5.4 Пробег тяжелых ионов

Как отмечалось выше, быстрые заряженные частицы взаимодействуют с атомами среды главным образом в результате действия кулоновских сил. При этом в большинстве случаев взаимодействие происходит с электронами атомных оболочек и гораздо реже – с атомными ядрами. При достаточно высоких скоростях пробег частицы RL определяется исключительно

электронным торможением. Понятно, что этот пробег на самом деле практически полностью совпадает и с полным пробегом частицы, поскольку подавляющая часть потерь энергии быстрой заряженной частицы обусловлена электронным торможением. Таким образом, линейный пробег можно определить, подставляя в интегральное выражение (4.13) для величины пробега зависимость тормозной способности (5.6) от начальной энергии частицы в падающем пучке E0 . Тогда с учетом формулы (5.7) в рамках теории

Бете получаем

2

RL =

E0

mev1

dE1 =

(5.18)

∫

4πn2 z2 (z1e2 )2 ln(2mev1

2

I)

0

=

m v0

2 =2E0 m1

m v

2d(v 2 )

=

m

f (v0 ).

21

∫

e 1

1

21

8πn2 z2e4 ln(2mev1

2

I)

z1

0

z1

Выражение (5.18) показывает, что пробеги разных частиц с одинаковой энергией E0 в данном веществе связаны друг с другом, поскольку

результирующий интеграл является только функцией параметров материала вещества и начальной скорости частицы v0 . Следовательно, можно вычислить

пробег RL для любой налетающей частицы с массой m1 , начальной энергией E0 и зарядом z1 по известным данным о пробеге RL( p) в этом веществе протона или любого другого иона, например α -частицы. Если разделить величину пробега данной частицы на пробег протона RL( p) или α -частицы RL(α ) , которые

имеют ту же скорость (но другую энергию), что и рассматриваемая частица, то получим следующие равенства

R (m

, z

; E

) =

m

R

( p)

(m

,1; E

mp

) =

(5.19)

1

L

m z 2

0

m

L

1

1

0

p

p

1

1

=

4m1

R(α ) (m ,2; E

mα

) .

m z

0 m

2

L α

α 1

1

Иными словами, для определения пробега произвольного иона необходимо знать пробег протона (α -частицы) с эквивалентной энергией mp E0 m1

( mα E0 m1 ), соответствующей той же начальной скорости, и затем учесть отличие данного иона от протона (α -частицы) по массе и зарядовому числу.

Не составляет труда определить и величину линейного пробега, который был бы у медленной заряженной частицы только при электронном торможении и в отсутствие ядерного. С учетом формулы (4.30) в этом случае находим

E0

m v0

=

2m1E0

−1

2E0

m1

RL (E0 ) = ∫

(−dE1

dRL )Э

dE1

=

1

∫dv1

=

.

λ

λ

0

0

Однако в действительности, как уже отмечалось, при малой скорости движения тяжелого иона пробег определяется как электронным, так и ядерным торможением, причем в конце пробега – только ядерным. В последнем случае безразмерный пробег частицы можно вычислить по общей формуле (4.13) с использованием найденной ядерной тормозной способности (5.17). Аналогично универсальной кривой для ядерной тормозной способности таким способом получают другую универсальную кривую (рис.5.3), которая описывает зависимость безразмерного пробега (5.15) от безразмерной кинетической энергии налетающей частицы.

В общем случае интеграл в выражении для линейного пробега следует разделить на несколько интегралов, один из которых отличается от (5.1) только нижним пределом интегрирования, второй в соответствии с (4.18) учитывает в тормозной способности как ядерное, так и электронное торможение, а третий – только ядерное торможение в конце траектории:

RL(E0 ) =

EЯ

dE1

+

(5.20)

∫

0

(− dE1 dRL )Я

dE1

dE1

EЭ

E0

,

+ ∫

+ ∫

(− dE dR )

+ (− dE dR )

EЯ

Я

Э

EЭ (− dE dR )

Э

1

L

1

L

1

L

где EЭ - предельная энергия, выше которой торможение можно считать чисто электронным. Ниже некоторой энергии EЯ можно принимать во внимание

только ядерное торможение, однако всегда наибольший вклад будет давать участок пути с электронным торможением.

Понятно, что формула (5.2) дает наилучшие результаты лишь для частиц

rl

Рис.5.3 Универсальная кривая зависимости пробега от энергии

с одинаковым зарядом. В случае разных зарядов на последнем участке пробега, когда скорость частиц оказывается сравнительно небольшой, начинает сказываться захват частицей электронов, что приводит к уменьшению эффективного заряда z1 . Этот процесс по-разному протекает у

частиц с разным начальным зарядом. Аналогичным образом, несколько отличаются и потенциалы экранированного кулоновского взаимодействия, что приводит к различию процессов упругого рассеяния на атомах.

Для учета указанных факторов вводят небольшую поправку. В частности, если выразить длину линейного пробега протонов, которая фигурирует в (5.19), через длину пробега α -частиц, имеющих такую же эквивалентную энергию, то с учетом поправки к пробегу протона получим

R

( p)

(m ,1; E ) =

4mp

R

(α )

(m ,2; E

mα

) −C ≈

(5.21)

L

p 0

m

L

α

0 m

p

α

≈1,007R(α ) (m

,2; E

mα ) −0,002 ,

L

α

0

mp

где добавка C имеет такую же размерность, как величина пробега. Эта формула для протона дает хорошие результаты при начальной энергии больше 0,5МэВ. Аналогичным образом можно ввести поправки и для других быстрых ионов, используя пробег α -частиц как исходный при оценке пробега заданного тяжелого иона.

Таким образом, полная длина пробега тяжелых ионов до полной остановки может достаточно сложным образом зависеть от свойств вещества и начальной энергии частицы. Существует несколько полуэмпирических формул, которые согласуются с общим выражением (5.18) и позволяют с достаточно хорошей степенью точности оценить пробег α -частиц как в произвольной конденсированной среде, так и в специально приготовленной, например, в фотоэмульсии. В частности, в общем случае длина пробега α - частиц может быть определена по формуле Брэгга

R(α ) (E	) =10-4	AE 3	ρ ,	(5.22)
L 0		0

где длина пробега выражается в см, плотность вещества ρ задается в г/см3, а

энергия выражается в МэВ. Если кроме атомной					массы A	и плотности
конденсированной среды известен атомный номер					z2 или его эффективное
значение, то можно воспользоваться более точным выражением
R(α ) (E		) =10-4 A		ρz 2 3
			E 3		.	(5.23)
L	0		0	2

Следует помнить, что пробег может зависеть не только от свойств, но и от состояния вещества. В частности, на рис.5.4 приведена зависимость пробега α -частиц от энергии в воздухе при нормальных условиях, когда T =288°K (15°С) и атмосферное давление p0 =1,01·105Па (760 мм рт. ст.). Понятно, что

Рис.5.4 Зависимость пробега α -частиц от начальной энергии в воздухе при нормальных условиях

при изменениях давления и температуры изменяется плотность воздуха ρ ,

соответственно изменяется и длина пробега частиц в сантиметрах, однако при разных значениях давления p и p0 и температуры T и T0 длины пробегов

связаны в соответствии с (5.18) и (5.22) – (5.23) соотношением

RL(α) ( p,T )ρ( p,T ) = RL(α) ( p0 ,T0 )ρ( p0 ,T0 ) .

С другой стороны, из уравнения состояния и определения плотности ρ = mV следует

ρ( p,T ) = ( p / p0 )(T0 /T )ρ( p0 ,T0 ) ,

поэтому

R(α ) ( p,T ) = R(α ) ( p		,T )( p	0	p)(T T ) .	(5.24)
L	L 0	0		0

С помощью последнего соотношения и рис.5.4 можно найти пробег α -частиц с любой энергией в воздухе при любых условиях.

Существуют и аналитические выражения для пробега в воздухе α - частиц, испускаемых естественными источниками α -излучения. В соответствии с эмпирической формулой Гейгера длину пробега и энергию α -

частиц при 3см< RL(α ) <7см связывает простое соотношение

R(α ) (E	) =0,318	E 3 2 .	(5.25)
L 0		0

В этой формуле размерность физических величин такая же, как в общих формулах Брэгга (5.22) и (5.23), частным случаем которых она является. При более высоких энергиях порядка 200МэВ зависимость пробега от энергии α - частицы становится более сильной и описывается выражением

R(α ) (E	) = (E	0	37,2)1,8	,	(5.26)
L 0