6. ПРОБЕГ И ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ЛЕГКИХ И НЕЙТРАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

6.1 Рассеяние Мотта и потери энергии быстрых электронов

Для заряженной частицы упругие столкновения с атомами кристалла или биологического объекта и взаимодействие с электронами атомов вещества являются главными, но не единственно возможными механизмами замедления. Возбуждение ядер и ядерные реакции в атомах мишени являются очень маловероятным механизмом, если речь не идет о тепловых нейтронах. Согласно классической электродинамике интенсивность тормозного излучения, испускаемого заряженной налетающей частицей с зарядом z1e и

массой m1 , пропорциональна квадрату ее ускорения в электрическом поле

ядер мишени с зарядом z2e , и потому пропорциональна z1 z2e4 m12 . Сильная

зависимость от массы делает радиационные потери практически ничтожными для всех заряженных налетающих частиц, за исключением очень легких. Потери энергии на излучение Черенкова имеются, когда скорость заряженных частиц превышает скорость света в веществе мишени c / n, где n - показатель преломления в материале вещества. Чтобы удовлетворить этому условию, налетающая частица должна обладать чрезвычайно высокой скоростью и энергией. Например, в среде с показателем преломления n ≤ 2 протоны с энергий до E1 ≈100 МэВ черенковского излучения практически не

возбуждают, поэтому в диапазоне рассматриваемых энергий указанные механизмы радиационных потерь, связанные с тормозным излучением и излучением Черенкова, существенны только для таких легких частиц, как электроны и позитроны. Позитроны во многих отношениях сходны с электронами, поэтому все изложенное ниже для электронов применимо также и к позитронам, если специально не оговорено обратное.

В отличие от иона, электрон имеет постоянный заряд и обладает очень малой массой, что и приводит к отличию характера взаимодействия с веществом электрона по сравнению с ионом. Когда электрон проходит через вещество, он теряет энергию и сильно изменяет направление своего движения вследствие взаимодействия с электронами и атомными ядрами среды. Только при нерелятивистских скоростях поведение электрона сходно с поведением проходящего через вещество иона. В этом случае тормозную способность для быстрых электронов, обладающих в то же время не слишком высокой энергией, можно вычислить так же, как это было сделано для тяжелых ионов. В этом интервале энергий ионизационные потери энергии электрона обусловлены ионизацией и возбуждением связанных электронов в атомах мишени в процессе все того же электронного торможения.

При выводе тормозной способности для электронов начинать следует с дифференциального сечения рассеяния и сразу учесть, что приведенная масса

µ = me	/ 2	в электрон-электронной системе меньше, чем приведенная масса
µ ≈ me	в	системе электрон-ион. Тогда вместо формул (3.5) приходим к

следующему выражению для дифференциального сечения рассеяния в относительной системе отсчета

	z1e		2		2	1			z1e	2		2	1		1 (z1e	2	)	2	1
														=						, (6.1)
						sin4 (ϑ	2)						sin4 (ϑ 2)						sin4 (ϑ 2)
σР (ϑ) =	4E							= m v2							4 E	2
		отн							e						1

где в случае электрона z1 =1. Далее, в соответствии с выражениями (П.37) при m1 = m2 = me получаем простую связь углов рассеяния в лабораторной системе отсчета с углом рассеяния в относительной

ϑ = 2ϑ1 , ϑ1 +ϑ2 =π2 . (6.2)

Это позволяет с помощью формул (6.1) записать дифференциальное сечение рассеяния (1.9) в лабораторной системе отсчета

σ		(ϑ) =	(z e2 )2	cosϑ	(6.3)
	Р		1	1 .
			E 2	sin4 ϑ
			1	1

Поскольку сталкивающиеся частицы в рассматриваемом случае неразличимы, то вклад в полное сечение рассеяния может давать как налетающий электрон, рассеявшийся на угол ϑ1 , так и электрон отдачи с

таким же углом отклонения. В соответствии с (6.2) такие электроны отдачи появляются в случае рассеяния налетающего электрона на угол ϑ2 =π2 −ϑ1 .

Учет этих соотношений между углами отклонения дает более правильное дифференциальное сечение рассеяния, отличающееся дополнительным по сравнению с (6.3) слагаемым

(z1e2 )2			1		1
σ(ϑ) = E 2								(6.4)
					+ cos4 ϑ
	sin4 ϑ						cosϑ1 .
1			1		1
Из этого выражения видно,	что		при			ϑ1 =π 4 классический		эффект

тождественности частиц приводит к увеличению дифференциального сечения рассеяния Резерфорда в два раза по сравнению с (6.3)

Для корректного описания рассеяния тождественных частиц друг на друге необходимо принять во внимание также чисто квантовомеханический эффект интерференции волн, описывающих движение рассеянного электрона и электрона отдачи. Как и в других случаях, он заключается в учете перекрестных членов, возникающих при вычислении квадрата модуля полной волновой функции для обеих частиц. Без таких слагаемых получающийся результат в точности соответствует сечению рассеяния (6.4). Корректные выражения для описанных выше квантовомеханических поправок и сечений

рассеяния были получены Моттом.

В общем случае эти поправки оказываются разными для бесспиновых частиц, таких как α -частица, и частиц со спином ½ (электроны и протоны). Это означает, что α -частицы рассеиваются на ядрах гелия не совсем так, строго говоря, как протоны на ядрах атомов водорода или электроны на электронах атомов вещества мишени. Для частиц со спином ½ и спином, равным нулю, дифференциальные сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета имеют соответственно вид

σM (ϑ) =	(z1e			2)					1		+	1			− cos[(z1e)		( v1 )				ln(tg ϑ1 )] cosϑ1 ,				(6.5)
			2			2										2			−1				2
																sin2 ϑ1 cos2 ϑ1
σM (ϑ) =	E1								sin4 ϑ1		+		cos4 ϑ1		+										(6.6)
	(z1e	2)							1			1				2cos[(z1e)		( v1 )				ln(tg ϑ1 )] cosϑ1 .
		2			2												2			−1			2
																sin2 ϑ1 cos2 ϑ1
	E1							sin4 ϑ1				cos4 ϑ1

Как видим, добавки в выражениях (6.5) и (6.6) имеют разные знаки и приводят соответственно к двукратному уменьшению и увеличению сечения рассеяния по сравнению с (6.4) при рассеянии на угол ϑ1 =π4 .

Выражение (6.5) служит основой для вычисления тормозной способности, связанной с электронным торможением налетающих электронов в нерелятивистском случае. Наибольший интерес для рассматриваемых здесь эффектов имеет тормозная способность быстрых релятивистских электронов, которая описывается выражением:

					4		2	E1
	dE1		=	2πn2 z2e		{ln	mev1		−	(6.7)
							2(1− β2 )I 2
	− dR			m v 2
	L ИОН			e 1

−[2(1− β2 )12 −1+ β2 ]ln 2 + (1− β2 ) + 18[1−(1− β2 )12 ]2},

где E1 - релятивистская кинетическая энергия, которая дается выражением

(П.52). Несмотря на все очевидные отличия при выводе формул для тормозной способности электронов и тяжелых заряженных частиц, путем непосредственного сравнения с выражениями (5.6) и (5.7) легко убедиться, что тормозная способность (6.7) электрона в практически интересных случаях никогда не отличается от таковой, например, для протона с одинаковой скоростью v1 более чем на 10%. Приблизительно такая же разница между

торможением электронов и позитронов, поэтому для электрона или позитрона, обладающего определенной кинетической энергией E1 , тормозную

способность вследствие ионизационных потерь практически всегда можно оценить или вычислить из данных, имеющихся для ионов с соответствующей скоростью v1 .

С учетом этого обстоятельства из формулы (6.7) для энергии и скорости, соответствующих максимуму ионизационных потерь энергии электрона,

получаются выражения, подобные (5.5):

E = eIˆ ,			,
	v =	2eIˆ m		(6.8)
1	1	e

Из этих выражений следует, что максимум энергетических потерь приходится на интервал очень низких энергий и скоростей, как это и показано на рис.5.1. Практически всю свою энергию быстрый электрон, как и любая другая заряженная частица, теряет именно на ионизацию и возбуждение атомов вещества. Энергия, затраченная на возбуждение атомов, в конечном счете превращается в тепло благодаря различным релаксационным механизмам. В частности, в биологических объектах кроме классических столкновительного и излучательного механизмов релаксации имеется множество других релаксационных механизмов, что связано со сложной структурой биологических молекул и разнообразием протекающих на всех уровнях организации таких объектов биохимических процессов.

Во время прохождения электрона через вещество он испытывает столкновения не только с электронами, но и упругие ядерные столкновения с атомными ядрами. Как было показано в разделе 3, ядерное рассеяние электронов определяется формулой Резерфорда, а для более высоких энергий применимы формулы Дарвина-Резерфорда и соотношения для рассеяния Мотта. Вследствие большой разницы масс при ядерных столкновениях электрон испытывает лишь отклонения и теряет очень мало энергии. Если для оценки ядерной тормозной способности воспользоваться самой простой формулой Резерфорда, то получаем следующее выражение для тормозной способности

dE

= n2

Tm

m

(z

e2 )2

1

dT =

2πn

z

2e4

2m

2v

2

.

(6.9)

−

1

∫

π

e

2

2

2

ln

e

1

2

m T

dx

Я

Td

m

E T

m v

2

1

2

1

2

d

С помощью формулы (6.9) несложно оценить энергию и скорость, при которых будет наблюдаться максимум ядерной тормозной способности быстрого электрона. Приравнивая нулю производную выражения (6.9), получаем

	= em2
E		T ,	v =	em T	2m 2 .		(6.10)
1	4m	d	1	2 d	e
	e

Таким образом, для электронов (и позитронов) получается качественно иная по сравнению с тяжелыми ионами картина. В соответствии с выражениями (6.10) максимум потерь энергии быстрого электрона, связанных с ядерным торможением, приходится на интервал относительно больших энергий и скоростей электрона, в то время как ионизационная тормозная способность максимальна при малых энергиях и скоростях (6.8).

Из-за тормозного излучения при очень высоких энергиях появляются радиационные потери, которые в конце концов становятся преобладающими для электрона. На основе квантовой электродинамики Бете и Гайтлер

получили формулу для вычисления радиационных потерь, которая позволяет оценить их величину относительно потерь на ионизационное торможение

(dε	1	dR	)	≈ (ε	z	2	1600m c2 )(dε	dR	L	)	,	(6.11)
		L	РАД	1			e	1		ИОН

где ε1 - полная релятивистская энергия (П.49) налетающего электрона.

Соотношение (6.11) показывает, что энергетические потери на излучение становятся все существеннее по мере роста энергии электрона и увеличения заряда атомов мишени. Качественно такое поведение объясняется тем, что

величина радиационных потерь (dε	1	dR	)	ε	z	2 lnε	, тогда как при
		L	РАД	1	2	1

ε1 >1МэВ скорость электрона v1 ≈ c и соответственно ионизационные потери (dε1 dRL )ИОН z2 lnε1 . Непосредственно из выражения (6.11) вытекает выражение для некоторой критической энергии ε1(k ) , выше которой преобладает излучение, а ниже – ионизация и возбуждение атомов:

z2ε1(k ) ≈800МэВ.

(6.12)

Таким образом, при ультрарелятивистских энергиях электроны приводят к появлению значительного числа фотонов, энергия которых сравнима с кинетической энергией электронов. Эти фотоны впоследствии или создают электрон-позитронные пары, или приводят к испусканию из атомов мишени комптоновских электронов. Такое образование новых частиц вследствие тормозного излучения сопровождается возникновением быстрых вторичных δ -электронов, которые появляются также и в первичном процессе ионизации при электронном торможении (6.7) заряженных частиц, включая тяжелые ионы. Если тормозное излучение является основным механизмом потерь энергии, то изменение энергии электрона от пройденного расстояния хорошо описывается экспоненциальным законом. Приведенное расстояние x0 ,

на котором энергия электрона уменьшается в e раз, называется радиационной длиной. Для воды, а значит и для мягких тканей, она равна примерно x0 =36г/см2, в то время как для свинца 6г/см2.

Излучение Черенкова возникает из-за поляризации среды при прохождении быстрой заряженной частицы и представляет собой электромагнитную волну, излучаемую в виде конуса. Ось конуса, часто называемого конусом Маха, расположена вдоль направления движения заряженной частицы, а угол раскрытия конуса 2ϑ определяется равенством cosϑ = c / nv1 , поскольку волны излучаются под углом ϑ к направлению

движения частицы. Тормозная способность, связанная с излучением Черенкова, описывается формулой Тамма-Франка:

		dE			e2		c2
	−	1		=		1−		ωdω,	(6.13)
							2
		dx Ч			c2	∫
							n2(ω)v1

где интегрирование проводится по всем частотам, для которых показатель