4.2 Виды пробегов частиц

Чтобы фиксировать положение частицы в веществе, выберем декартову систему координат, начало которой поместим в исходную точку движения О (на поверхности или внутри мишени), а ось x направим вдоль начального направления движения, как показано на рис.4.2. Для изображенной на рис.4.1б частицы внутреннего облучения начало координат лежит, очевидно, внутри мишени, а плоскость (y, z), перпендикулярная к первоначальному

направлению движения, оказывается непараллельной поверхности мишени. Такая общая ситуация сводится к стандартному случаю нормального к поверхности падения частиц при помощи простых соотношений между координатами в различных системах отсчета.

Если частица начинает двигаться с некоторой начальной энергией E0 из

данной точки материала в заданном направлении, то при последовательных столкновениях с частицами-мишенями вещества она будет терять свою начальную энергию и испытывать множество последовательных отклонений (многократное рассеяние) от первоначального направления. Для характеристики геометрического места точек остановки Р налетающей частицы вводят несколько видов так называемого пробега частиц, которые показаны на рис.4.2. Эти пробеги всегда возрастают с ростом начальной энергии E0 частицы облучения, но могут по-разному зависеть от нее.

Наиболее сильно зависит от начальной энергии линейный или полный (эффективный) пробег RL , который представляет собой полную длину

траектории, вдоль которой двигалась частица. В меньшей степени зависит от

ϕ

y x

Оz

Рис.4.2 Линейный RL , векторный Rv , продольный Rp и поперечный R

пробеги частицы облучения при заданной траектория движения из начальной точки О в точку остановки Р.

энергии векторный пробег Rv , который представляет собой вектор,

проведенный из начальной точки О в точку остановки Р. Аналогична зависимость от начальной энергии продольного и поперечного пробегов. Под продольным пробегом Rp понимают проекцию векторного пробега на

начальное направление движения x , поэтому величина Rp является мерой

проникновения частицы в материал мишени и описывает глубину проникновения вдоль направления первоначального движения частицы. Ясно, что Rp совпадает с RL только в отсутствие столкновений между начальной

точкой движения и точкой остановки. Поперечный пробег R представляет собой модуль проекции векторного пробега на плоскость (y, z), проходящую через точку остановки. Из рисунка 4.2. видно, что величина R является мерой

поперечного блуждания частицы относительно прямой линии, вдоль которой двигалась бы частица, не испытывающая столкновений. Векторный пробег связан с поперечным и продольным соотношением

R 2	= R	2 + R 2 .	(4.1)
v	p

Как неоднократно подчеркивалось ранее, процесс многократного рассеяния быстрой налетающей частицы, приводящий в итоге к ее замедлению и остановке из-за потери энергии, имеет случайный характер. Это означает, что случайный характер в общем случае имеют и все перечисленные пробеги. Иными словами, налетающие частицы одного сорта и с одинаковой начальной энергией имеют разные траектории и, следовательно, разные

пробеги RL , Rv , Rp и R в одном и том же веществе. По этой причине вводят

понятие о средних значениях пробегов и разбросах пробегов, которые в свою очередь задают некоторое распределение пробегов.

В частности, можно ввести некоторое нормированное распределение W (RL ) линейного пробега RL , которое схематически показано на рис.4.3.

Среднее значение линейного пробега описывается в этом случае обычным для

Рис.4.3 Распределение линейного пробега для частиц с заданной энергией E0 , определяющей величину среднего линейного пробега RL

средних величин выражением

RL = ∫ RLW (RL )dRL

и в общем случае не совпадает с наиболее вероятным линейным пробегом, хотя часто оказывается весьма близким к нему. Мерой разброса линейных пробегов при заданной начальной энергии E0 является, как обычно, дисперсия

величины RL

σ	L	2 = (∆R )2	= (R − R		)2 = R 2	− R 2 .	(4.2)
		L	L	L	L	L

Для описания распределения W (RL ) линейного пробега часто используют

распределение Гаусса, у которого среднее значение пробега совпадает с наиболее вероятным:

		1				(RL − RL )	2
W (RL ) =
					exp −				,	(4.3)
						2 (∆R )2
		2π (∆RL )	2
						L

Вреальных экспериментах, включая медицинские приложения радиационной физики, наблюдение траектории движения отдельной частицы с помощью, например, трековых детекторов становится возможным только при очень специфических условиях проведения эксперимента. Если полный флюенс инжектированных в эксперименте частиц не слишком велик, то движение каждой из этих частиц можно рассматривать независимо, причем у каждой будет своя траектория движения до точек полной остановки. Совокупность траекторий и точек полной остановки описываются распределениями различных пробегов типа (4.3), которые имеют, как правило, наиболее простой вид, если приходится иметь дело со множеством частиц в виде параллельного пучка падающих моноэнергетических частиц. В этом смысле выражение (4.3) для распределения линейного пробега имеет универсальный характер, поскольку не зависит от направления движения каждой из падающих моноэнергетических частиц.

4.3Распределение векторных пробегов

Вотличие от распределения W (RL ) линейных пробегов, пространственное распределения W (Rv ) точек полной остановки или, что то

же, векторных пробегов Rv существенно зависит от наличия или отсутствия

заданного направления первоначального движения падающих частиц. Поэтому одному и тому же распределению линейных пробегов могут соответствовать различные, вообще говоря, распределения векторных

пробегов. Отыскание распределения W (Rv ) для частиц, вылетевших из одной

и той же исходной точки в заданном направлении, является одной из основных целей теоретического и экспериментального исследования процесса

торможения частиц. С помощью этого распределения можно найти средние величины и моменты более высокого порядка для всех пробегов, кроме линейного, который исчерпывающе описывается только распределением

W (RL ) . В частности, средний продольный пробег Rp		частицы в системе
координат, показанной на рис.4.2, равен
Rp (E0 ) = ∫ RpW (Rv )dRv ,		(4.4)
где Rv = (Rp ,Y, Z) , а распределение W (Rv )	предполагается нормированным на
единицу:
∫W (Rv )dRv =1.
Соответственно, второй момент
Rp2 (E0 ) = ∫ Rp	2W (Rv )dRv	(4.5)

вместе со средним значением (4.4) определяет дисперсию σ p 2 = Rp 2 − Rp 2 и

ширину распределения продольного пробега. Из свойств симметрии распределения W (Rv ) в однородных мишенях, а именно, из его симметричности относительно оси x , вытекает равенство нулю вектора

R = j ∫YW (Rv )dRv + k ∫ZW (Rv )dRv = 0,

однако средняя величина собственно поперечного пробега R = R = Y 2 + Z 2 всегда отлична от нуля и равна

R = ∫ R W (Rv )dRv ≠ 0 .

(4.6)

Даже для очень простых форм потенциала межатомного взаимодействия вычисление распределения W (Rv ) представляет собой трудную задачу. В то

же время, обычная постановка эксперимента как правило предполагает, что частицы испускаются не точечными, а плоскими источниками излучения. В такой ситуации на поверхность мишени падает однородный параллельный внешний пучок частиц. Тогда задача несколько упрощается, поскольку в конечном итоге достаточно рассматривать одномерную задачу и находить только распределение продольного пробега, которое может быть измерено экспериментально.

В частности, на рис.4.4 показаны характерные результаты измерений числа α -частиц Φ(x) , прошедших через единичную площадку и

зарегистрированных на разных расстояниях x от тонкого плоского источника. Как видно из рисунка, на основной части пробега число частиц остается практически неизменным, а в конце пробега оно плавно уменьшается. Дифференцирование экспериментальной кривой зависимости и ее