Экспоненциальный закон

при Х0; приХ0.

Релеевский закон

Основные положения ковариационной теории

––это ковариационная функция. Она характеризует взаимодействие случайного процесса между собой в случайные моменты времени t₁ и t₂. Чем меньше значение, тем меньше меняется процесс.

где - плотность вероятности распределения в моменты времениt₁ и t₂.

Если один процесс, то это автоковариационная функция, если два процесса, то это взаимно-ковариационная функция.

Если два процесса, то t₁=t₂=t и

.

Если процесс один и тот же и t₁=t₂=t, то

––это есть дисперсия процесса плюс квадрат математического ожидания.

Корреляционная функция

––она как бы центрирована.

При t₁=t₂=t автокорреляционная функция .

При различных t₁ и t₂ .

Отсюда следует, что приt₁=t₂.

Стационарность и эргодичность процессов

Стационарность в широком смысле понимается так: на протяжении всего отрезка времени математическое ожидание и дисперсия неизменны, а автокорреляционная функция зависит только от разности значений времени t₁ и t₂ и не зависит от времени начала и конца процесса.

В узком смысле - это неизменность n-мерной плотности вероятности процесса.

Эргодический процесс – это такой процесс, при котором параметры случайного процесса можно определить по одной бесконечной реализации.

Для эргодического процесса

.

, где = t₂ – t₁.

.

Дисперсия

.

Процессы могут быть между собой коррелированные и зависимые. Некоррелированные процессы – это значит, что К_xy()=0 при любом .

Независимые процессы: .

Независимые процессы всегда некоррелированные, зависимые процессы могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

3.2. Корреляционный и спектральный анализы случайных сигналов

Спектральная плотность сигнала может быть определена только для постоянного процесса. Для случайного процесса это невозможно, поэтому используют спектральную плотность мощности.

Пусть имеется k-я реализация случайного процесса Х_К(t). Ограничим ее отрезком времени Т. Теперь это усеченная k-я реализация Х_КТ(t). Найдем спектральную плотность Х_КТ() для Х_КТ(t). Отсюда энергия на рассматриваемом участке по равенству Парсеваля:

.

Получим среднюю мощность реализации на отрезке Т, поделив выражение на Т:

.

При увеличении Т энергия возрастает, но отношение Э_КТ / Т остается постоянным.

.

Отсюда –– спектральная плотность мощности. Это предел спектральной плотности усеченной реализации, деленной на время Т. Это запись для эргодического процесса.

––среднее значение квадрата процесса.

Если , то.

Теорема Винера – Хинчина

Это есть соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса.

,

.

Это прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.

При

,

.

Выводы

1.	Случайный процесс (СП) – совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющийся некоторой общей для них статистической закономерности. Бывают непрерывные, дискретные, квантованные и цифровые СП.
2.	Математическое ожидание – величина, к которой в среднем стремится СП.
3.	Дисперсия характеризует мощность процесса, разброс слу-чайных значений относительно математического ожидания.
4.	Среднеквадратическое отклонение характеризует линейный разброс, а не квадратичный, как дисперсия.
5.	Ковариационная функция характеризует взаимодействие случайного процесса между собой в случайные моменты времени t1 и t2.
6.	Стационарность в широком смысле понимается так: на протяжении всего отрезка времени математическое ожидание и дисперсия неизменны, а автокорреляционная функция зависит только от разности значений времени t1 и t2 и не зависит от времени начала и конца процесса.
7.	Эргодический процесс – это такой процесс, при котором па-раметры случайного процесса можно определить по одной бесконечной реализации.
8.	Независимые процессы всегда некоррелированные, зависимые процессы могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.
9.	Теорема Винера-Хинчина определяет соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса.
10.	Энергетический спектр и корреляционная функция связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье.