Энергетика цепей с параметрическими реактивными элементами

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, содержащей конденсатор, емкость которого является функцией приложенного напряжения. Параметрические конденсаторы не являются элементами радиотехнических цепей в чистом виде. В качестве параметрических конденсаторов обычно применяются нелинейные конденсаторы. Модель параметрического конденсатора получается из модели нелинейного конденсатора путем замены С(U) на С(t). Рассмотрим, как это реализуется. Пусть на нелинейный конденсатор подано колебание высокой частоты U_НК(t), амплитуда которого достаточна для того, чтобы вызвать заметную модуляцию емкости в соответствии с законом C(U). Будем называть это модулирующее колебание колебанием накачки и будем считать, что оно гармоническое, т. е. U_НК(t)= U_mНКcos(ω_НКt+φ_НК). Найдем закон изменения емкости от времени, т. е. зависимость C(t).

Вольт-кулоновую характеристику нелинейного конденсатора можно аппроксимировать степенным полиномом, причем приемлемая точность аппроксимации в большинстве случаев получается при полиномах второй степени. Поэтому запишем аппроксимирующий полином в виде , так какC(U)=q(U)/U, то, сделав соответствующие подстановки, найдем:

.

Коэффициент b₁ равен дифференциальной емкости C₀ в начальной рабочей точке, заданной напряжением смещения U₀. Множитель перед косинусом имеет смысл коэффициента, характеризующего глубину изменения емкости: обозначим его m_С=(b₂/b₁)U_mНК=ΔC/C₀. С учетом этих обозначений последнее соотношение представляет собой зависимость от времени емкости конденсатора, изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой накачки

.

Это и есть модель параметрического конденсатора, полученная из модели нелинейного конденсатора путем замены зависимости C(U) зависимостью C(t).

Рассмотрим процесс в цепи, образованной источником сигнала U_C(t)=U_mCcos(ω_ct+φ_c) и параметрическим конденсатором с емкостью C(t). Будем считать, что амплитуда сигнала мала: U_mC<<U_mНК. Поэтому для такого напряжения сигнала емкость С можно считать линейной, т. е. в вольт-кулоновой характеристике можно ограничиться только первым слагаемым.

Найдем ток, протекающий через конденсатор:

.

Подставив в это выражение соответствующие величины, после преобразования получим

Преобразуя произведения sinαcosβ по известным тригонометрическим формулам, получаем

Как видно, в спектре тока, протекающего через параметрический конденсатор, помимо составляющей на частоте сигнала _c содержатся гармоники разностной (ω_нк-_с) и суммарной (ω_нк+ω_с) частот. Рассмотрим процесс преобразования энергии в этой цепи.

Средняя мощность в рассматриваемой цепи равна мгновенной мощности, усредненной за период сигнала:

где - энергия сигнала,.

Прямое интегрирование этого выражения достаточно громоздко. Поэтому выделим вначале такую составляющую тока, которая дает среднюю мощность, отличную от нуля, а затем вычислим и среднюю мощность.

Гармоника тока на частоте сигнала является обычной реактивной составляющей тока, протекающего через конденсатор. Она находится в квадратуре с напряжением сигнала и не создает средней мощности. Гармоника тока суммарной частоты тоже не даетР_ср≠0 на частоте ω_c, так как нет самого колебания. И только гармоника разностной частоты и при одном только условии: ω_нк=2ω_с может создать полную мощность на частоте сигнала. Обозначим ее

P_{с ср} и найдем:

Как следует из этого уравнения, средняя мощность в цепи может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от соотношения фазовых углов напряжений сигнала и накачки. При положительной мощности цепь потребляет от источника сигнала мощность, которая рассеивается в конденсаторе. Отрицательную мощность трактуют как мощность, поступающую в цепь от источника накачки, которая может не только скомпенсировать потери на частотах сигнала, но и привести к росту мощности сигнала на выходе цепи.

Таким образом, параметрический конденсатор может выполнять функцию активного элемента - усилителя мощности. Из этого уравнения также следует, что по аналогии с обычным резистором, потребляющим активную мощность, параметрический конденсатор может быть заменен отрицательным сопротивлением, вносимым в цепь. Его значение можно найти из условия Сравнивая последнее соотношение с предыдущим, находим, чтои зависит только от фазовых соотношений между напряжениями сигнала и накачки.

Полученный эффект, связанный с перекачкой энергии от источника U_нк в сигнал, достаточно неожидан, и поэтому рассмотрим физику явления.