где EН - неупругие потери энергии в каскаде. Таким образом, как и в решении (7.10), число смещений в каскаде оказывается пропорциональным упругой энергии T (1) − EН . Фактические причины, по которым число смещений в
каскаде, получаемое с помощью различных моделей по формуле (7.11), может отличаться от экспериментальных значений, уже перечислены выше. К такому расхождению приводит выбор слишком “жесткого” потенциала взаимодействия, пренебрежение столкновениями замещения и неупругими потерями энергии, а также недоучет конкретной структуры решетки и вклада спонтанной рекомбинации вакансий и межузельных атомов после того, как все быстрые процессы в каскаде завершились. Отметим, что наиболее сложно учесть влияние спонтанной рекомбинации, что представляет собой отдельную задачу из области физики твердого тела, при решении которой необходимо отдельно учитывать специфическое пространственное распределение структурных дефектов, созданных при облучении, их перемещение по кристаллу в результате диффузии и т.д.
7.5 Пространственное распределение дефектов в каскаде
Для твердых тел знание локального распределения структурных дефектов в каскаде смещений является необходимым условием для описания последующей спонтанной рекомбинации и изменения физико-химических свойств облученного вещества. С учетом последнего обстоятельства вопрос о пространственном распределении дефектов может оказаться существенным, вообще говоря, и для биологических объектов безотносительно к процессам миграции дефектов и их отжигу, которые более характерны, по-видимому, для твердых тел.
Самой общей характеристикой при оценке пространственного распределения дефектов служит их средняя плотность, которую можно оценить по интенсивности каскадов, их характерному размеру и числу создаваемых в них дефектов. Независимо от того, определяется ли продольный или линейный пробег первичной выбитой частицы для данного диапазона энергий величиной неупругих (электронное торможение) или упругих (при ядерных столкновениях) потерь, эта величина представляется существенной характеристикой размеров и объема каскада. Если при столкновениях атомов преобладает рассеяние вперед, то распределение вторичных выбитых атомов определяется траекторией первичной частицы и формируется вокруг ее трека. При взаимодействии посредством потенциала жесткой сердцевины первичную выбитую частицу нельзя отличить от последующих выбитых частиц, поэтому такая частица распределена в пространстве точно так же, как и вторичные.
В общем случае пространственная вероятность распределения дефектов тесно связана с функцией распределения числа дефектов W (Nd ;T (1) ) ,
определяющей вероятность образования n дефектов в каскаде при заданной энергии первичного выбитого атома. Поэтому для пространственного распределения дефектов можно получить интегральное уравнение,
аналогичное уравнению для вероятности W (Nd ;T (1) ) . Результат такого
рассмотрения сводится к тому, что пространственное распределение вакансий и межузельных атомов в конечной стадии каскада существенно различаются. А именно, обогащенная вакансиями область или зона истощения окружена объемным слоем, в котором имеется избыток межузельных атомов. Подобное разделение дефектов легко понять, поскольку вакансии всегда остаются позади, в то в ремя как фронт каскада образуют заново смещенные атомы.
Другой известный метод расчета распределения дефектов в каскаде связан с определением пространственного распределения энергии, которая запасается в веществе мишени в виде движения атомов. В этом случае
можно ввести такую функцию распределения F(T (1) ;T (2) ) плотности энергии отдачи, что величина F(T (1) ;T (2) )dT (2) будет равна числу всех вторичных
атомов с начальной энергией в интервале от T (2) до T (2) + dT (2) . Величина F(T (1) ;T (2) ) снова является решением некоторого интегрального уравнения, вид которого зависит от конкретного вида дифференциального сечения рассеяния. Понятно, что по определению функции F(T (1) ;T (2) ) среднее число
дефектов в каскаде можно получить интегрированием плотности отдачи по всем энергиям отдачи, приводящим к смещению:
E0
Nd (T (1) ) = ∫ F(T (1) ;T (2) )dT (2) (7.12)
Td
При этом функциональная зависимость плотности отдачи от энергии частиц описывается соотношением
F(T (1) ;T (2) ) T (2) −2 , |
(7.13) |
в результате чего подавляющая часть вторичных атомов обладает очень небольшой энергией.
Понятно, что если речь идет об отдельном каскаде смещений, то плотность отдачи зависит не только от энергии отдачи, но также от пространственных координат. Иными словами, можно говорить о пространственном распределении кинетической энергии атомов в каскаде. Это дает возможность судить в первом приближении о распределении кинетической энергии по глубине вдоль первоначального направления движения первичного атома и о поперечном распределении в перпендикулярной к нему плоскости. В соответствии с этим можно определить некоторую глубину повреждений, которая зависит от принятой модели смещения и вытекающей из нее зависимости между числом дефектов и энергией первичной выбитой частицы.
7.6 Полное число дефектов
Полное число структурных дефектов, образующихся при прохождении падающих частиц через вещество, определяется, как это видно из выражений (1.28) и (1.29), полным флюенсом частиц и способностью каждой из них создавать дефекты. Первоначальная плотность потока падающих частиц относится к параметрам, которые являются характеристиками пучка частиц облучения. Поэтому плотность потока и полный флюенс падающих частиц с учетом расхождения пучка или его поглощения внутри вещества может быть в принципе достаточно уверенно оценен на основе данных по тормозной способности и пробегу частиц, которые обсуждались ранее. Следовательно, можно достаточно просто подсчитать общее число дефектов, как сумму структурных дефектов, которые в среднем создает каждая из первичных частиц облучения при прохождении через вещество.
В настоящем параграфе подходы к ответу на вопрос об общем числе структурных дефектов будут продемонстрированы на примере наиболее сложного, а точнее, наиболее громоздкого с учетом всех возможных вариантов случая прохождения через вещество быстрых тяжелых ионов. Кроме того, рассмотрение здесь ограничится кристаллическим одноатомным диэлектриком с плотностью частиц-мишеней n2 . Обобщение на многоатомные
вещества и, соответственно, на случай образования структурных дефектов разного типа, является принципиально несложным. Однако такое достаточно громоздкое обобщение будет лишь затенять физический смысл различных процессов образования дефектов.
Понятно, что обсуждавшиеся выше каскадные процессы не являются единственным источником образования структурных дефектов в веществе при прохождении быстрых тяжелых ионов. В частности, в пояснениях к интегральным уравнениям (7.6) – (7.7) и рис.7.5 отмечалось, что они не учитывают то смещение, которое привело к появлению самой первичной выбитой частицы в результате столкновения с частицей облучения. Следовательно, помимо дефектов, образовавшихся в инициированных первичным ионом каскадных процессах (см. (7.11)), полное число
структурных дефектов 
Nd (E0 )
, образованных одним налетающим ионом с энергией E0 , должно включать в себя число первичных выбитых ионом
атомов N (i) . Каждый из них сам по себе является частью дефекта Френкеля. Если считать, что тяжелый ион двигался в веществе до полной
остановки, то вся его энергия передается частицам вещества и, в частности, первичным выбитым атомам. Кроме того, часть энергии неупругим образом переходит ко вторичным δ -электронам как в процессе столкновений тяжелого иона с атомными электронами, так и при рассеянии на них первичных и вторичных выбитых атомов. Быстрые δ -электроны могут, в свою очередь, затратить часть этой энергии на образование некоторого количества
структурных дефектов N (δ ) в процессе столкновений с ядрами атомов-
мишеней. Таким образом, с учетом вклада N (a) каскадных процессов полное число дефектов можно записать в виде суммы
Nd (E0 ) (i) = N (i) + N (a) + N (δ ) . |
(7.14) |
Чтобы найти число первичных выбитых ионом атомов |
N (i) , в общем |
случае необходимо вычислить число атомов отдачи на единице пути тяжелого иона точно так, как это было сделано для вторичных электронов. В результате с использованием выражения (3.17) для числа первичных атомов, выбитых на единице пути в результате ядерных столкновений, получается формула, аналогичная (6.21):
dN |
|
= Σ(i) (Td ; E1 ) = n2σ(Td ; E1 ) =π m1 |
n2 |
(z1 z2e |
) |
1 |
− |
1 |
|
, |
(7.15) |
||
|
(i) |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
m |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
α |
E |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
d |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
где α1 = 4m1m2 
(m1 + m2 )2 . Полное число первичных выбитых атомов в
материале мишени можно найти, очевидно, интегрированием выражения (7.15) по всему пробегу иона
N (i) = ∫L dN |
(i) |
dx = ∫0 |
dN |
(i) |
dx |
dE1 . |
(7.16) |
|
R |
|
E |
|
|
|
|
||
|
dx |
|
|
|
||||
0 |
0 |
(−dE1 dx)Я + (−dE1 dx)Э |
|
|
||||
В выражении (7.16) переход от интегрирования по линейному пробегу к интегрированию по текущей энергии тяжелого иона совершен точно так же, как при вычислении длины пробега (4.13). В соответствии с интервалами преобладания различных механизмов торможения интеграл в (7.16) можно разделить на несколько интегралов с различными пределами по энергии (см. (5.20)). Интервал низких энергий соответствует ядерному торможению, высоких – электронному, а в промежуточной области нужно учитывать оба типа потерь энергии. Можно, однако, для всех интервалов выделить в явном виде вклад ядерных столкновений:
N |
(i) |
E0 |
dN (i) dx |
|
(−dE dx) |
|
dE1 ≡ |
|
(7.17) |
|
|
= ∫ |
|
1 |
Я |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
(−dE1 dx)Я |
|
(−dE1 dx)Я + (−dE1 dx)Э |
dN |
|
dx |
δЯ(i) (E1 )dE1 . |
|
|
|
|
|
|
|
≡ ∫0 |
(i) |
|||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
0 (−dE1 
dx)Я
Заметим, что нижний предел интегрирования по энергии равен нулю, хотя в соответствии с формулой (7.15) вклад в интеграл могут дать только энергии
выше минимальной энергии α1−1Td , которой должен обладать ион для создания структурного дефекта. Таким образом, величина δЯ(i) представляет собой долю
потерь энергии падающей частицы на ядерные столкновения по отношению к суммарным расходам энергии при электронном торможении и в подпороговых атомных столкновениях.
При строгом вычислении этого интеграла для каждого из упомянутых интервалов энергии необходимо пользоваться своими формулами. Например, для низких скоростей и энергий должна фигурировать тормозная способность (4.35), вытекающая из наиболее корректной в этой области модели взаимодействия Томаса-Ферми. Однако вполне достаточными для оценки вклада всех множителей в подынтегральную функцию являются формула (5.13) для ядерной тормозной способности и выражение (7.15), которые вытекают из простой формулы Резерфорда. Тогда после подстановки в соотношение (7.17) этих выражений получаем
N |
(i) |
E0 |
dN (i) |
dx |
|
(i) |
(E1 )dE1 |
|
E0 |
δ (i) (E ) |
dE1 = |
|
|
(7.18) |
||||
|
= ∫ |
|
|
|
δЯ |
= |
∫ |
|
Я |
1 |
|
|
||||||
|
(−dE1 |
dx)Я |
|
|
T |
Я |
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1E1 −Td |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
E0 |
|
|
|
(i) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
δЯ (E1 )dE1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Td ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Td α1−1Td α1E1 ln(α1E1 |
|
|
|||||||
Подынтегральные функции в (7.17) и (7.18) представляют собой количество появляющихся первичных выбитых атомов в пересчете на единицу потерь энергии. В результате число структурных дефектов, образовавшихся до полной остановки падающей частицы, оказывается независящим от концентрации атомов в материале мишени. Как показано в разделе 6, доля ядерных потерь сильно зависит от интервала энергии и резко изменяется по мере уменьшения скорости и заряда тяжелого иона, в то время
как множитель 
T 
−Я1 в подынтегральном выражении (7.18) изменяется во всем интервале энергий достаточно медленно. Это связано с тем, что с ростом E1
ядерная тормозная способность и частота ядерных столкновений быстро уменьшаются практически с одной и той же скоростью, в результате чего
имеет место медленный логарифмический рост величины 
T 
Я . Поэтому вместо множителя 
T 
−Я1 можно в первом приближении использовать его
среднее для интервала энергий от α |
−1T до E |
0 |
значение |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α1E1 −Td |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
T |
−1 |
= |
|
|
|
=ξ |
(i) |
, |
(7.19) |
||||||
|
Я |
Td α1E1 ln(α1E1 Td ) |
|
|
2Td |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где ξ(i) - величина, приближенно равная единице. Тогда остающийся интеграл
выражается через среднее значение доли ядерных потерь тяжелого иона во всем интервале энергий:
N (i) |
=ξ(i) |
δ (i) |
E |
0 |
2T =ξ(i) |
(E |
0 |
− E(i) ) 2T |
|
, |
(7.20) |
|
|
|
Я |
|
d |
|
H |
d |
|
|
|||
и имеет вид, подобный |
(7.11). |
Здесь EH(i) - |
неупругие |
|
потери |
падающего |
||||||
тяжелого иона как при столкновениях с электронами, так и при подпороговых столкновениях с атомами мишени.
Теперь рассмотрим вклад каскадных процессов в образование
структурных дефектов, для чего оценим, например, число вторичных выбитых атомов, получающихся при столкновениях с атомами вещества первичных выбитых атомов. Первичные атомы получают от частицы излучения разную энергию и, соответственно, обладают разной способностью выбивать в дальнейшем вторичные атомы. Поэтому в рассматриваемом случае выражение (7.15) следует записать в дифференциальном виде
dN (i) = n σ(T; E )dTdx , |
(7.21) |
|
2 |
1 |
|
который показывает число первичных атомов, выбитых на отрезке пути иона dx и имеющих энергию в интервале от T до T + dT .
Использованному выше кулоновскому взаимодействию соответствует дифференциальное сечение отдачи с резким максимумом при малых передачах энергии. В соответствии с формулой (П.41) это означает, что в лабораторной системе отсчета первичные атомы отдачи будут разлетаться от иона преимущественно под прямым углом к направлению его движения. Поэтому в рамках самой простой модели флюенс первичных атомов с энергией от T до T + dT , выбитых в радиальном от оси трека иона направлении, можно оценить делением выражения (7.21) на 2πrdx , где r - расстояние от оси трека. Тогда в соответствии с общей формулой (1.24) число структурных дефектов, образованных первичными атомами отдачи в единице объема и на единицу переданной энергии, получается умножением флюенса
на макроскопическое сечение выбивания атома Σ(a) (Td ;T ) . Полное же число
структурных дефектов дается интегралом по всему объему и всем значениям переданной энергии.
При интегрировании по объему нужно иметь в виду, что только в начале своего движения первичный выбитый атом имеет энергию T . По мере удаления от трека иона энергия T′ первичного атома уменьшается от T до
значения α2 −1Td (α2 =1 для одинаковых атомов мишени), ниже которого
выбивание вторичных атомов невозможно, и далее до нуля в процессе электронного торможения и подпороговых атомных столкновений. Тогда аналогично формуле (7.18) приходим к следующему интегральному выражению
|
N |
(a) |
|
E0 |
dE |
|
α1E1 |
T |
dN (a) dr |
|
(a) |
(T′)dT′, |
(7.22) |
|
|
|
= ∫ |
1 |
|
∫dTn2σ(T; E1 )∫ |
|
δЯ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(−dE dx) |
Td |
0 |
(−dT′ dr) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где δЯ(a) - доля |
только |
тех потерь первичного атома, которые приводят к |
||||||||||||
выбиванию |
вторичных |
атомов, (−dT′ |
dr) - |
полная тормозная способность |
||||||||||
первичного |
атома |
при |
его |
движении |
от |
трека иона |
и dN (a) dr - |
число |
||||||
вторичных выбитых атомов на единице пути первичного атома. Верхний предел в интеграле по T – это максимальная энергия, которую может получить первичный выбитый атом от тяжелого иона. С точки зрения образования первичных атомов вклад в интеграл по T дадут только энергии
выше энергии Td . Понятно, что при этой энергии ядерное рассеяние
первичных атомов будет чисто подпороговым.
Чтобы упростить дальнейшее рассмотрение и выявить зависимость числа дефектов от энергии частиц, будем по-прежнему считать ядерное рассеяние тяжелых ионов и первичных атомов кулоновским. Тогда повторяя рассуждения, которые привели к формуле (7.19), после оценки интеграла по энергии T′ в выражении (7.22) получаем
N |
(a) |
= |
ξ(a) |
|
|
E0 |
dE |
|
α1E1 |
(7.23) |
|
(a) |
|||||||||
|
2T |
δЯ |
∫ |
1 |
|
∫n2Tσ(T; E1 )dT , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
(−dE |
dx) |
Td |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
1 |
|
|
|
где ξ(a) - константа, характеризующая средние затраты энергии движущегося
первичного атома на выбивание одного вторичного, и δЯ(a) - средняя доля ядерных потерь первичного атома. В эту долю, в частности, не дает вклада интервал энергий T′ от 0 до α2 −1Td .
Несложно видеть, что в соответствии с общей формулой (4.11) интеграл по энергии T в выражении (7.23) в точности равен ядерной тормозной способности тяжелого иона. В результате после интегрирования по T получаем очень простое выражение
|
ξ |
(a) |
|
|
E |
|
|
N (a) = |
|
|
δЯ(a) |
∫0δЯ(i)dE1 |
, |
(7.24) |
|
|
2Td |
0 |
|
|
|||
причем здесь, как и в (7.17), величина δЯ(i) должна учитывать только те потери
энергии иона, которые приводят к появлению первичных выбитых атомов. Отсюда для числа вторичных выбитых атомов находим
N (a) =ξ(a) |
|
|
|
|
E0 |
=ξ(a) |
|
|
E0 |
− EH(i) |
= |
(7.25) |
|
δ (a) |
δ (i) |
δ (a) |
|||||||||||
|
|
2T |
|
2T |
|||||||||
|
Я Я |
|
|
Я |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
=ξ(a) E0 − EH(i) − EH(a) .
2Td
Отметим, что даже при больших энергиях E0 значительная часть первичных выбитых атомов будет иметь относительно небольшую энергию и скорость, при которых доля δЯ(a) ядерных потерь в тормозной способности первичного атома весьма существенна. Иными словами, нет оснований считать, что неупругие потери EH(a) первичных атомов при электронном торможении и подпороговых столкновениях сильно уменьшают разность E0 − EH(i) . Поэтому вклад каскадных процессов действительно может быть достаточно большим. Второй замечательной особенностью выражения (7.25) является его независимость от величины ξ(i) , характеризующей эффективность создания первичных выбитых атомов тяжелыми ионами.
Картина выглядит так, как если бы первичный выбитый атом был независимой падающей частицей с заданной начальной энергией E0 − EH(i) .
Рассмотрим, наконец, канал реакции образования структурных дефектов в результате ядерных столкновений вторичных δ -электронов. Сразу заметим, что ввиду малости передачи энергии от тяжелого иона к δ -электрону и от последнего снова к тяжелому ядру атома-мишени, для реализации такой возможности необходима очень большая энергия иона. Метод расчета числа и спектра δ -электронов, а также образованных ними структурных дефектов, аналогичен приведенному выше для первичных выбитых атомов. Поэтому сразу запишем интегральное выражение для числа дефектов
(δ ) |
|
ξ |
(e) |
|
(δ ) |
(δ ) |
|
E0 |
dE1 |
α1E1 |
|
|
|
|
|
|
|
(1−δЯ′ |
|
|
|
||||
N |
= |
|
|
δЯ |
) ∫ |
|
∫ z2n2TσР (T; E1 )dT , |
(7.26) |
||||
2Td |
(−dE1 dx) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
I |
|
|||||
которое отличается от (7.23) не только соответствующими константами ξ(e) , α1,2 = 4me 
m1,2 <<1 и добавочным множителем z2 . Как отмечалось выше, вклад
винтеграл по энергии T′ в выражение (7.22) не дает интервал энергий от 0 до
α2 −1Td , который особенно велик для электронов. В то же время, из-за
особенностей кулоновского потенциала взаимодействия дифференциальное сечение рассеяния в (7.26) максимально именно для низкоэнергетических δ - электронов, неспособных к созданию структурных дефектов. В результате средняя доля ядерных столкновений существенно уменьшается, что можно
учесть в явном виде при помощи дополнительного малого множителя 1−δЯ′(δ ) ,
который для первичных выбитых атомов близок к единице.
Аналогичным образом, в интеграл по энергии E1 не дает вклад
достаточно большой интервал энергий от 0 до α1−1I , для которого вообще
невозможно рождение δ -электронов или возбуждение атомов в процессе торможения тяжелого иона. В результате выражение (7.27) приобретает вид
|
|
|
|
|
|
|
N (δ ) = |
ξ |
(e) |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
(7.27) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δЯ(δ ) (1−δЯ′(δ ) ) ∫0δЭ(i)dE1 , |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Td |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в котором доля потерь энергии иона при электронном торможении δЭ(i) |
связана |
|||||||||||||||||||||||||||
только с рождением δ -электронов. В итоге приходим к выражению вида |
||||||||||||||||||||||||||||
|
(δ ) |
|
(e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
|
|
(e) |
|
|
|
|
|
|
EH′(i) |
(e) EH′(i) − EH(δ ) |
|
||||
|
|
|
(δ ) |
|
(δ ) |
|
|
(i) |
|
|
|
|
(δ ) |
|
(δ ) |
|
|
|||||||||||
N |
|
=ξ |
|
δЯ |
(1-δЯ′ |
)δЭ |
|
=ξ |
|
δЯ |
(1-δЯ′ |
) |
|
=ξ |
|
|
. (7.28) |
|||||||||||
|
|
2T |
|
|
2T |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2T |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
||
В величину EH′(i) |
не входят, например, потери энергии на возбуждение |
|||||||||||||||||||||||||||
атомов, поэтому она представляет собой только часть полных неупругих потерь EH(i) тяжелого иона. Понятно, однако, что эта величина сравнима с
E0 ≈ EH(i) и приближенно равна половине всей энергии E0 , которая расходуется в основном на ионизацию и возбуждение атомов. Для электронов доля потерь
энергии при столкновениях с атомами очень невелика при всех энергиях, поскольку заряд электрона постоянен и превалирует либо электронное торможение, либо потери на тормозное излучение. Тем не менее, из достаточно простых проделанных выкладок и общего вида полученных выражений (7.25) и (7.28) можно сделать вывод о том, что вклад вторичных электронов в образование структурных дефектов может быть достаточно заметным по сравнению с вкладом атомов отдачи в каскадных процессах.