm aТФ

Для потенциала Томаса-Ферми функция f (t12 ) в выражениях (5.16) и (5.17)

известна по крайней мере численно, что позволяет произвести численное интегрирование в (5.17). В результате получается некоторая универсальная

(−dεdrl )Я

Рис.5.2 Универсальная кривая ядерной тормозной способности

кривая, показанная на рис.5.2, которая описывает зависимость ядерной тормозной способности от безразмерной кинетической энергии налетающей частицы. Кривая на рис.5.2 позволяет, в частности, найти более точное, чем по формуле (5.14), выражение для такой энергии налетающей частицы, при которой имеет место максимум ядерных потерь энергии. Полная тормозная способность получается приближенно, если сложить электронный и ядерный вклады. Соответственно, могут быть построены полная тормозная способность и соответствующие кривые для зависимости пробега от энергии при различных параметрах λ электронной тормозной способности.

Изучение следов частиц в фотоэмульсиях или в камерах Вильсона показывает, что прямолинейные следы ионов иногда испытывают резкие изломы. Такой излом указывает на непосредственное столкновение с атомным ядром. Обычно относительная доля потерь энергии частицы δЯ при таких

столкновениях невелика – для высокоэнергетичных частиц она составляет в среднем около 0,1% энергии частицы, остальное тратится при электронном торможении на ионизацию и возбуждение атомов среды (см. Таблицу 5.1).

Таблица 5.1 Ядерные потери энергии ионами в Al и Pb (% к полным потерям энергии)

Частицы	Протоны		α -Частицы
Начальная энергия, МэВ	10	100	100
Алюминий	0,09	0,06	0,08
Свинец	0,17	0,06	0,10

Таким образом, тяжелая частица теряет энергию малыми порциями, причем плотность потерь энергии вдоль трека частицы возрастает по мере ее замедления, что очень наглядно показывает увеличение плотности следов частиц в камере Вильсона и на фотопластинках. Затем по мере удаления от пика Брэгга возрастают ядерные потери, что происходит в конце пробега.