где пробег измеряется в метрах. Легко видеть, что формула Брэгга (5.23) позволяет также получить выражения, связывающие пробег α -частиц в произвольном веществе с пробегом в воздухе. Приближенно пробег α -частиц в веществе со средним атомным массовым числом A дает формула

	R(α ) (E	) = 0,56R(α ) (E		)A1 3	,	(5.27)
	A 0	L	0
где R(α ) (E	) - пробег в заданном веществе (кг/м2) и Rα (E					) - пробег α -частиц в
A 0				L	0

воздухе при нормальных условиях.

Приведенные выше соотношения позволяют найти пробег любой тяжелой заряженной частицы в произвольном веществе. Для этого надо: 1) найти энергию α -частиц, обладающих той же начальной скоростью, что и исследуемые частицы; 2) по формулам Брэгга (5.22) или (5.23) рассчитать пробег α -частиц в исследуемом веществе; 3) пересчитать пробег α -частиц в пробег заданных частиц по формуле (5.19). Соответствующий расчет можно произвести также с использованием формул (5.25) – (5.26) или данных рис.5.4 о пробеге α -частиц с заданной энергией в воздухе. И в том и в другом случае отбрасывается поправочный член, учитывающий неэквивалентность процесса восстановления заряда, однако на примере (5.21) для протона видно, что вносимые при этом погрешности обычно очень невелики. Иными словами, наибольший пробег частица набирает в фазе своего высокоскоростного движения, где происходят и наибольшие потери энергии несмотря на то, что с уменьшением скорости тормозная способность возрастает.

Задачи

Задача 5.1. Пренебрегая зависимостью заряда быстрого тяжелого иона от скорости, найти такую скорость иона, при которой будет максимальной его электронная тормозная способность в воде. Какая величина играет роль средней энергии возбуждения в этом случае?

Решение. Принимая во внимание атомарный состав молекул воды, в электронной тормозной способности иона нужно учесть отдельно вклад электронов атомов кислорода и водорода. Согласно общей формуле (4.11) и с учетом выражений (5.6) и (5.7) полная электронная тормозная способность иона дается суммой

−

dE

=

4πn

(z e2 )2

(N

( H )

z

( H )

ln

2m v

2

+ N

(O)

z

(O)

ln

2m v

2

),

(5.28)

1

2

1

e

1

e

1

I

I

dx

Э

m v 2

2

H

2

O

e 1

где IH и IO - средняя энергия возбуждения в атоме водорода и кислорода соответственно, N ( H ) z2( H ) =2 - полное число электронов в 2-х атомах водорода молекулы воды и N (O) z2(O) =8 - число электронов в атоме кислорода.

Чтобы оценить положение пика Брэгга, нужно продифференцировать выражение (5.28) по скорости иона и приравнять производную нулю. В

результате получаем уравнение

N ( H ) z( H )

ln

2m v

2

+

N (O) z

(O)

ln

2m v

2

=1,

2

e

1

2

e

1

N ( H ) z2( H ) + N (O) z2(O)

IH

N ( H ) z2( H ) + N (O) z2(O)

IO

которое можно записать в виде

δH ln

2m v

2

+δO ln

2m v

2

=1,

(5.29)

e

1

e 1

IH

IO

где δH =0,2 - доля водородных электронов в молекуле воды и δO =0,8 – доля кислородных электронов. Решение уравнения (5.29) имеет вид

E = em1

I

δH I

δO ,

v =

e

I

δH I

δO .

2m

H

1

4m

H

O

1

O

e

e

Таким образом, скорость иона не зависит от типа частиц и определяется

некоторой средней энергией возбуждения атомов в молекуле воды

= IH δH IOδO ,

(5.30)

I

где в соответствии

с

формулой (5.10)

величина

IH = kz2( H ) ≈10эВ и

≈55эВ и скорость

IO = kz2(O) ≈80эВ. Отсюда получаем величину I

v = c

e

I

δH I

δO

= βc ≈1,2·10-2 c =3,6·108см/с.

(5.31)

2m c

H

O

1

2

e

Выражение (5.30) легко обобщить на случай молекулы с произвольным химическим составом:

I = ∏(kz2( Ai ) )δAi ,

i

где Ai - атом i -го вида в молекуле.

Отметим, что использование формулы (5.10) в подобного рода оценочных соотношениях является достаточно корректным несмотря на то, что электронные термы молекул существенно отличаются, очевидно, от таковых в изолированных атомах.

Задача 5.2. Используя выражение (5.30) и (5.31), найти энергии α - частицы и протона, которые соответствуют максимальным потерям энергии при электронном торможении в воде.

Решение. Искомая энергия α -частицы есть

m	v	2	=	1 m	β	m c	2	=4·10 · β		m c	= 280кэВ,
	1			α
					2			3	2	2
α	2			2 m		e				e
				e

(5.32)

а протона

m

v 2

=

1 mp

β

m c

2

=10 · β

m c

= 70кэВ.

(5.33)

1

2

3

2

2

p

2

2

m

e

e

e

Несмотря на сделанные упрощающие предположения, последнее значение очень хорошо согласуется с приведенным на рис.5.1.

Задача 5.3. Оценить скорость тяжелой заряженной частицы, при которой она восстанавливается до состояния нейтрального атома на 40%.

Решение. Непосредственно из выражения (5.11) для произвольного тяжелого иона находим

	z 2 3	ln{1− z (v )			z } =	z 2 3	ln[{1− z (v )		z	−1	].
β = −	1					1				}
125			1	1	1	125	1	1	1
По условию задачи z1 (v1 )			z1 =0,6, поэтому
							β ≈8·10-3 z			2 3 .
					(5.34)				1
Отсюда для протона (zp		=1) получаем βp =8·10-3 и vp =2,4·108 см/с, а для α -
частицы (zα = 2) имеем			βα =1,3·10-2 и			vα	=3,9·108	см/с.			Как видим, эти

значения приближенно равны скорости орбитальных электронов соответственно в водороде zpv0 =2,2·108 см/с и гелии zαv0 =4,4·108 см/с. Этим

и объясняется существенное понижение заряда ионов.

Задача 5.4. Найти энергию протона и α -частицы, при которой эти частицы восстановятся до состояния нейтрального атома на 40%.

Решение. Понятно, что исходное при решении задачи 5.3 выражение (5.11) применительно к протонам и α -частицам следует понимать статистически как долю числа ионов к числу восстановившихся атомов. В соответствии с этим и получившимся выражением (5.34) искомая энергия α -частицы равна

m	v2	=	1 mα	β	2	m c	2	3	2	2	= 340кэВ.
			2 m					=4·10 · β		m c
α 2					α	e			α	e
			e

При сравнении величины 280кэВ (см. (5.32)) с этим значением можно сделать вывод, что в действительности для α -частицы максимум Брэгга будет при большей чем 280кэВ энергии, поскольку при энергии 280кэВ α -частица уже успеет в значительной степени восстановиться.

Аналогичная энергия протона есть

vp 2

1 mp

2

2

3

2

2

m

=

β

m c

=1·10 · β

m c

= 32кэВ.

p 2

2 m

p

e

p

e

e

Это значение существенно меньше, чем полученное в соответствии с формулой (5.33), поэтому энергия в 70кэВ действительно должна хорошо соответствовать максимуму Брэгга для протонов.

Задача 5.5. Используя результат задачи 5.4, качественно поясните данные Таблицы 5.1.

Решение. Качественное объяснение данных, приведенных в Таблице 5.1, заключается в том, что для α -частицы энергия, ниже которой из-за уменьшения заряда начинает возрастать вклад ядерного торможения в полные потери энергии, существенно больше. Поэтому при равной с протоном начальной энергии больше и полная доля ядерных потерь. Соответственно, с ростом начальной энергии доля ядерных потерь до полной остановки частицы уменьшается для всех тяжелых ионов, поскольку верхняя граница для любой из них остается неизменной.

Задача 5.6. Используя данные, приведенные на рис.5.2, определить диапазон энергий, соответствующих наибольшей ядерной тормозной способности для тяжелой падающей частицы.

Решение. Зависимость энергии тяжелой падающей частицы от безразмерной энергии ε описывается выражением

E1 = ε z1 z2e2 (m1 + m2 )aТФm2 ,

которое с учетом определения радиуса экранирования aТФ можно записать в виде

				E = ε z z					(z 2 3		+ z	2 3 )1 2 e2						(m + m )						0,9a	m .
					1		1	2	1			2							1			2			H	2
Подставляя			в	это		выражение						боровский										радиус				a	H	= 2			m e2	, после
несложных преобразований получаем																															e
		ε			2 3		2 3		1 2 m		+ m		e2				2			2
E	=		z z	(z		+ z		)	1			2						m c				≈.
		0,9
1			1 2	1			2			m2			c						e
											ε	z z			(z		2	3	+ z			2 3	1 2	m + m				1			2
									≈													)		1		2					·0,5МэВ.
										0,9																		137
													1 2		1						2			m
																									2

В соответствии с рис.5.2 искомый диапазон энергий можно принять равным от 10-1 до 20. Если подставить в полученное выражение верхнюю границу этого диапазона, то для атомов гелия (α -частица с z2 = 2),

взаимодействующих, например, с атомами водорода молекул воды, находим значение порядка E1 =10кэВ. При этом максимуму ядерной тормозной

способности отвечает значение E1 =180эВ. Если величину Td принять равной

20эВ и оценить это же значение при помощи формулы (5.14), то получающееся значение

E = e (m1 + m2 )2 Td =85эВ

1 4m1m2

оказывается еще ближе к нижней границе диапазона энергий.

Задача 5.7. Определить длину пробега в воздухе α -частиц с энергией 5МэВ и 186МэВ.

Решение. Для малой энергии 5МэВ воспользуемся формулой (5.25)

RL(α ) =0,318 E032 ≈3,7см.

Во втором случае из (5.26) находим

RL(α ) = (E0 37,2)1,8 = 51,8 ≈ 20м.

Задача 5.8. Определить длину пробега α -частиц с энергией 5МэВ и 250МэВ в биологической ткани, для которой принять A =15,7, эффективный

атомный номер z2 = 7,5 и плотность ρ = 1г/см3.
Решение. Из формулы (5.23) при E0 = 5МэВ	и E0 = 250МэВ находим
соответственно
R(α ) = 46,3·10-4см,	R(α ) = 1,55см.
L	L