преломления мишени удовлетворяет условию n(ω) > c / v1 . Излучение

Черенкова дает очень небольшой вклад в энергетические потери быстрых электронов по сравнению с ионизационными потерями, поскольку типическое значение тормозной способности по черенковскому механизму составляет 1кэВ/см, а для ионизационного торможения – 1МэВ/см.

Кроме ионизации (и возбуждения) атомов, а также тормозного и черенковского излучения, имеются и другие процессы, дающие вклад в торможение электрона, хотя с точки зрения потерь энергии ими практически всегда можно пренебречь. Множество свободных электронов проводимости в металле, образующих плазму с высокой плотностью ne порядка 1023см-3,

может принимать участие в коллективных плазменных колебаниях с

ленгмюровской частотой осцилляций Ω = 4πn e2	/ m , соответствующей
e	e

энергии ~10эВ. При прохождении электрона через кристалл его кинетическая энергия расходуется в том числе и на возбуждение плазмонов, что приводит к

характеристическим потерям энергии. В действительности плазмоны возбуждаются и в неметаллических материалах, поскольку при такой высокой частоте осцилляций собственная частота колебаний в атоме связанных валентных электронов много меньше и потому их также можно считать свободными. В результате они способны участвовать в коллективных возбуждениях, которые можно описать с помощью теории энергетических потерь в диэлектриках.

До сих пор при описании тормозной способности атомы мишени считались изолированными друг от друга и не учитывались диэлектрические свойства среды мишени. Для малых прицельных расстояний с преимущественно большой передачей энергии при столкновении это достаточно хорошее приближение. Однако для прицельных расстояний, которые превышают размеры атома, нужно учитывать еще и диэлектрические свойства вещества. В частности, при прохождении электрона его электрическое поле, действующее на далеко расположенный от траектории движения атом, экранируется поляризацией промежуточных атомов. В результате поляризации в более плотной среде происходит относительное уменьшение передаваемой энергии и тормозной способности, в соответствии с чем говорят об эффекте плотности. Такая поляризационная по своей природе поправка к тормозной способности становится заметной лишь при высоких энергиях. Эффект плотности и появление излучения Черенкова являются эффектами одной поляризационной природы.

6.2 Разброс энергий и пробегов при многократном рассеянии электрона

Как и для ионов, тормозная способность для электронов вследствие ионизации (6.7) и тормозного излучения (6.11) представляет собой среднее по множеству статистически независимых процессов, связанных с небольшими

энергетическими потерями, поэтому должен существовать разброс относительно этого среднего. Разброс, связанный с ионизацией, проявляется даже заметнее, чем для тяжелых частиц, так как электрон при отдельном столкновении с электроном мишени может потерять большую долю своей энергии вследствие равенства масс. Разброс, обусловленный тормозным излучением, также связан с большой величиной потерь по сравнению с начальной энергией электрона.

Прежде всего рассмотрим случай прохождения электронов через пленку или фольгу настолько тонкую, что вероятность более чем одного события потери энергии можно считать пренебрежимо малой. Тогда из соотношения ионизационных и ядерных потерь энергии, справедливого для всех заряженных частиц, понятно, что такое событие столкновения будет заведомо относиться к ионизации или возбуждению атомов мишени. Следовательно, средняя передача энергии в этом случае напрямую связана со средним потенциалом возбуждения атома I . Известны, в частности, экспериментальные данные по прохождению электронов с энергией 20-150кэВ через формваровую фольгу (полимерный материал) толщиной 13нм или слои ДНК толщиной 200нм, которые часто цитируются в литературе по радиационной биофизике. Среднее количество потерь энергии на одно событие взаимодействия оказывается порядка 60эВ. В то же время из формул (4.8) и (6.7) несложно составить следующее общее выражение для средней передачи энергии нерелятивистского падающего электрона в одном столкновении при наличии в веществе электронов разных атомов:

T = [∑ni zi (Ii −1	−Tm −1 )]	ln ∏Tmni zi		,	(6.14)
M	−1	M	ni zi
i=1		i=1 Ii

Теперь следует учесть, что в описанных экспериментах электроны с потерей энергии выше Tm = mev12 2 =140эВ не регистрировались, поэтому в выражении (6.14) под величиной Tm следует понимать именно это значение

максимальной передачи энергии. Если далее ограничиться для оценок наиболее простым случаем однотипных атомов мишени (M =1), то выражение (6.14) запишется в виде

	T =	Tm I	ln Tm .
		T − I
			I
		m

Несложно убедиться, что при вполне реалистическом значении среднего потенциала возбуждения I =40эВ (z2 ≈4) получим искомое среднее

количество потерь энергии в одном столкновении порядка 60эВ. Из общего выражения (6.14) видно также, что наличие в большой концентрации легких элементов с малым средним потенциалом возбуждения атома существенно понижает среднюю передачу энергии в веществе.

При ядерном рассеянии электронов с тормозной способностью типа

(5.9) теряется лишь незначительная доля энергии, однако направление движения электрона может измениться очень существенно. Поэтому не только электронные столкновения, но и ядерное рассеяние оказывает заметное влияние на траекторию электрона при его движении через материал мишени. В достаточно толстой мишени может произойти неоднократное сильное отклонение траектории электрона, что приведет к ее существенному отличию от прямой, которая наблюдалась бы при обычных ионизирующих столкновениях. Такое многократное ядерное рассеяние приводит к большому угловому расхождению первоначально параллельного электронного пучка и большим значениям поперечного пробега R .

Рассмотрим теперь более подробно два других случая, первый из которых реализуется при прохождении через такую фольгу, толщина которой достаточно мала, чтобы можно было пренебречь потерями энергии и считать, что все электроны проходят сквозь мишень. В то же время будем полагать, что толщина мишени достаточно велика для того, чтобы электроны внутри фольги могли испытать достаточно большое число столкновений N . Другой случай – это прохождение электронов через мишень в виде толстого слоя, когда нельзя пренебрегать энергетическими потерями. В первом случае суммарное отклонение в плоскости (y, z) слагается из отклонений при каждом из

столкновений. Проекции на плоскость (y, z) линейного пробега rL между двумя последовательными столкновениями имеет вид:

y = rL sinϑsinϕ ,	z = rL sinϑ cosϕ ,	(6.15)
где ϕ - азимутальные углы, отсчитываемые от оси Z , как показано на рис.4.2.
Из-за случайного характера рассеяния при произвольном i -м
столкновении угол ϕ с равной вероятностью принимает все		возможные

значения в интервале углов от 0 до 2π , поэтому средние значения проекций

(6.15) равны	нулю y(i) =	z(i)	= 0 . Если	электрон испытал	всего N
независимых	столкновений,	то	средние значения суммарных		проекций
N	N			также равны нулю,	в то время
Y = ∑ y(i) и Z = ∑ z(i) , показанных на рис.4.2,
i=1	i=1

как среднее значение дисперсии проекций отлично от нуля и описывается с учетом формулы (6.15) выражением

σZ

2

=σY

2

N

N

2

(6.16)

= (∑ y(i) )2

=

∑ y(i)

=

i=1

i=1

= N r 2

sin2 ϑsin2 ϕ =

N

r 2

sin2 ϑ

≡

1

R 2

,

2

2

L

L

где R 2 - средний квадрат поперечного пробега электрона.

Для электрона с произвольной энергией средний квадрат величины sinϑ можно вычислить, используя, например, формулу Резерфорда или

общую формулу Мотта для сечения рассеяния в отдельном процессе упругого взаимодействия электрона с атомом. Теперь по среднему значению величин проекций и дисперсии (6.16) можно построить гауссовское распределение каждой из проекций, а также совместное распределение проекций Y и Z , которое имеет вид

		1			Y	2	+ Z		2
W (Y, Z) =
				exp −						.
	π	R	2			R		2

Наконец, непосредственно из этого выражения с учетом (6.16) вытекает

распределение величины поперечного пробега				R =			Y 2 + Z 2		и вероятность
обнаружить прошедший электрон в интервале поперечных пробегов от R до
R + dR :
	2R			R	2
P(R )dR =		exp −				dR		,	(6.17)
	R 2			R	2

Как видим, распределение оказывается рэлеевским, для которого характерно ненулевое среднее значение величины поперечного пробега (см. пояснения к формуле (4.6)), причем наименьшей плотностью вероятности характеризуется поперечный пробег R = 0.

Из рис.5.1. легко увидеть, что поперечный пробег R падающего параллельного пучка электронов тесно связан с его угловым расхождением α , среднее значение которого α = 0 . Можно показать, что дисперсия угла

результирующего отклонения связана с углами рассеяния в каждом из N столкновений соотношением

α2 = ∑N ϑi 2 =N ϑi 2 ,

i=1

Y

α

Rp

Рис.5.1 Угол расхождения пучка при многократном рассеянии частиц

что позволяет сразу записать гауссовское распределение для угла расхождения

P(α)dα ={2π α2 }−1 2 exp{−α2 2 α2 }dα .

(6.18)

Отметим, что это распределение может быть получено непосредственно из гауссовского распределения для проекций (6.15). Дисперсия α2

гауссовского распределения (6.18) очень часто используется для описания статистики результирующего угла отклонения α заряженной частицы, поскольку она измеряется экспериментально и может быть вычислена как функция параметров налетающей частицы и частиц-мишеней.

Движение падающего электрона в очень толстом слое мишени можно рассматривать как задачу о диффузии, в которой одновременно следует учитывать и непрерывные потери энергии. В этом приближении электрон испытывает так много столкновений в толстом слое, что в конце концов его движение будет практически беспорядочным по направлениям. Различают также переходную между однократным и многократным рассеянием область так называемого кратного рассеяния, в котор ой число столкновений N предполагается малым, но большим единицы. Во всех случаях, когда толщина пленки или фольги меньше или порядка максимальной длины продольного пробега, а поток электронов имеет диффузный характер со сложным геометрическим распределением в пространстве, функция ослабления плотности потока электронов достаточно хорошо описывается экспоненциальным законом

Φ(x) = Φ(0)exp(−µx) ,

(6.19)

µ ≈ 7,5 A E −32 ,

z2 0

где Φ(0) - начальная плотность потока электронов, x - толщина поглотителя с размерностью см и µ - линейный коэффициент затухания пучка электронов, см-1. При β -распаде ядер спектр излучаемых электронов непрерывен

(немонохромен), поэтому в выражении для линейного коэффициента поглощения под энергией E0 , выраженной в МэВ, понимают максимальную

энергию испускаемых электронов.

Полную длину пути электрона RL и ее распределение вследствие

разброса энергий можно вычислить с помощью общей формулы (4.13) для линейного пробега, подставляя в нее тормозную способность (6.7). Как и для поперечного пробега электрона, величина его продольного пробега Rp (см.

рис.5.1.) всегда меньше RL и в соответствии с описанной выше картиной

зависит от эффектов многократного рассеяния и сильного разброса энергии очень сложным образом. Поэтому для практических целей можно

пользоваться известной полуэмпирической зависимостью между максимальным продольным пробегом электрона и энергией, которая дается выражениями

Rp = 0,524E0	– 0,133г/см2, 0,8МэВ ≤ E0 ≤3МэВ,		(6.20)
Rp = 0,407E01,38 г/см2,		0,15 МэВ≤ E0 ≤0,8МэВ.
Выражения (6.19) и (6.20)	определяют толщину защитных экранов от β -

излучения. Заметим, что по сравнению с электронами рассеяние Мотта для позитронов меньше, поэтому описанное многократное рассеяние для них выражено слабее, что приводит к несколько большему продольному пробегу и меньшему поперечному.

Целесообразно кратко рассмотреть вопрос об обратном рассеянии электронов и других заряженных частиц. Вследствие многократного рассеяния падающий параллельный пучок электронов в мишени становится расходящимся. В достаточно толстых слоях заметная доля падающих электронов настолько сильно отклоняется от своего первоначального направления, что снова пересекает поверхность. Величину обратного рассеяния принято характеризовать коэффициентом обратного рассеяния

(диффузии.) или коэффициентом отражения γ , который представляет собой

долю отраженных частиц. Иными словами, коэффициент отражения в первом приближении представляет собой ту долю в распределении векторного

пробега Rv , для которой проекции вектора Rv на направление

первоначального движения отрицательна (см. рис.4.2).

Зависимость величины γ от характеристик падающих ионов и

материала мишени можно оценить, используя самое простое приближение резерфордовского рассеяния на ядрах атомов мишени. Тогда в общем случае

при C1 = (z1 z2e)2 получается

γ z12 z2 2 Eотн2 = z12 z2 2 (m1 + m2 )2 E12m2 2 .

Из этого выражения следует, что число отнесенное к числу падающих электронов при начальной энергии и очень сильно – от заряда

отраженных электронов, насыщении, зависит от z2 атомов мишени. Для

позитронов сечение рассеяния Мотта меньше, чем для электронов, поэтому для них коэффициент обратного рассеяния меньше, как правило, на 30 – 40%. Исследование явления обратного рассеяния все еще продолжается, однако уже сегодня имеет важные практические приложения. В частности, непосредственно с обратным рассеянием связано так называемое распыление, при котором под действием таких быстрых тяжелых частиц, как ионы, атомы или нейтроны, происходит испускание атомов самой твердой поверхностью. Для его предотвращения, например, внутреннюю поверхность плазменных установок типа “Токамак” покрывают слоем пористого материала,

пропитанного литием (литиизация), что позволяет уменьшить засорение и охлаждение плазмы.

6.3 Вторичные электроны

Изложенные выше результаты относительно взаимодействия быстрых электронов с веществом в полной мере относятся и к δ -электронам. Действительно, разница между ними только в том, что δ -электроны представляют собой часть внутреннего облучения, в то время как падающие электроны – это внешнее облучение вещества. По этой причине потери энергии δ -электронов, их многократное рассеяние при взаимодействии с ядрами, линейный пробег и разброс линейных пробегов можно описать точно так же, как это было проделано выше для быстрых первичных электронов. Следовательно, с точки зрения механизмов взаимодействия первичного излучения с веществом вопрос теперь заключается не в том, как выбитые в процессе ионизации δ -электроны взаимодействуют с веществом, а в том, насколько велик их вклад в это взаимодействие.

Понятно, что для определения этого вклада нужно прежде всего знать, сколько δ -электронов может появиться при прохождении одной частицы внешнего облучения через вещество. Здесь это будет проделано только на примере прохождения через вещество тяжелых заряженных частиц, поскольку в случае γ -квантов и электронов способ вычисления принципиально такой же.

Для оценки числа вторичных δ -электронов нужно учесть, что сечение передачи энергии по определению описывает долю числа частиц-мишеней с заданной энергией T . Поэтому полное число вторичных δ -электронов, появляющихся на единице пути при прохождении одного тяжелого иона, можно найти, например, если снова воспользоваться сечением рассеяния

Резерфорда с m2 = me , z2 =1 и C1 = z1e2 . Тогда при полной плотности атомных электронов в веществе z2n2 число δ -электронов с энергией в интервале от некоторого значения Te до максимального значения переданной энергии Tm , выбиваемых на единице пути заряженной частицы, описывается выражением

dN

δ

= z2n2σР (Te ; E1 ) = z2n2

Tm

2π

(z e2 )2

dT

=

(6.21)

∫

1

2

T 2

dx

Te

m v

e

1

2πz2n2 (z1e2 )2

1

1

=

m v 2

− T

T

.

e 1

e

m

Сравнивая (6.21) и выражение (5.2) для полного сечения рассеяния ионов на электронах с ионизацией атомов, нетрудно установить, что полное число δ -электронов, появляющихся на единице пути иона, описывается макроскопическим сечением вида