12. Основы синтеза аналоговых и дискретных фильтров

Большое практическое значение имеют методы синтеза ЦФ с требуемым видом импульсной или частотной характеристик ЦФ. Рассмотрим некоторые приемы синтеза ЦФ по заданным характеристикам их аналоговых прототипов.

Синтез по заданной импульсной характеристики аналогового прототипа g(t)

ЦФ строится с импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации g(t), т. е. ее k-й отсчет g(k)=g(kΔ). Если в импульсной характеристике ЦФ ограничиться конечным числом слагаемых, получаем реализацию в виде трансверсального фильтра. При неограниченном числе компонентов g(k) следует реализация в виде рекурсивного фильтра.

Синтез цф по заданной частотной характеристике k(jω) (или операторного коэффициента передачи k(p))

Принципиально нельзя создать ЦФ, частотная характеристика которого Кцф(ω_ц) повторяла бы частотную характеристику аналогового прототипа К(ω_а), так как Кцф(ω_ц) является периодической функцией частоты дискретизации ω_g. Однако можно потребовать, чтобы весь интервал частот ωа, характеризующий аналоговую цепь, был преобразован в отрезок частот ωц ЦФ, на котором сохраняется форма характеристикиК(ω_а), причем

Если для перехода от р-плоскости (отображающей аналоговый прототип) к z-плоскости (отображающей цифровой фильтр) воспользоваться соотношениями

то формально мы от частотной характеристики аналогового эквивалента переходим к системной функции ЦФ. Однако, если подставить в выражение для передаточной функции аналогового прототипа К(р), которая для цепей с сосредоточенными параметрами представляет собой отношение двух полиномов от Р (дробно-рациональную функцию), получим физически нереализуемую системную функцию ЦФ, так как она не выражается отношением двух полиномов от z.

Надо найти такое преобразование Р в Z, которое привело бы к реализуемому фильтру, но вместе с тем сохраняло бы основное свойство преобразования (12.1), т. е. переводило бы точки мнимой оси на плоскости Р (точки jω) в точки единичной окружности на z-плоскости.

Для синтеза ЦФ получило широкое распространение билинейное преобразование

Для выяснения сущности преобразования (12.2) положим

т. е. комплексно-значные точки z лежат на единичной окружности и характеризуются аргументом (угловым сдвигом) ω_ПΔ. Тогда правая часть (12.2) принимает вид

Воспользовавшись формулами

(12.3) можно представить так:

Последнему соотношению согласно (12.2) соответствует мнимая аналоговая часть вида jω_а, следовательно,

При выполнении неравенства

следует, что

В более общем случае надо учесть изменение масштаба по оси частот ЦФ.

Учет погрешности цифровой фильтрации из-за квантования сигнала по уровням

Появление быстродействующих многоразрядных процессоров цифровой обработки сигналов самых различных типов сделало возможным производить цифровую обработку сигналов не только речи и вещания, но и телевидения. Однако даже при такой совершенной технике необходимо учитывать погрешности работы ЦФ, обусловленные квантованием уровней сигналов.

Пусть х_max и x_min – наибольшее и наименьшее значения уровня сигнала на выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Если для квантования сигналов используется Q уровней, то при равномерном квантовании шаг квантования определяется соотношением

Квантованные отсчеты х_кв(k) описывают мгновенные значения аналогового дискретного сигнала x(k) с определенной погрешностью (с шумом квантования): ε(k)=x_кв(k)-x(k). Эта погрешность уменьшается (по модулю) с уменьшением Δх. Будем считать, что квантователь работает по следующим правилам: в качестве дискретного принимается уровень, ближайший к истинному. Если действительный входной уровень x(k) находится в середине между дискретными номерами q и (q+1), выбирается любой из них. При оговоренных условиях погрешность ε_вх(k) лежит в пределах

Чаще всего считается, что случайная погрешность ε_вх (при различных k) равномерно распределена на отрезке

Тогда ее математическое ожидание (МО) равно нулю, а дисперсия

.

Определим погрешность работы линейного стационарного фильтра, обусловленную шумом квантования ε_вх(k). Дискретный входной отсчет ЦФ, обусловленный шумом квантования ε_вх(k) согласно (11.41) равен

Математическое ожидание выходного шума E_вых=0. Для нахождения дисперсии выходного шума предположим, что отдельные отсчеты входного шумаE_вх(k) – независимые случайные величины с равномерным распределением и дисперсией

.

Тогда

.

.

Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием сигнала, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики фильтра. Относительную погрешность ЦФ, обусловленную шумом квантования, можно определить так:

Оценим влияние шума квантования на работу цифрового перемножителя. Из-за шума квантования квантованные отсчеты входного и опорного сигналов можно записать в виде

Схема цифрового

перемножителя

Тогда

Ошибка цифрового перемножителя из-за шума квантования будет такой:

E_вых(k)=x(k)E_f(k)+f(k)E_x(x)+E_x(k)E_f(k).

При сделанных ранее предположениях о шуме квантования математическое ожидание . Предполагая шумы квантования сигналовx(t) и f(t) независимыми стационарными случайными процессами, получаем для дисперсии выходного шума перемножителя следующее выражение:

Если сигналы x(t) и f(t) квантуются с одинаковым шагом Δ_x=Δ_t=p, то

Относительная погрешность работы цифрового перемножителя, обусловленная шумом квантования, будет такой:

Выводы

1.	Устройства ЦОС обладают рядом преимуществ перед устройствами обработки сигналов в непрерывном времени и широко применяются на практике в системах передачи как дискретных, так и непрерывных сообщений.
2.	Наиболее широко применяются в системах связи линейные стационарные фильтры и перемножители.
3.	Спектр Фурье дискретного сигнала является периодической функцией частоты дискретизации.
4.	Линейчатый спектр дискретного (периодического) сигнала с числом отсчетов N определяется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Число компонентов такого спектра Ćn равно N, а число амплитуд – N/2. По спектральным компонентам Ćn дискретные отсчеты x(k) определяются через ОДПФ.
5.	Существуют методы быстрого преобразования Фурье, позволяющие существенно сократить число операций, выполняемых при расчете ЦФ спектральными методами.
6.	При анализе и синтезе ЦФ широко используется Z-преобразование для получения спектральных характеристик входного и выходного сигналов и самого цифрового фильтра (его системной функции H(z)). Обратным Z- преобразованием определяются временные характеристики входных и выходных сигналов, а также ЦФ.
7.	Частотный коэффициент передачи ЦФ определяется системной функцией фильтра при z=e^j^ωΔ.
8.	Линейные стационарные цифровые фильтры с финитной импульсной характеристикой реализуются трансверсальной схемой, а с неограниченной импульсной характеристикой – рекурсивной схемой (с обратной связью с выхода на вход).
9.	Рекурсивные цифровые фильтры устойчивы, если все корни полинома знаменателя системной функции H(z) лежат внутри единичного круга с центром в начале координат.
10.	ЦФ часто строятся по аналоговому эквиваленту. Находят применение методы синтеза ЦФ по заданной импульсной характеристике аналогового эквивалента, по заданному дифференциальному уравнению аналогового эквивалента, по заданной частотной характеристике аналогового эквивалента.
11.	Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики.
12.	Выходной шум цифрового перемножителя зависит как от значений отсчетов перемножаемых сигналов, так и от их цифровых компонентов.