6.1. Согласованная фильтрация детерминированного сигнала

Синтез оптимального фильтра – это отыскание передаточной характеристики устройства, обеспечивающего оптимизацию сигнал/шум на выходе , т. е. задача сводится к отысканию АЧХ и ФЧХ устройства.

Естественно, результаты синтеза будут ограничены входными данными.

Пусть сигнал s(t) действует на фоне шума с постоянным энергетическим спектром (белый шум). Введем в рассмотрение время t₀ – это время, за которое производится фиксация уровня сигнал/шум. Выходной сигнал представим в виде

.

Среднеквадратическое значение помехи на выходе фильтра

,

где W() – энергетический спектр помехи.

Отсюда следует:

.

Необходимо, чтобы это соотношение было максимальным. Для этого воспользуемся неравенством Буняковского-Шварца:

.

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия , гдеА – произвольный постоянный коэффициент.

В нашем случае

, .

Отсюда

Таким образом,

.

Учитывая, что выражение в квадратных скобках есть полная энергия входного сигнала Э, запишем окончательное выражение: .

Это неравенство обращается в равенство при выполнении условия

.

Откуда

.

Фильтр с таким коэффициентом передачи называется фильтром, согласованным с сигналом. Он обеспечивает на выходе максимально возможное соотношение:

.

АЧХ: , ФЧХ:.

Коэффициент А – размерный коэффициент, который приводит к безразмерному коэффициенту передачи. Добавление t₀ делается для выделения всей энергии сигнала.

ВЫВОД. Фильтр обеспечивает максимально возможное соотношение сигнал/шум на выходе за счет:

1. Условия компенсации начальных фаз гармонических составляющих сигнала, так как ФЧХ фильтра равна и противоположна по знаку ФЧХ сигнала.

2. За счет совпадения формы K() и S() фильтр пропускает составляющую шума неравномерно, что приводит к уменьшению шума на выходе.

3. Сигнал ослабляется слабее, чем шум. Это приводит к максимуму отношения сигнал/шум на выходе.

6.2. Оптимальная фильтрация случайного сигнала

Импульсная характеристика имеет вид

.

Учитывая, что , и вводя новую переменную, получим

,

т. е. если задан сигнал s(t), то импульсная характеристика определяется как

.

Построение графика функции s(t₀-t): кривая s(-t) является зеркальным отражением заданного сигнала s(t). Функция же s(t₀-t) сдвинута относительно s(-t) на величину t₀ вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу s(t) с осью симметрии, проходящей через точку t₀/2.

Так как импульсная характеристика не может быть при отрицательных t, то t₀ не может быть меньше , чем Т_с (длительность сигнала).

При увеличении t₀ возрастания сигнала не будет, а будет наблюдаться сдвиг сигнала вправо. Условие t₀Т_с накладывает на сигнал требование его конечной длительности.

ВЫВОД. Применение согласованной фильтрации возможно при импульсном сигнале или ограниченной по времени пачке импульсов.

Оценка реализуемости согласованного фильтра

Пусть задан сигнал s(t), которому соответствуют импульсная характеристика согласованного фильтра и преобразование Фурье от этой функции К(j). Возникает вопрос, при каких условиях К(j) может являться передаточной функцией физически осуществимого устройства.

Для анализа будет использован критерий Пэли-Винера: ,

где  –– безразмерная нормированная величина (а не частота). Интеграл должен быть сходящимся.

Критерий Пэли-Винера является необходимым, но недостаточным. Он оставляет открытым вопрос о структуре согласованного фильтра. Но из него следует, что АЧХ фильтра должна быть интегрируемой в квадрате: .

При выполнении этого условия будет возрастать медленнее, чем

, что необходимо для сходимости интеграла.

АЧХ может быть равной 0 только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной полосе частот. В связи с этим фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы.

Передаточная функция при>0 реализуема, так как растет медленнее, чем.