сближения двух атомов они образуют некоторую переходную двухатомную систему, в которой электронные оболочки взаимно проникают одна в другую. В зависимости от расстояния максимального сближения между ядрами один или несколько электронов могут стать общими для обоих ядер, образующих, таким образом, своеобразную квазимолекулу. В образовавшейся квазимолекуле часть или все электроны будут двигаться по новым молекулярным орбитам, в результате чего даже при небольшой начальной энергии атомов электроны могут перейти в состояния с большей энергией, чем при обычном возбуждении изолированного атома.

Описанный физический механизм существенно отличается от механизма непосредственного возбуждения при более высоких энергиях, когда налетающее ядро возбуждает электрон при прямом соударении. В соответствии с этим при описании взаимодействия атомов, каждый из которых рассматривается как целое, дальнодействующий кулоновский потенциал принципиально непригоден. Поэтому в дальнейшем при описании ядерного торможения тяжелых частиц будут использованы результаты, полученные в рамках модели Томаса-Ферми.

3.5 Рассеяние нейтронов на атомах

Благодаря отсутствию у нейтрона заряда его взаимодействие с атомом в определенном смысле проще, чем взаимодействие между быстрым ионом и атомом, поскольку нейтрон взаимодействует в основном с ядром. Взаимодействие нейтронов с атомными ядрами не затрагивает атомных электронов. Для описания рассеяния незаряженных частиц, включая

нейтроны, часто подходит, как отмечалось выше, потенциал жесткой сердцевины (2.29):

		∞	при r < R ,
	V (r)			.	(3.21)
		=	при r > R
		0
а)	Из выражения	(П.24) для угла			рассеяния в
	относительной системе отсчета находим

б)

Рис.3.3 Рассеяние жесткой сердцевиной

	∞		b2	−1 2	dr		b
	ϑ =π − 2b ∫ 1	−				=π − 2arcsin
			r2		r2		R
	rm
	или
		b = R cos ϑ				.	(3.22)
					2

Последнее выражение несложно получить и чисто геометрически, как показано на рис.3.3а. Сохранение момента импульса в случае рассеяния точечной частицы на абсолютно

твердой сфере означает, что в относительной системе отсчета рассеяние представляет собой отражение налетающей частицы от касательной плоскости к сфере в точке соударения.

Дифференциальное сечение рассеяния легко получается из выражения (3.22) по общему правилу

	b			db		bR sin	ϑ		R2 .
σ(ϑ) =					=		2	=		(3.23)
	sinϑ			dϑ		2sinϑ
									4

Это сечение не зависит от ϑ и кинетической энергии. Дифференциальное сечение передачи энергии с учетом (1.15) имеет вид

σ(T; E ) =σ(ϑ) 4π		= πR2	(3.24)
1	Tm	Tm

и также не зависит от переданной энергии.

Изотропное распределение (3.23) углов ϑ в относительной системе отсчета и системе центра инерции и равномерное распределение (3.24) передаваемой энергии, которое показано на рис.3.1, являются главными отличительными чертами потенциала жесткой сердцевины. Из рис.3.3б, на котором представлен процесс столкновения в лабораторной системе отсчета, видно также, что угол отдачи ϑ2 для частицы-мишени определяется только

взаимным положением в пространстве точки соударения и центра мишени в момент столкновения и не зависит от отношения масс нейтрона и ядра:

R sinϑ2 = b .

(3.25)

Из соотношения (1.11) несложно получить распределение углов отдачи ϑ2 , которое с учетом выражения (3.23) описывается формулой

σ(ϑ2 ) =σ(ϑ)4cosϑ2 = R2 cosϑ2 , 0 ≤ϑ2 ≤π 2 .

(3.26)

Наконец, из приведенных выше формул несложно вычислить полное сечение рассеяния, которое, как и следовало ожидать, совпадает с площадью сечения сферы с радиусом R :

σ = ∫σ(ϑ)dΩ = ∫σ(ϑ2 )dΩ2	=∫σ(T )dT =πR2 .		(3.27)
С учетом равенства rm (b, Eотн ) = R	из	критерия (2.7)	классичности
рассмотрения вытекает условие <<ϑR		применимости	классической

механики, которой можно пользоваться только при больших кинетических энергиях. Однако и при больших энергиях такое рассмотрение несправедливо, если b > R и классический угол рассеяния ϑ тождественно равен нулю. Строгое квантовое описание даже в пределе высоких энергий приводит в

соответствии с формулами (2.37) к полному сечению σ = 2πR2 , которое в два раза больше классического. Этот квантовый эффект связан с дифракционными явлениями для небольшой области углов на краю “геометрической тени”, где

при рассмотрении рассеяния никогда нельзя пренебрегать волновыми свойствами частиц. В этом смысле выражение (3.27) представляет собой не полное, а парциальное сечение упругого рассеяния на большие углы и с большой передачей энергии. С ростом энергии эта же величина описывает в соответствии с формулой (2.37) полное сечение неупругих процессов рассеяния в результате прямых ядерных реакций, роль которых возрастает. Следовательно, классическое рассеяние жесткой сердцевиной (3.23) и (3.24) является хорошим приближением как раз с практической точки зрения, поскольку не учитывает именно те процессы, которые из-за малости передаваемой энергии не столь существенны при описании расщепления ядер атомов мишени в результате ядерных реакций, появления структурных дефектов и свободных радикалов при упругом рассеянии и т.д.

В общем случае действующие между нейтроном и атомным ядром силы очень сложны, поскольку в отличие от протонов нейтроны, не имеющие заряда, могут интенсивно взаимодействовать с ядром и при очень низких энергиях. Возможен, в частности, радиационный захват нейтрона, реакции с образованием протонов и α -частиц, реакции деления ядер, неупругое рассеяние нейтронов, в результате которого часть энергии нейтрона идет на возбуждение ядра с последующим испусканием γ - квантов, и другие

процессы. Вместе с тем к настоящему времени имеется большое число экспериментально определенных полных и дифференциальных сечений рассеяния для всех каналов реакций. Существенно, что для большинства атомных ядер и энергий налетающего нейтрона вплоть до 1МэВ дифференциальное сечение σ(T; E1 ) передачи энергии ядру согласуется с

(3.24) и оказывается с хорошей степенью точности, как показано на рис.3.4, независящим от T :

σ(T; E1 ) =	const	, Tm =	4m1m2		E1	=		4A	E1	,	(3.28)
	T		(m	+ m )2			(1	+ A)2
	m		1	2
где A = m2 m1 - величина,		близкая	к	массовому			числу ядра-мишени.

Характерное увеличение показанного на рис.3.4 дифференциального сечения при уменьшении энергии легко объясняется, очевидно, с помощью формулы

Рис.3.4 Дифференциальное сечение передачи энергии при упругом рассеянии нейтронов с энергией 1МэВ на ядрах атомов Cu.

(2.35), которая предсказывает увеличение константы в (3.28) при малых энергиях.

Таким образом, упругое столкновение нейтрона с атомным ядром во многих практически важных случаях действительно можно феноменологически описать с помощью потенциала жесткой сердцевины. Отклонения от физической модели жесткой сердцевины и характерной для нее изотропности рассеяния, которые связаны с преимущественным рассеянием вперед в результате прямых ядерных реакций, становятся значительными только для нейтронов с более высокой энергией, а также для больших массовых чисел. Характерная величина соответствующего сечения рассеяния для легких элементов равна по порядку величины геометрическому сечению атомного ядра

σ =πR2 ≈(10-4Å)2 = 10-24см2 = 1барн.

(3.29)

Для тяжелых элементов σ может достигать величины в десятки раз большей. При малых массовых числах передача энергии наиболее эффективна, очевидно, при взаимодействии нейтрона с ядрами атомов водорода, которым богаты биологические ткани. Образование высокоэнергетичных протонов отдачи означает появление вторичного протонного излучения, которое взаимодействует с ядрами атомов вещества физически точно так же, как это описано для тяжелых заряженных частиц. Это означает, что оно может приводить к дополнительным структурным дефектам, появлению новых ионов и радикалов воды, возбуждению и ионизации атомов и молекул и т.д. В соответствии с экспериментальными данными у нейтронов с энергией от 0,5МэВ до 20МэВ на образование ионов водорода, которые в конечном счете могут восстанавливаться и превращаться в нейтральные радикалы водорода,

идет от 96 до 78 процентов кинетической энергии.

Наконец, кратко остановимся на электромагнитном взаимодействии нейтронов с электронами. Энергия взаимодействия магнитных моментов нейтрона и электрона достигает энергии ионизации атома (порядка 10эВ) только на расстояниях 10-11см, что по порядку величины дает сечение ионизационного торможения около 10-22см. Это больше, чем при взаимодействии с ядрами, однако такие процессы сопровождаются очень малой передачей энергии из-за малой массы электронов. Упругое рассеяние при взаимодействии магнитных моментов нейтрона и электрона становится заметным тогда, когда магнитные моменты всех электронов образуют какуюлибо магнитную структуру, например, ферромагнитную. Собственно электрическое взаимодействие с электроном распределенного заряда в целом незаряженного нейтрона еще меньше.

3.6 Рассеяние γ-квантов

Рентгеновское излучение и γ -кванты и вместе с нейтронами

встречаются не только в экспериментах по облучению в реакторах, но могут генерироваться также при торможении быстрых электронов в бетатронах и рентгеновских трубках, при аннигиляции частиц или изменении энергетического состояния атомных ядер. Часто используют, например, радиоактивный источник с радиоактивным изотопом кобальта 60Co, однако во всех случаях энергия γ -квантов порядка 1МэВ.

В соответствии с релятивистским соотношением (П.57) максимальная энергия Tm , передаваемая γ -квантом с энергией Eγ частице-мишени, равна

T =		2Eγ	2		=	Eγ			.	(3.30)
m	m	c2 + 2E 1+ m					c2	2E
	2			γ		2		γ

Из (3.30) видно, что энергия, передаваемая γ -квантом с энергией 1МэВ, составляет несколько десятков электрон-вольт, поскольку энергия покоя ядер-

мишеней по порядку величины равна m c2	≈ A 2000 m c2	≈ A·103МэВ.
2	e

Взаимодействие γ -квантов даже с атомными ядрами легких элементов не

очень эффективно не только из энергетических соображений, но также и из-за малости соответствующих сечений рассеяния, поэтому столкновениями γ -

квантов с ядрами всегда можно пренебречь. Иная ситуация оказывается при столкновении с атомным электроном, когда Tm может быть порядка Eγ . Таким

образом, γ -кванты, неспособные эффективно смещать атомы в кристаллах

твердых тел или образовывать радикалы воды при непосредственной передаче энергии, могут тем не менее делать это опосредованным образом через вторичные электроны отдачи с большой энергией. Такие электроны, которые могут взаимодействовать с атомными ядрами, называют кoмптоновскими.

Рассеяние γ -квантов бывает двух видов – с изменением и без изменения

длины волны. Рассеяние длинноволнового излучения с λ ≥10-8см происходит без изменения длины волны. Физика такого классического или томсоновского рассеяния, источником которого являются резонансные колебания связанных электронов атома, рассматривается в других курсах и включает, в частности, упругое когерентное рассеяние, которое лежит в основе рентгеноструктурного анализа (рентгеновская дифракционная томография). Рассеяние с изменением длины волны и энергии γ -квантов, т.е. собственно

комптоновское рассеяние, возникает в тех случаях, когда энергия γ -квантов

превосходит энергию связи электрона в атоме (жесткие рентгеновские лучи). Для получения соотношения, связывающего длину волны рассеянного излучения с углом рассеяния, нужно воспользоваться законом сохранения энергии и импульса. Эти законы при рассеянии γ -кванта на электроне,

который при Eγ ≥0,1МэВ можно считать свободным, в лабораторной системе отсчета имеют соответственно вид

hν = hν′+T = hν′+ mec2[(1− β 2 )−1 2 −1],

(3.31)

→

→

me βc

hν

hν′

.

(3.32)

c =

c

+

(1− β2 )1 2

где

β = v c . Решение этой простой системы уравнений дает выражение для

изменения длины волны γ -кванта и его конечной энергии

λ′−λ =

h

(1−cosϑ1 ) ≡ 2Λsin2 ϑ1

,

(3.33)

mec

2

hν′ =

hν

,

(3.34)

hν

1

+

(1− cos

ϑ )

m c

2

1

e

где

Λ =2,42·10-10см – комптоновская длина волны

электрона.

При этом

выражения (3.31) и (3.34) однозначно определяют переданную энергию T . Формула для дифференциального сечения комптоновского рассеяния

была получена Клейном, Нишиной и Таммом с использованием квантовой электродинамики. Для малых значений энергии падающих γ -квантов сечение

комптоновского рассеяния с ростом энергии линейно убывает от классического (томсоновского) значения. При больших энергиях это сечение меняется обратно пропорционально энергии γ -квантов. Сечение передачи

энергии при рассеянии γ -кванта на свободном электроне имеет вид

2

2

πr

T

1

Eγ −T

2 Eγ −T

T σ

(T; E ) =

e

T

2

+

+

−

, (3.35)

ε2m c2

ε2

E

ε T

m c

γ

m

E

−T

e

γ

γ

где re = e2 mec2 = 2,8·10-13см - классический радиус электрона и ε = Eγ mec2 . На рис.3.5 изображено сечение передачи энергии (3.35) для γ -кванта с энергией Eγ =1МэВ. При сравнении этого рисунка с рис.3.1 нетрудно увидеть,

что в отличие от кулоновского рассеяния при комптоновском преобладает передача большой энергии. В первом приближении комптоновское рассеяние можно рассматривать, таким образом, как рассеяние потенциалом жесткой сердцевины аналогично случаю рассеяния быстрых нейтронов на ядрах. С увеличением энергии Eγ и безразмерного параметра ε полное сечение σc для

столкновения между налетающим γ -квантом и свободным электроном убывает и при Eγ =1МэВ составляет величину порядка σc ≈1барн. При очень большой энергии γ -квантов, когда ε >>1, справедлива формула

	πr 2	Tm	T 2		2		−1		1
σc =	e	∫ 2 +		dT =πre		ε		ln 2ε +		.	(3.36)
	ε2mec2								2
		0	(Eγ −T )Eγ

z2

Рис.3.5 Дифференциальное сечение	Рис.3.6 Области преобладания эффек-
передачи энергии при комптонов-	тов при столкновении γ -квантов с
ском рассеянии (Eγ = 1МэВ, ε = 2)	атомом, имеющим зарядовое число z2

По существу выражение (3.36) является, как несложно убедиться, предельным случаем общей формулы Клейна и Нишины:

2

1+ε 2(1+ε)

1

1

1+3ε

σc = 2πre

2

1+ 2ε

−

ln(1

+ 2ε)

+

ln(1

+ 2ε) −

.

ε

ε

2ε

(1

+ 2ε)

2

Однако для сравнения этих сечений с сечениями рассеяния нейтронов и других частиц на атоме эту величину следует умножить на число z2 атомных

электронов, так что макроскопическое сечение рассеяния дается выражением Σ = n2 z2σc . В обратном предельном случае ε <<1 полное сечение

комптоновского процесса переходит в известное сечение для томсоновского рассеяния

σc = 83π re 2 (1− 2ε) ≈0,66·10-24см2.

Кроме комптоновского рассеяния есть еще два эффекта, которые могут давать существенный вклад во взаимодействие γ -кванта с веществом. Первый

из них – это фотоэлектрический эффект, состоящий в поглощении γ -кванта

атомным электроном, который в результате столкновения вылетает из атома, как и при комптоновском рассеянии. Второй – это образование пар, при котором γ -квант вблизи атомного ядра рождает пару электрон-позитрон. На

рис.3.6 изображены области преобладания каждого из трех механизмов взаимодействия γ -кванта с веществом в зависимости от заряда ядра z2 атома-

мишени, причем границы областей построены по сечениям с учетом рассеяния на всех атомных электронах. Как видно из рисунка, фотоэлектрический эффект, образование пар и эффект Комптона легко отличить друг от друга по энергии Eγ . Из рис.3.6 ясно, какой из эффектов является главным при

заданном интервале энергий рассеивающихся на атомах γ -квантов и заданном

зарядовом числе атомов-мишеней. Можно, в частности, сделать вывод о том, что для биологических тканей, состоящих преимущественно из атомов легких элементов, наиболее важным практически при всех значениях энергии является механизм комптоновского рассеяния.

Строго говоря, процесс фотоэффекта, при котором электрон выбрасывается за пределы атома с кинетической энергией

T = Eγ − Ii ,

равно как и рождение пары электрон-позитрон, невозможны в вакууме, где потенциал ионизации Ii = 0 ( Ii - потенциал ионизации i -й оболочки атома).

Это прямо вытекает из несовместимости уравнений (3.31) и (3.32) при ν′ = 0, в результате чего решения (3.33) и (3.34) теряют смысл. Поэтому для фотоэффекта весьма существенна связь электрона с атомом, которому на самом деле передается часть импульса фотона. Чем меньше связь электрона с атомом по сравнению с энергией фотона, тем менее вероятен фотоэффект. Это обстоятельство определяет все основные свойства фотоэффекта: зависимость сечения от энергии, вероятности фотоэффекта на разных электронных оболочках и зависимость сечения от зарядового числа.

При больших энергиях γ -квантов все электроны можно считать

несвязанными, поэтому сечение рассеяния мало. По мере убывания энергии сечение возрастает, и рост продолжается до тех пор, пока Eγ не сделается

равной потенциалу ионизации K-оболочки. Начиная с Eγ < IK фотоэффект на

К-оболочке становится невозможным и сечение фотоэффекта определяется взаимодействием γ -квантов с электронами L-, M- и других оболочек. Но

электроны этих оболочек связаны с атомом слабее, чем K-оболочки, поэтому при равных энергиях γ -квантов вероятность фотоэффекта для таких

электронов существенно меньше, чем для K-электронов. При Eγ < IK сечение

фотоэффекта снова начинает расти с ростом величины относительной связанности IL Eγ и достигает максимума при Eγ = IL и т.д.. Ход сечения

фотоэффекта для каждой из электронных оболочек приблизительно передается законом Eγ −3 .

Вероятность фотоэффекта, как и энергия связи, резко зависит от заряда z2 атома. В легких элементах при малом зарядовом числе электроны связаны

кулоновскими силами ядра относительно слабее, чем в тяжелых. В результате получается следующая функциональная зависимость суммарного для электронов всех оболочек сечения фотоэффекта от энергии γ -квантов и

заряда атома

	z2		5	Eγ		при E	>> I	K
σфот						γ			.	(3.37)
			5	E	7 2	при Eγ	> IK
	z
		2		γ