Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра

Используем соотношение

.

Подставив в него , получим

,

т. е. выходной сигнал будет повторять форму корреляционной функции, смещенную во времени.

При t=t₀ B_s=Э и выражение переходит в .

Рассмотрим параметры шума. Наиболее распространен белый шум – нормальный шум со спектральной плотностью W₀=const. При действии нормального шума на линейную цепь на выходе шум остается нормальным и . Следовательно, корреляционная функция шума на выходе

.

Значит, корреляционная функция шума на выходе по форме совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала и с выходным сигналом.

При =0 найдем дисперсию шума на выходе:

.

Найдем соотношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра (определим не по мощности, а по напряжению): .

Это соотношение зависит только от энергии входного сигнала и спектральной плотности шума. Следовательно, при заданной энергии сигнала и спектральной плотности шума сигналу можно придавать любую форму, выгодную для решения конкретной задачи.

Например, для повышения скрытности работы РЛС выгодно удлинять сигнал при уменьшении его амплитуды. При удлинении сигнала ширина спектра должна быть неизменной. Для этого внутри сигнала необходимо вводить импульсную модуляцию (частотную).

Уточним смысл коэффициента А. Это размерный коэффициент, который удобно нормировать так, чтобы энергии входного и выходного сигналов согласованного фильтра были одинаковы (для исключения усиления энергии фильтром).

Энергия входного сигнала .

Энергия выходного сигнала

.

Из того, что Э=Э_вых, получим

.

Отсюда

.

Следовательно, максимум выходного напряжения может быть больше, чем амплитуда сигнала на входе (даже при Э=Э_вых.).

Выводы

1.	Согласованный фильтр обеспечивает на выходе максимально возможное соотношение сигнал/шум.
2.	Применение согласованной фильтрации возможно при импульсном сигнале или ограниченной по времени пачке им-пульсов.
3.	Критерий Пэли-Винера является необходимым, но недоста-точным. Он оставляет открытым вопрос о структуре со-гласованного фильтра. Но из него следует, что АЧХ фильтра должна быть интегрируемой в квадрате.
4.	АЧХ согласованного фильтра может быть равной 0 только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной полосе частот. В связи с этим фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы.
5.	Корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала и с выходным сигналом.
6.	При заданной энергии сигнала и спектральной плотности шума сигналу можно придавать любую форму, выгодную для решения конкретной задачи.
7.	Максимум выходного напряжения согласованного фильтра может быть больше, чем амплитуда сигнала на его входе.

Вопросы для самопроверки

1. Чем отличаются критерии оптимальности фильтров для выделения сигналов известной и неизвестной формы?

2. Какому условию должно удовлетворять время задержки t₀ при обработке известного сигнала в оптимальном фильтре?

3. Какова должна быть автокорреляционная функция полезного сигнала для того, чтобы обеспечить высокоэффективное выделение этого сигнала с помощью согласованного фильтра?